第五章达标检测-2022版数学必修第一册 湘教版（2019） 同步练习 （Word含解析）

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数y=2sin的周期,振幅,初相分别是 (　　)

A.,2,  B.4π,-2,-

C.4π,2, D.2π, 2,-

2.sin 2 020°属于区间 (　　)

A. B.

C.  D.

3.函数y=tan的值域为 (　　)

A.[-1,1] 

B.(-∞,-1]∪[1,+∞)

C.(-∞,1] 

D.[-1,+∞)

4.函数f(x)=在[-π,π]上的图象大致为 (　　)

A    B     C    D

5.已知函数f(x)=,则f(x)的最大值为 (　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.1

6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为 (　　)

A. rad B.1 rad C. rad D.2 rad

7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)(A1>0,ω1>0),g(x)=A2sin(ω2x+ φ2)(A2>0,ω2>0)的图象如图所示,为得到函数g(x)的图象,只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再              (　　)

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

8.若函数f(x)=sin 2x与g(x)=2cos x都在区间(a,b)上单调递减,则b-a的最大值是              (　　)

A.   B. 

C.   D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.下列结论正确的是 (　　)

A.-是第三象限角

B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为

C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-

D.若角α为锐角,则角2α为钝角

10.最小正周期为π的函数有(　　)

A.y=2cos x 

B.y=|sin x|

C.y=cos|2x| 

D.y=tan

11.将函数f(x)=cos-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是              (　　)

A.最小正周期为π

B.图象关于点对称

C.图象关于y轴对称

D.在区间上单调递增

12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,下列说法错误的是              (　　)

A.f(x)的图象关于直线x=-对称

B. f(x)的图象关于点对称

C.将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象

D.若方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(-2,-]

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.sin+cos·tan 4π-cos=　　　　. 

14.已知f(x)=asin x+btan x+1满足f(5)=7,则f(-5)=　　　　. 

15.有下列说法:

①函数y=-cos 2x的最小正周期是π;

②终边在y轴上的角的集合是;

③在同一直角坐标系中,函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点;

④把函数y=3sin的图象向右平移个单位长度得到函数y=3sin 2x的图象;

⑤函数y=sin在[0,π]上是减函数.

其中,正确的说法是　　　　.(填序号) 

16. 已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　;tan θ=　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知tan α=-.

(1)求2+sin αcos α-cos2α的值;

(2)求的值.

18.(本小题满分12分)在△ABC中,sin A+cos A=,求tan A的值.

19.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一个对称中心是.

(1)求φ;

(2)求函数y=f(x)的单调增区间.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin.

(1)求f(x)的最小正周期T;

(2)求f(x)的单调递增区间;

(3)在给定的坐标系中作出函数f(x)x∈的简图,并直接写出函数f(x)在区间上的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的周期为π,且图象上的一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求f(x)的最值.

22.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;

(2)当自然气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C　由题意知,周期T==4π,振幅为2,在x+中,令x=0,求得初相为.

故选C.

2.A　∵sin 2 020°=sin(360°×6-140°)

=-sin 140°=-sin 40°,

且sin 40°∈,∴sin 2 020°=-sin 40°∈.故选A.

3.B　∵x∈且x≠0,

∴-x∈且-x≠,

即-x∈∪,

当-x∈时,y≥1;

当-x∈时,y≤-1,

∴函数的值域是(-∞,-1]∪[1,+∞).

4.C　易知函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),

故f(x)是偶函数,排除A,B.

当x=时, f=>0,∴图象在x轴的上方,排除D.故选C.

5.D　f(x)==sin x+2+-4,

令t=sin x+2,则t∈[1,3],y=t+-4,

由对勾函数的性质可知y=t+-4在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增,

当t=1时,y=1,当t=3时,y=,

所以函数f(x)的最大值为1.故选D.

6.D　设扇形的圆心角为α rad,半径为r,

则S扇形=αr2,

由C=2r+αr,得r=,且0<α<2π,

∴S扇形=α·=

=,

又2α+≥2=8,当且仅当2α=,即α=2时,“=”成立,

∴S扇形的最大值为,对应圆心角为α=2.故选D.

7.A　由题图1可知A1=2,函数的周期为T=π-(-π)=2π,则ω1==1,

当x=时,ω1x+φ1=1×+φ1=2kπ+(k∈Z),则φ1=2kπ(k∈Z),

令k=0,可得φ1=0,则f(x)=2sin x,

同理可得g(x)=2sin.

将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=2sin 2x,而g(x)=2sin2x-=2sin 2,

故只需将y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数g(x)的图象.

8.C　函数f(x)=sin 2x的最小正周期为π,g(x)=2cos x的最小正周期为2π,因此在区间[0,2π]内研究它们的单调递减区间.

由题意,函数f(x)=sin 2x在,上单调递减,函数g(x)=2cos x在(0,π)上单调递减,

因此函数f(x)=sin 2x与g(x)=2cos x都在区间上单调递减,

则bmax=,amin=,所以b-a的最大值为-=,故选C.

二、多项选择题

9.BC　选项A中,-=-2π+,是第二象限角,A错误;选项B中,设该扇形的半径为r,则·r=π⇒r=3,∴S扇形=××32=,B正确;选项C中,=5,

∴cos α=-,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.

10.BC　选项A中,y=2cos x,其最小正周期为T=2π,A错误;选项B中,由图象(图略)知,y=|sin x|的最小正周期为π,B正确;选项C中,y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为T==π,C正确;选项D中,最小正周期为T=,D错误.故选BC.

11.ABC　将函数f(x)=cos-1 的图象向左平移个单位长度,

可得y=cos(2x+π)-1=-cos 2x-1 的图象,

再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)=-cos 2x的图象.

关于函数g(x),它的最小正周期为=π,故A正确;

令x=,求得g(x)=0,可得它的图象关于点对称,故B正确;

易知g(x)是偶函数,故它的图象关于y轴对称,故C正确;

当x∈时,2x∈(π,2π),y=cos 2x单调递增,故g(x)=-cos 2x单调递减,故D错误.

故选ABC.

12.ABC　由题中函数的图象可得A=2,·=-,故ω=2.

由五点法可得2×+φ=π,故φ=,所以f(x)=2sin.

当x=-时, f(x)=0,故A中说法不正确;

当x=-时, f(x)=-2,故B中说法不正确;

将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度得到函数

y=2sin=2sin2x+的图象,故C中说法不正确;

当x∈时,2x+∈-,,

因为2sin=-,2sin=-2,

所以方程f(x)=m在上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-],所以D中说法正确.故选ABC.

三、填空题

13.答案　0

解析　原式=-sin+cos·0-cos=-sin-cos

=sin-cos=-=0.

14.答案　-5

解析　f(5)=asin 5+btan 5+1=7,

∴asin 5+btan 5=6.

f(-x)=asin(-x)+btan(-x)+1

=-asin x-btan x+1,

∴f(-5)=-asin 5-btan 5+1

=-(asin 5+btan 5)+1

=-6+1=-5.

15.答案　①④

解析　对于①,y=-cos 2x的最小正周期T==π,故①对;对于②,因为k=0时,α=0,角α的终边在x轴上,故②错;对于③,作出y=sin x与y=x的图象,可知两个函数图象只有(0,0)一个交点,故③错;对于④,将y=3sin的图象向右平移个单位长度后,得y=3sin2+=3sin 2x的图象,故④对;对于⑤,y=sinx-=-cos x,在[0,π]上为增函数,故⑤错.

16.答案　;-

解析　∵sin θ+cos θ=,

∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,

即sin θcos θ=-.

∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=,

(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=.

∵θ∈(0,π),sin θcos θ=-<0,

∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,

∴sin θ-cos θ=.

由解得

∴tan θ=-.故答案为;-.

四、解答题

17.解析　(1)2+sin αcos α-cos2α

=

=

=,把tan α=-代入,得原式=

==. (5分)

(2)原式=

=

==-=-tan α=. (10分)

18.解析　∵sin A+cos A=,①

①两边平方得2sin Acos A=-,

从而cos A<0,A∈,

∴sin A-cos A

==,②

由①②,可得sin A=,cos A=,∴tan A=-2-. (12分)

19.解析　(1)∵是函数y=f(x)的图象的对称中心,

∴sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),

∴φ=kπ-(k∈Z).

∵-π<φ<0,∴φ=-. (6分)

(2)由(1)知φ=-,

因此y=sin,

令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以函数y=sin的单调增区间为,k∈Z. (12分)

20.解析　(1)f(x)的最小正周期为T==π.(3分)

(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. (6分)

所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z. (7分)

(3)函数f(x)的简图如图所示.

(10分)

函数f(x)在区间上的取值范围是[-2,]. (12分)

21.解析　(1)由图象上的一个最低点为M,-2,得A=2.由T=π,得ω===2.由点M,-2在图象上,

得2sin+φ=-2,

即sin+φ=-1,

所以+φ=2kπ-(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈0,,所以φ=.所以f(x)=2sin2x+. (6分)

(2)因为x∈0,,所以2x+∈,.

所以当2x+=,即x=0时, f(x)取得最小值1;

当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值2. (6分)

22.解析　(1)以月份x为横坐标,气温t为纵坐标作出散点图,并以光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.

由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k来模拟.              (3分)

由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,

得A==4.2,k==13.7. (5分)

显然=12,故ω=. (6分)

又x=2时,y取得最大值,所以由五点法可得×2+φ=0,得φ=-,

所以t=4.2cos+13.7为惠灵顿市的月平均气温的一个函数模型. (8分)

(2)作直线t=13.7与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.              (12分)