高中数学湘教版（2019）必修 第一册6.3 统计图表导学案

6．3　统计图表

美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是拜登，拜登于2021年1月20日就任总统，年龄是79岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2021年的拜登，共46任)给出了历届美国总统就任时的年龄：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48，71，79.

[问题]　(1)上述46个数据中最大值与最小值的差是多少？

(2)在初中我们用什么图形将各组中的数据形象地在直角坐标系中表示出来？

知识点一　常见统计图表

1．频数分布表：将样本数据按类型分类整理，一般分类型、频数、合计等栏目制成表格．

2．扇形统计图(也称饼图、饼形图)

3．条形统计图

4．直方图

5.(1)折线图

(2)频率(数)分布折线图：把频率(数)分布直方图中的每一个矩形上面一边的中点用线段连接起来．

频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？

提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．

1．某地农村2005年到2020年间人均居住面积的统计图如图所示，则增长最多的5年为(　　)

A．2005年～2010年　　　　 B．2010年～2015年

C．2015年～2020年  D．无法从图中看出

解析：选C　2005年～2010年的增长量为3.1，2010年～2015年的增长量为3.2，2015年～2020年的增长量为3.8.

2．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是(　　)

A．甲校女生比乙校女生多

B．乙校男生比甲校男生少

C．乙校女生比甲校男生少

D．甲、乙两校女生人数无法比较

解析：选D　题图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生人数不知道，因此男生、女生的具体人数也无法得知．

3．甲、乙两个城市2021年4月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这9天里，气温比较稳定的城市是________．

解析：从折线统计图中可以很清楚的看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大．

答案：甲

知识点二　绘制频率分布直方图的步骤

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．(　　)

(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．(　　)

(3)频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.(　　)

(4)样本量越大，用样本的频率分布去估计总体的频率分布就越准确．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．一个样本量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为(　　)

A．10组　　 B．9组　　　

C．8组　　 D．7组

解析：选A　由题意知，＝9.2，故应分成10组．

[例1]　现在的青少年由于沉迷手机、电视、网络游戏等，视力日渐减退，某市为了了解学生的视力变化情况，从全市九年级随机抽取了1 500名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形图．

解答下列问题：

(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________；

(2)若2020年全市共有30 000名九年级学生，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？

(3)根据扇形统计图信息，你觉得中学生应该如何保护视力？

[解]　(1)根据题意得：360°×(1－40%－25%－20%)＝54°.故填54°.

(2)根据题意得：30 000×＝16 000(名)，则估计视力在4.9以下的学生约有16 000名．

(3)建议中学生应少看手机，少玩游戏，少看电视，才能保护视力．

1．扇形图的特点

(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；

(2)易于显示每组数据相对于总数的大小．

2．条形图的特点

(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；

(2)易于比较数据之间的差别．

3．折线图的特点

(1)能清楚地反映事物的变化情况；

(2)显示数据变化趋势．　　　　

[跟踪训练]

某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图)，该校七、八、九三个年级共有学生800人，甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高”．乙说：“八年级共有学生264人．” 丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲、乙、丙三个同学中，说法正确的是(　　)

A．甲和乙　 B．乙和丙　

C．甲和丙　 D．甲、乙和丙

解析：选B　由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人；

七年级的达标率为×100%≈87.8%；

九年级的达标率为×100%≈97.9%；

八年级的达标率为×100%≈94.7%.

则九年级的达标率最高，则乙、丙的说法是正确的．故选B.

[例2]　已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5，6，7，10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________．

[解析]　因为频率＝，所以频数＝频率×样本容量，因为第五组的频率是0.2，所以频数是0.2×40＝8，第六组的频数是40－(5＋6＋7＋10＋8)＝4，所以第六组的频率是＝0.1.

[答案]　4　0.1

频数与频率的求解策略

对于频数与频率的问题，首先要明确几个等量关系，即各组的频数之和等于样本容量，各组的频率之和为1，频率＝.在解题过程中，要明确频数、频率以及样本容量之间的关系，弄清已知、未知，选择合适的公式进行解题．　　　　

[跟踪训练]

一个容量为20的样本数据，分组与频数如下表：

则样本数据在区间[10，50)上的频率为________．

解析：区间[10，50)包括四部分的数据，在这四部分上的数据的频数和是2＋3＋4＋5＝14，样本容量为20，所以样本数据在区间[10，50)上的频率为＝0.7.

答案：0.7

[例3]　(链接教科书第221页案例3)为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的100棵树的底部周长，得到如下数据(单位：cm)：

(1)列出频率分布表；

(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图．

[解]　(1)这组数据的最大的数为135，最小的数为80，最大的数与最小的数的差为55，可将该组数据分为11组，组距为5.

频率分布表如下：

(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

绘制频率分布直方图应注意的2个问题

(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率/组距”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为一个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推；

(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～120个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.　　　　

[跟踪训练]

有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[10，15)，4；[15，20)，5；[20，25)，10；[25，30)，11；[30，35)，9；[35，40)，8；[40，45]，3.

(1)求出样本中各组的频率；

(2)画出频率分布直方图及频率分布折线图．

解：(1)由所给的数据，可得下表：

(2)频率分布直方图如图①所示，频率分布折线图如图②所示．

1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是(　　)

解析：选D　用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．

2．如图是2021年各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图，则下列结论正确的是(　　)

A．2021年有6%的高中生升入高等学校

B．2021年全国高等学校在校生6 000人

C．2021年各级学校10万人口平均在校生人数高等学校学生占6%

D．2021年高等学校的学生比高中阶段的学生多

解析：选C　由扇形统计图可以看出，2021年各级学校每10万人口中平均在校生的人数所占的百分比分别为：幼儿园占8%，高等学校占6%，高中阶段占12%，初中阶段占26%，小学占48%，故选C.

3．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90，110)内的频数为(　　)

A．48　　　　　　　 B．60

C．64  D．72

解析：选B　由(0.005 0＋0.007 5＋0.010 0＋0.012 5＋a)×20＝1，解得a＝0.015，所以样本数据落在区间[90，110)内的频率为0.015×20＝0.3，所以样本数据落在区间[90，110)内的频数为200×0.3＝60，故选B.

4．(多选)如图给出的是某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率分布折线图，其中组距为10，且本次考试中最低分为50分，最高分为100分．根据图中所提供的信息，下列结论中正确的是(　　)

A．成绩是75分的人数为20

B．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多

C．成绩落在[70，90)内的人数为35

D．成绩落在[70，80)内的人数为20

解析：选CD　成绩落在[70，80)内的人数为10××55＝20，不能说成绩是75分的人数为20，所以A错误，D正确；从频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，只能看出成绩落在[50，60)内的人数和成绩落在[90，100]内的人数相等，所以B错误；成绩落在[70，90)内的人数为×55＝35，所以C正确．

5．交通管理部门为了解某一段公路上小汽车的行驶速度，随机抽取了200辆通过这一段公路的小汽车，其速度的频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段上行驶速度低于60 km/h的有________辆．

解析：由频率分布直方图，可知该路段上行驶速度低于60 km/h的有200×(0.01＋0.03)×10＝80(辆)．

答案：80