初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题课件ppt

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题课件ppt，共42页。PPT课件主要包含了答案呈现，习题链接，①和④②和⑥等内容，欢迎下载使用。

用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(　　)A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°
有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．其中互逆命题有________________(填序号)．
下列三个定理中，存在逆定理的有(　　)个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是等角．原命题是真命题，其逆命题也是真命题，所以它们是互逆定理．
写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．
解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题，所以它们是互逆定理．
如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD，DE于点M，F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．
解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.又∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE＝50°.∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD.
证明：∵△ABC，△BDE均为等边三角形，∴BE＝BD＝DE，AB＝CB，∠ABC＝∠EBD＝60°.∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC，即∠ABE＝∠CBD.
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°.求∠BAD的度数．
解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.
证明：连接AM.∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM.∴∠MAB＝∠B.又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∴∠MAB＝30°.∴∠MAC＝90°.∵∠C＝30°，∴CM＝2AM.∴CM＝2BM.
如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.
证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴BC＝2BE，DE⊥BC.∵∠A＝90°，∴DA⊥AB.∵BD是∠ABC的平分线，∴DA＝DE.又∵BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)．∴AB＝BE.∴BC＝2AB.
【2021·百色】如图，点D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE.求证：(1)OD＝OE；
(2)△ABE≌△ACD.
【2020·台州】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)判断△BOC的形状，并说明理由．
解：△BOC是等腰三角形．理由：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE.∴∠OBC＝∠OCB.∴BO＝CO，即△BOC是等腰三角形．
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；
解：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ.∴∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ.又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．∴AP＝CQ.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解：△PQC是直角三角形．理由如下：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a(a>0)，则PB＝4a，PC＝5a.在△PBQ中，∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．∴PQ＝4a.又由(1)知CQ＝PA，∴PQ2＋CQ2＝PQ2＋PA2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.∴△PQC是直角三角形．
【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．连接AO.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF是正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
解：∵AC＝5，BC＝12，∴由勾股定理求得AB＝13.设OE＝x，易得AF＝AM＝5－x，BE＝BM＝12－x.∵BM＋AM＝AB＝13，∴12－x＋5－x＝13，解得x＝2.∴OE＝2.
如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.
证法一：如图①，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF.∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，EF＝DE，∴△BEF≌△CED(SAS)．∴BF＝CD，∠F＝∠CDE.又∵∠BAE＝∠CDE，∴∠F＝∠BAE.∴BF＝AB.∴AB＝CD.
证法二：如图②，分别过点B，C作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，CG⊥AE，交AE于点G.∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，BE＝CE，∴△BEF≌△CEG(AAS)．∴BF＝CG.又∵∠AFB＝∠DGC＝90°，∠BAF＝∠CDG，∴△ABF≌△DCG(AAS)．∴AB＝CD.
证法三：如图③，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则∠BAE＝∠F.∵∠BEA＝∠CEF，BE＝CE，∴△BEA≌△CEF(AAS)．∴AB＝FC.又∵∠D＝∠BAE，∴∠F＝∠D.∴FC＝CD.∴AB＝CD.
如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．
解：AB＝AC.理由如下：∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线，又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.∴AF是线段BC的垂直平分线．∴AB＝AC.
如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F.求证：DF＝DC.
证明：连接AP.∵PQ是线段AB的垂直平分线，∴PA＝PB.∴∠B＝∠PAB＝22.5°.∴∠APC＝45°.∵AD⊥PC，∴△ADP为等腰直角三角形．∴DP＝AD.∵PE⊥AC，∴∠AFE＋∠DAC＝90°.又∵∠FPD＋∠PFD＝90°，∠PFD＝∠AFE，∴∠FPD＝∠CAD.又∵∠PDF＝∠ADC＝90°，∴△PDF≌△ADC(ASA)．∴DF＝DC.
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.
证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F.∵AE平分∠BAD，AB⊥BC，EF⊥AD，∴BE＝FE.∵E为BC的中点，∴BE＝CE.∴FE＝CE.又∵EF⊥AD，EC⊥DC，∴DE平分∠ADC.
如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．