湘教版高中数学必修第一册第5章 章末综合提升课件+学案+章末综合测评含答案

类型1　任意角的三角函数概念

任意角和弧度制是三角函数的基础，是后续学习的重要保障，在高考中主要涉及三角函数的概念，常以选择题和填空题的形式考查，主要考查学生的数学运算素养．难度为容易题．三角函数线是解决三角函数问题的有力工具，应用较广，主要利用其判断三角函数的符号．借助三角函数线求三角函数的定义域以及与三角函数有关的证明问题．

【例1】　(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是________．

(2)函数y＝＋的定义域是________．

(1)或－　(2)

[(1)r＝|OP|＝＝5|m|.

当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

∴2sin α＋cos α＝.

当m<0时，sin α＝＝＝－，

cos α＝＝＝，

∴2sin α＋cos α＝－.

故2sin α＋cos α的值是或－.

(2)由得

如图，结合三角函数线知：

解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴函数的定义域为.]

1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值；

(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．

[解]　(1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，

∴sin α＝＝＝y.

∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝，

∴y＝±.

∴点P在第二或第三象限．

当点P在第二象限时，y＝，

cos α＝＝－，tan α＝－.

当点P在第三象限时，y＝－，cos α＝＝－，tan α＝.

(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，

则r＝＝＝|k|.

当k>0时，r＝k.

∴sin α＝＝－，＝＝.

∴10sin α＋＝－3＋3＝0.

当k<0时，r＝－k.

∴sin α＝＝，＝＝－.

∴10sin α＋＝3－3＝0.

综上，10sin α＋＝0.

类型2　同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系和诱导公式主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明．常用以下方法技巧：(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式．

常用方程、函数相结合命题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养．考查难度以中、低档为主．

【例2】　已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：

(1)＋；

(2)m的值；

(3)方程的两根及此时θ的值．

[解]　由根与系数的关系，得

sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝.

(1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝.

(2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝代入得1＋2×＝1＋，∴m＝.

(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，得两根为和.

∴或

∵θ∈(0,2π)，

∴θ＝或.

2．已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

(3)若α＝－，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝＝sin α·cos α.

(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α

＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝.

又∵<α<，

∴cos α<sin α，

即cos α－sin α<0，

∴cos α－sin α＝－.

(3)∵α＝－＝－6×2π＋，

∴f＝cos·sin

＝cos·sin

＝cos ·sin ＝×＝.

类型3　三角函数的图象与性质

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．主要考查学生的数学运算、数据分析、逻辑推理素养．考查难度以中低档为主．具体要求：

(1)用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.

(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

(3)已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法．

【例3】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3.

(1)写出f(x)的表达式；

(2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间；

(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)∵T＝π，

∴ω＝＝2.

∵f(x)的最大值为3，

∴A＝2.

∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1．

∵f＝＋1，

∴2sin＋1＝＋1，

∴cos φ＝.

∵0<φ<，

∴φ＝.

∴f(x)＝2sin＋1．

(2)∵f(x)＝2sin＋1，

令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，

∴对称中心为(k∈Z)．

由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)，

∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

(3)当0≤x≤时，≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴f(x)在上的最大值为3，最小值为0.

3．已知函数f(x)＝sin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．

[解]　(1)f(x)＝sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得g1(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象．作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，作直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.

类型4　数形结合思想

数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.  以中低档题目为主考查．

本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法．

【例4】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x根的个数．

[解]　显然A＝2.

由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝，

∵|φ|<，则φ＝.

又是图象上的点，则f＝0，

即sin＝0，由图象可知，是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．

∴ω＋＝2π，∴ω＝2，

因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin.

在同一坐标系中作函数y＝2sin和函数y＝lg x的示意图如图所示：

∵f(x)的最大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令π＋kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而π＋31π>100，

∴在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在上有2×31＝62个交点，另外在上还有1个交点，

∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个，

∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个实根．

4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|成立的x的取值范围是(　　)

A． B．∪

C． D．

A　[∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)．

在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图象，如图．

观察图象易得使sin x>|cos x|成立的x∈，故选A．]

5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)如何由函数y＝sin x的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．

[解]　(1)由图象知A＝1，f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，

将点代入f(x)的解析式得sin＝1，

又|φ|<，∴φ＝.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.

(2)变换过程如下：

y＝sin x图象上的y＝sin 2x的图象，再把y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象．

1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)

A． B．

C． D．

A　[法一(常规求法)：令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．

法二(判断单调性法)：当0＜x＜时，－＜x－＜，所以f(x)在上单调递增，故A正确；当＜x＜π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故B不正确；当π＜x＜时，＜x－＜，所以f(x)在上单调递减，故C不正确；当＜x＜2π时，＜x－＜，所以f(x)在上不单调，故D不正确．故选A．]

2．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)

A．sin B．sin

C．sin D．sin

B　[依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．]

3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.

－　[法一(五点作图法)：由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，

即f(x)＝2cos，

所以f＝2cos＝－.

法二(代点法)：由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点在函数f(x)的图象上，所以2cos＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f(x)＝2cos，所以f＝2cos＝－2cos＝－.]

4．(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)

A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0

C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0

D　[由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D．]