人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共10页。学案主要包含了直线的两点式方程，直线的截距式方程等内容，欢迎下载使用。

导语
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．怎样表示直线的方程呢？
一、直线的两点式方程
问题1 我们知道已知两点也可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
知识梳理
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．
注意点：
(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．
(2)两点式方程与这两个点的顺序无关．
(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等．
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得eq \f(y－－4,－2－－4)＝eq \f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，b＝eq \f(－4＋－2,2)＝－3，
所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－－3,\f(5,2)－－3)，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．
解 kBC＝eq \f(－4－－2,5－0)＝－eq \f(2,5)，
则BC边的垂直平分线的斜率为eq \f(5,2)，
又BC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
由点斜式方程可得y＋3＝eq \f(5,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))，
即10x－4y－37＝0.
反思感悟 利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以eq \f(y－1,－3－1)＝eq \f(x－－2,3－－2)，
即eq \f(y－1,－4)＝eq \f(x＋2,5)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
问题2 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？
提示 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
知识梳理
我们把方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
注意点：
(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．
(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．
(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．
(4)过原点的直线的横、纵截距都为零．
例2 求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1.又l过点A(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,－a)＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为eq \f(x,－1)＋eq \f(y,1)＝1，
即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
延伸探究
1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，
设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
又l过点A(－3，－4)，所以eq \f(－3,a)＋eq \f(－4,－a)＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为eq \f(x,1)＋eq \f(y,－1)＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)，所以－4＝k·(－3)，解得k＝eq \f(4,3).
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
解 (1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l过点(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式方程的逆向应用．
跟踪训练2 直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程．
解 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12.
所以eq \r(a2＋b2)＝12－a－b.
两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因为直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(9,2)，,a＝\f(12,5)，))
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
1．知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．
1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,4)＝1 B.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－4)＝1
C.eq \f(x,－3)－eq \f(y,4)＝1 D.eq \f(x,4)＋eq \f(y,－3)＝1
答案 A
2．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B.eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)
C.eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－3,2－3) D.eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,1－3)
答案 B
解析 ∵所求直线过点(1,2)，(5,3)，
∴所求直线方程是eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1).
3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程可得eq \f(y－3,5－3)＝eq \f(x－1,2－1)，
即2x－y＋1＝0.
课时对点练
1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程为eq \f(y－1,4－1)＝eq \f(x＋2,1＋2)，
整理得y＝x＋3.
2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
答案 A
解析 显然a≠0.把直线l：ax＋y－2＝0化为eq \f(x,\f(2,a))＋eq \f(y,2)＝1.
∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，
∴eq \f(2,a)＝2，解得a＝1.
3．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1过第一、二、三象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
解析 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0.
4．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2 B．－3
C．－27 D．27
答案 D
解析 由两点式得直线方程为eq \f(y－6,5－6)＝eq \f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27.
5．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
答案 A
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，
再由两点式可得直线MN的方程为eq \f(y－4,2－4)＝eq \f(x－2,3－2)，
即2x＋y－8＝0.
6．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(10,a)))，则直线AB的方程为( )
A．y＝－eq \f(3,4)x＋5 B．y＝eq \f(3,4)x－5
C．y＝eq \f(3,4)x＋5 D．y＝－eq \f(3,4)x－5
答案 C
解析 依题意知，a＝2，P(0,5)．
设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，
则由中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0－2y0＝0，,2x0＋y0＝10，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝4，,y0＝2，))
所以A(4,8)，B(－4,2)，
由直线的两点式方程，得直线AB的方程是eq \f(y－8,2－8)＝eq \f(x－4,－4－4)，即y＝eq \f(3,4)x＋5.
7．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，由两点式可得，eq \f(y－0,3－0)＝eq \f(x－2,1－2)，
整理得3x＋y－6＝0.
8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案 －2
解析 由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为eq \f(y－－1,4－－1)＝eq \f(x－2,－3－2)，
即x＋y－1＝0.
又点P(3，m)在直线AB上，
所以3＋m－1＝0，得m＝－2.
9．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解 设直线的截距式方程为eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，
解得a＝2或a＝1，
则直线的截距式方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1，
即eq \f(x,3)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,2)＋y＝1.
10.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程．
解 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为
eq \f(x,－8)＋eq \f(y,4)＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为eq \f(y－4,6－4)＝eq \f(x－0,－2－0)，
即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，得边BD所在直线的方程为eq \f(y－2,6－2)＝eq \f(x－－4,－2－－4)，
即2x－y＋10＝0.
11．(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＝5
B．x－y＝5
C．x－4y＝0
D．x＋4y＝0
答案 AC
解析 当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝eq \f(1,4)x，
即x－4y＝0；
当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1.
把(4,1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.
综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为( )
A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0
C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0
答案 D
解析 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x＋4,4＋4)，即x－2y＋4＝0.
13．直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
答案 B
解析 易知直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1的斜率为eq \f(n,m)，直线eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝1的斜率为eq \f(m,n)，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足．
14．已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________________．
答案 3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析 若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l的方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴上的截距为b，则l的方程为eq \f(x,2b)＋eq \f(y,b)＝1，把(2,3)代入，解得b＝4，所以l的方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，
则x＝3－eq \f(3,4)y，
∴xy＝3y－eq \f(3,4)y2＝eq \f(3,4)(－y2＋4y)
＝eq \f(3,4)[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))时，xy取得最大值3.
16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直线l的方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
故直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直线的方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.