高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义精练

专题5.1导数的概念及其集合意义检测题（基础巩固篇）

一、单选题

1．若，则（    ）

A．－4 B．4

C．－1 D．1

2．设，则=（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

3．设函数，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝（    ）

A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0

5．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（    ）

A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙

C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定

6．设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

7．质点运动规律，则在时间，相应的平均速度等于（     ）

A． B． C． D．

8．在函数图象上取一点及附近一点，则为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值（    ）

A．与x0有关 B．与h有关

C．与x0无关 D．与h无关

10．(多选)下列说法正确的是（    ）

A．曲线的切线和曲线可能有两个交点

B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点

C．若不存在，则曲线在点处无切线

D．在点处有切线，不一定存在

11．某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ）

A．是物体从开始到这段时间内的平均速度

B．是物体从到这段时间内的速度

C．是物体在这一时刻的瞬时速度

D．是物体从到这段时间内的平均速度

12．(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（    ）

A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28

B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56

C．该物体位移的最大值为43

D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70

三、填空题

13．设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________.

14．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数与的大小关系为：________ (填“＜”或“＞”)．

15．函数在区间上的平均变化率为___________.

16．函数的图象在点处的切线的倾斜角的大小为______．

四、解答题

17．已知，利用，求的近似值.

18．已知函数y＝f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值．

（1） ；

（2） .

19．已知函数，求：

（1）从0.1到0.2的平均变化率；

（2）在0.2处的瞬时变化率．

20．根据导数的定义求函数在处的导数．

21．设某质点的位移与时间的关系是，求：

（1）质点开始运动后内的平均速度；

（2）质点在到内的平均速度；

（3）质点在第时的瞬时速度.

22．已知某物体运动的位移是时间的函数，而且时，；时，.

（1）求这个物体在时间段内的平均速度；

（2）估计出时物体的位移.

参考答案

1．C

【分析】

利用导数的定义直接求解

【详解】

因为，所以．

故选：C

2．C

【分析】

根据导数的定义，直接运算即可.

【详解】

因为，

所以

故选：C

3．A

【分析】

利用导数的定义可求的值.

【详解】

∵，且，

∴．

故选：A．

4．C

【分析】

利用导数的概念即可求解.

【详解】

f′(0)＝

＝＝(Δx－3)＝－3.

故选：C.

5．B

【分析】

利用平均变化率的几何意义即可得出选项.

【详解】

设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，

由平均变化率的几何意义知，

s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，

s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.

因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．

故选：B

6．A

【分析】

本题可根据导数的定义以及几何意义得出结果.

【详解】

因为，

所以在点处的切线的斜率为，

故选：A.

7．A

【分析】

根据平均变化率公式即可求出.

【详解】

.

故选：A．

8．C

【分析】

利用解析式求解出后，直接作比可得结果.

【详解】

，，.

故选：C.

9．AD

【分析】

由导数的定义进行判定.

【详解】

由导数的定义，得：，

即函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关.

故选:AD.

10．AD

【分析】

举例说明，即可判断选项A，B是否正确；可根据导数的几何意义和斜率的关系即可判断选项C，D是否正确．

【详解】

曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点,故A正确，B不正确；

不存在，曲线在点处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为，故C不正确；D选项正确．

故答案为：AD.

11．ABD

【分析】

根据瞬时变化率的概念，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】

由瞬时变化率的概念可得，

是物体在这一时刻的瞬时速度，即C正确，ABD都错.

故选：ABD．

12．ABD

【分析】

结合平均速度、瞬时速度、位移等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

该物体在时的平均速度是，A正确.

，B正确.

当时，，C错误.

，D正确.

故选：ABD

13．2

【详解】

解析　f′(1)＝

＝＝2.

答案　2

14．＞

【分析】

根据导数的几何意义可得正确的选项.

【详解】

与分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，由图象可得．

故答案为：＞.

15．3

【分析】

利用平均变化率的定义求解．

【详解】

函数在区间上的平均变化率为

，

故答案为：3

16．135°

【分析】

利用导数的极限定义求解

【详解】

，即函数的图象在点处的切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角．

故答案为：135°

17．1.06

【分析】

将代入中计算即可得到答案.

【详解】

由，

可知.

18．（1）－f′(x0)；（2）f′(x0).

【分析】

（1）利用导数的定义即可求解.

（2）利用导数的定义即可求解.

【详解】

（1）原式＝

＝ (Δx→0时，－Δx→0)

＝－f′(x0)．

（2）原式＝

＝

＝[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．

19．（1）；（2）

【分析】

（1）代入公式直接求0.1到0.2的平均变化率即可得出结果；

（2）先求的值，再求即可得出结果.

【详解】

（1）因为，

所以从0.1到0.2的平均变化率为．

（2）f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－

=＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－－5＝6x0Δx＋3(Δx)2，

所以函数在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：

＝6x0＋3Δx．

所以在0.2处的瞬时变化率为.

20．函数在处的导数为．

【分析】

由导数的定义利用极限的运算可得．

【详解】

∵ ，

∴，故．

【点睛】

本题考查定义法求导数的值，涉及极限的运算，属基础题．

21．

（1）

（2）

（3）

【分析】

（1）利用平均速度的定义求解；

（2）利用平均速度的定义求解；

（3）利用瞬时速度的定义求解.

（1）

解：由已知得：质点开始运动后内的平均速度为

（2）

解：由已知得：质点在到内的平均速度为

（3）

解：由已知得：质点在第时的瞬时速度为

.

22．

（1）15.6(m/s)

（2）3.5m

【分析】

根据平均速度的定义即可求出结果，将x在上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令计算即可.

（1）

所求的平均速度为：

（2）

将x在上的图象看成直线，又直线过点，斜率为15.6，则

x与t的关系可近似表示为：

，令，得，

故可估计时物体的位移为3.5m.