2022_2023学年新教材高中数学湘教版必修第一册章末质量检测五三角函数

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章末质量检测(五)　三角函数考试时间：120分钟　 满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列各角中，与2 021°终边相同的角为(　　)A．41° B．139° C．221° D．－41°2．sin 600°＋tan 240°的值等于(　　)A．－ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(3),2) C．－ eq \f(1,2) ＋ eq \r(3) D． eq \f(1,2) ＋ eq \r(3) 3．已知tan α＝ eq \f(1,2) ，则 eq \f(cos α＋sin α,cos α－sin α) ＝(　　)A．2 B．－2 C．3 D．－34．如果角θ的终边经过点(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) )，那么sin ( eq \f(π,2) ＋θ)＋cos (π－θ)＋tan (2π－θ)＝(　　)A．－ eq \f(4,3) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,4) D．－ eq \f(3,4) 5．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移 eq \f(π,10) 个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10))) B．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5))) C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))) D．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20))) 6．函数y＝lg (2sin x－1)的定义域为(　　)A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)0)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π，0))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值为(　　)A．1 B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列结论正确的是(　　)A．－ eq \f(7π,6)是第三象限角 B．若圆心角为 eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 eq \f(3π,2)C．若角α的终边过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，4))，则cos α＝－ eq \f(3,5)D．若角α为锐角，则角2α为钝角10．下图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A．sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x)) C．cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))11．若将函数f(x)＝cos  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))的图象向左平移 eq \f(π,8)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减C．x＝ eq \f(π,12)不是函数g(x)图象的对称轴 D．g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上的最小值为－ eq \f(1,2)12．函数f(x)＝cos (ωx＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)A.ω＝πB．φ＝ eq \f(π,3)C．x＝ eq \f(3,4)是函数的一条对称轴D．(k＋ eq \f(1,4)，0)(k∈Z)是函数的对称中心三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知00，－ eq \f(π,2)<φ< eq \f(π,2))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 eq \f(π,4)个单位长度得到y＝sin x的图象，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝____________．16．已知函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，其中x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，a)).若f(x)的值域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，则实数a的最小值为________，最大值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求下列各式的值．(1)cos  eq \f(25π,4)＋tan  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.18．(本小题满分12分)已知－ eq \f(π,2)0，∴sin x> eq \f(1,2)，∴2kπ＋ eq \f(π,6)0，sin x<0，∴sin x－cos x＝－ eq \r(（sin x－cos x）2)＝－ eq \r(1－2sin x cos x)＝－ eq \f(7,5).19．解析：(1)函数f(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋ eq \f(1,2)(ω>0)的最小正周期为 eq \f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝ eq \f(\r(2),2)sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋ eq \f(1,2)的图象．∴x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,16)))，∴4x＋ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，故当4x＋ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,4)时，g(x)取得最小值为1.20．解析：(1)对于函数f(x)＝sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(7π,8)))上，2x＋ eq \f(π,4)∈[0，2π]，列表：作图：(2)令2x＋ eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，求得x＝ eq \f(kπ,2)－ eq \f(π,8)，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，1))，k∈Z.令2kπ－ eq \f(π,2)≤2x＋ eq \f(π,4)≤2kπ＋ eq \f(π,2)，求得kπ－ eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋ eq \f(π,8)，可得函数的增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z.(3)令2x＋ eq \f(π,4)＝2kπ＋ eq \f(π,2)，求得x＝kπ＋ eq \f(π,8)，可得函数f(x)的最大值为2，此时，{x|x＝kπ＋ eq \f(π,8)，k∈Z}．21．解析：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－ eq \f(π,2)，故点B的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4.8cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))，4.8sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))))，∴h＝5.6＋4.8sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)点A在圆上转动的角速度是 eq \f(π,30)，故t秒转过的弧度数为 eq \f(π,30)t，∴h＝5.6＋4.8sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞).当h＝8m.由h＝5.6＋4.8sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝8，得4.8sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝2.4所以sin  eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝ eq \f(1,2)，得 eq \f(π,30)t－ eq \f(π,2)＝ eq \f(π,6)，即 eq \f(π,30)t＝ eq \f(π,2)＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(2π,3)，∴t＝20，∴缆车离地面8米时用的最少时间是20秒．22．解析：(1)函数的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π，由2kπ－ eq \f(π,2)≤2x－ eq \f(π,3)≤2kπ＋ eq \f(π,2)时单调递增，解得：kπ－ eq \f(π,12)≤x≤kπ＋ eq \f(5π,12)，k∈Z，∴函数的单调递增区间为： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.(2)函数g(x)＝f(x)－m在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上有两个不同的零点x1，x2，转化为函数f(x)与函数y＝m有两个交点，令u＝2x－ eq \f(π,3)，∵x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴u∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))可得f(x)＝sin u的图象(如图).从图可知：m在[ eq \r(3)，2)，函数f(x)与函数y＝m有两个交点，其横坐标分别为x1，x2.故得实数m的取值范围是m∈[ eq \r(3)，2)，由题意可知x1，x2关于对称轴对称，那么函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的对称轴x＝ eq \f(5π,12)，∴x1＋x2＝ eq \f(5π,12)×2＝ eq \f(5π,6)，那么：tan (x1＋x2)＝tan  eq \f(5π,6)＝－ eq \f(\r(3),3). 2x＋ eq \f(π,4) 0 eq \f(π,2)π eq \f(3π,2) 2πx－ eq \f(π,8) eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8)f(x) 1 2 1 0 1