湘教版高中数学必修第一册第五章三角函数章末检测含解析

章末检测(五)　三角函数

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选B　由tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限．

2．sin 600°＋tan 240°的值等于(　　)

A．－  B．

C．－＋  D．＋

解析：选B　sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－，

tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝，

因此sin 600°＋tan 240°＝.

3．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝(　　)

A．－  B．

C.  D．－

解析：选B　易知sin θ ＝，cos θ＝－，tan θ＝－.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.

4．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

解析：选B　f(x)的最小正周期为T＝＝π.

∵sin＝－sin＝－cos 2x，

∴f(x)＝－cos 2x.

又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，

∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．

5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝(　　)

A．2或0  B．0

C．－2或0  D．－2或2

解析：选D　由f＝f(－x)得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2，故选D.

6．设函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，

得到函数g(x)＝sin的图象．

若g(x)为偶函数，则2φ－＝kπ＋，k∈Z，

令k＝－1，求得φ的最小值为，故选A.

7．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质．则函数f(x)＝的图象可能为(　　)

解析：选A　f(－x)＝＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、C，当0＜x＜1时，f(x)＞0，排除D，故选A.

8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为(　　)

A．1  B．

C.  D．

解析：选C　由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，若函数g(x)在区间上是单调增函数，则实数ω可能的取值为(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：选ABC　由题意知g(x)＝sin，g(x)的一个增区间为，要使g(x)在上单调递增，只需，解得0<ω≤，故选A、B、C.

10．已知函数f(x)＝sin－，下列命题正确的是(　　)

A．f(x)的最小正周期为2π

B．f(x)在区间上为增函数

C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴

D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到

解析：选BC　f(x)＝sin－，其最小正周期为π，显然A错；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin＝sin的图象，故D错．

11．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则(　　)

A．φ＝  B．φ＝

C．A＝2  D．A＝3

解析：选BC　由题图知：A＝＝2.

又f(0)＝|2cos φ＋1|＝2，

所以cos φ＝或cos φ＝－(舍)，

因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，

所以φ＝，故选B、C.

12．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)在区间单调递增

C．f(x)的图象在[－π，π]与x轴有4个交点

D．f(x)的最大值为2

解析：选AD　∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故A正确；当x∈时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，f(x)在单调递减，故B错误；当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个交点，故C错误；∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当x＝＋2kπ(k∈N)或x＝－－2kπ(k∈N)时两等号同时成立，∴f(x)的最大值为2，故D正确．故选A、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．函数y＝ 的定义域为________．

解析：由2cos－1≥0，得cos≥，进而－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ(k∈Z)，解得2k≤x≤＋2k(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

14．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.

解析：由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，

∴S扇形＝lr＝×20×＝.

答案：

15．已知cos＝，且α是第一象限角，则

(1)cos(3π－α)＝________；

(2)tan(α＋π)＋＝________．

解析：(1)由cos＝，得sin α＝.

因为α是第一象限角，所以cos α>0.

所以cos α＝，

所以cos(3π－α)＝－cos α＝－.

(2)因为tan α＝＝，

所以tan(α＋π)＋＝tan α＋＝tan α＋1＝.

答案：(1)－　(2)

16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．

解析：因为0≤x≤2，所以≤ωx＋≤2ω＋，要使函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋≥，解得ω≥，即ω的最小值为.

答案：

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)在①tan(π＋α)＝2；②sin(π－α)－sin＝cos(－α)；③2sin＝cos，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．

问题：已知________．

(1)求的值；

(2)当α为第三象限角时，求sin(－α)－cos(π＋α)－cossin的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：若选择①：tan(π＋α)＝tan α＝2.

(1)＝＝＝8.

(2)由tan α＝2及α为第三象限角得，sin α＝2cos α<0，

又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝－，cos α＝－.

所以sin(－α)－cos(π＋α)－cossin

＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－＋×＝.

若选择②：由sin(π－α)－sin＝cos(－α)，得sin α＝2cos α，

(1)＝＝8.

(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0，

又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝－，cos α＝－，

所以sin(－α)－cos(π＋α)－cossin

＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－＋×＝.

若选择③：由2sin＝cos得2cos α＝sin α.

(1)＝＝8.

(2)由α为第三象限角可知，sin α＝2cos α<0，

又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝－，cos α＝－.

所以sin(－α)－cos(π＋α)－cossin＝－sin α＋cos α＋sin αcos α＝－＋×＝.

18．(本小题满分12分)已知把函数g(x)＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数f(x)的图象．

(1)求f(x)的最小值及取最小值时x的取值集合；

(2)求f(x)在x∈时的值域．

解：(1)由已知得f(x)＝2sin＋1.

当sin＝－1时，f(x)min＝－2＋1＝－1，此时2x－＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，故f(x)取最小值时x的取值集合为.

(2)当x∈时，2x－∈，所以－≤sin≤1，从而－＋1≤2sin＋1≤3，即f(x)的值域为[－＋1，3]．

19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.

(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；

(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．

解：(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值．

∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.

(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，

其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋1.

(1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的简图；

(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间；

(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合．

解：(1)对于函数f(x)＝sin＋1，在x∈上，2x＋∈[0，2π]，列表：

作图：

(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，求得x＝－，k∈Z，

可得函数的图象的对称中心为，k∈Z.

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，可得函数的增区间为，k∈Z.

(3)令2x＋＝2kπ＋，求得x＝kπ＋，所以函数f(x)的最大值为2，此时x的集合为.

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)取得最大值3；当x＝时，f(x)取得最小值－3.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递减区间；

(3)若x∈时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m的图象与x轴有两个交点，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意，A＝3，T＝2＝π，ω＝＝2.

由2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，

又因为－π<φ<π，所以φ＝.

所以f(x)＝3sin.

(2)由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，

则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．

(3)由题意知，方程sin＝在上有两个根．

因为x∈，所以2x＋∈.

所以∈.所以m∈[3＋1，7)．

22．(本小题满分12分)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：

①它的图象关于直线x＝对称；

②它的图象关于点对称；

③它的周期是π；

④它在区间上是增函数．

以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明．

解：两个正确的命题如下：

(1)①③⇒②④；(2)②③⇒①④.

对(1)证明如下：

由③，得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．

由①，得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

∴φ＝kπ＋(k∈Z)．

又∵－<φ<，

∴取k＝0，得φ＝，

∴f(x)＝sin.

当x＝时，f＝sin＝sin π＝0.

∴f(x)的图象关于点对称，②成立．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

即f(x)的增区间为(k∈Z)．

取k＝0，得f(x)的一个单调增区间为.

又∵，

∴f(x)在上是增函数．

∴④成立．∴①③⇒②④.