高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程导学案，共12页。

第二章　直线和圆的方程
2.2.3　直线的一般式方程
基础过关练
题组一　求直线的一般式方程
1.(2022福建厦门期中)过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为(　　)
A.x+2y-3=0　　　　B.x+2y-5=0
C.2x-y=0　　　　D.2x-y+4=0
2.(2023广东深圳期中)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+1=0垂直,则l的方程为(　　)
A.3x+2y-1=0　　　　B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0　　　　D.2x-3y+8=0
3.(2023辽宁沈阳二中期中)已知点M是直线l:3x-y+3=0与x轴的交点,将直线l绕点M旋转30°,所得到的直线l'的方程为　　　　. 
题组二　直线方程几种形式的相互转化
4.(2022浙江嘉兴一中月考)直线3x+y+1=0的倾斜角为(　　)
A.π6　　　　B.π3
C.2π3　　　　D.−π3
5.(2022山东济宁期中)若直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　　)
A.k=-23,b=3　　　　B.k=-23,b=-2
C.k=-32,b=-3　　　　D.k=-23,b=-3
6.(2022山东济宁嘉祥一中期中)无论m为何值,直线mx-y+2m+1=0所过定点的坐标为(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(2,-1)
C.(-2,1)　　　　D.(2,1)
7.(2022陕西渭南澄城期末)如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
8.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是　(　　)
A.12ab　　　　B.12|ab|　　
C.12ab　　　　D.12|ab|
题组三　直线一般式方程的综合应用
9.(2023北师大二附中期中)已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为(　　)
A.-4　　　　B.0　　
C.20　　　　D.24
10.(2023山东临沂平邑一中质检)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k等于(　　)
A.1或3　　　　B.5　　
C.3或5　　　　D.3
11.(2023四川成都树德中学期中)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,后人将这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-6,0),则其欧拉线的一般式方程为(　　)
A.3x+y=1　　　　B.3x-y=1
C.x+3y=0　　　　D.x-3y=0
12.(多选题)(2022重庆万州第二高级中学月考)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　)
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等

能力提升练
题组一　直线的一般式方程
1.(2022江西南昌模拟)已知集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},则集合A中的元素有(　　)
A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.无数个
2.(2023江苏南通如东段考)已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　. 
3.(2022陕西师大附中月考)已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　　　. 
4.(2023青海西宁期中)已知直线l:x-2y+2m-2=0.
(1)求过点(2,3)且与直线l垂直的直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数m的值.
题组二　直线的一般式方程的应用
5.(2022重庆八中期中)已知两定点A(-3,0),B(3,0),点P在直线2x-y-3=0上,且PA⊥PB,则这样的点P的个数为(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
6.(2022安徽A10联盟期中)已知直线l1:3x+ysin2α+2=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角的取值范围是(　　)
A.π3,π2　　　　B.0,π6
C.π3,π2　　　　D.0,π6
7.(2023浙江金华浦江建华中学月考)已知直线2x+y+2+λ(2-y)=0与两坐标轴围成一个三角形,记该三角形的面积为S(λ),当λ∈(1,+∞)时,S(λ)的最小值是(　　)
A.12　　B.10　　C.8　　D.6
8.(2022河北邯郸八校联盟期中)已知直线l不过第二象限,且与直线2x+3y+5=0垂直,写出一个满足上述条件的直线l的方程:　　　　　　. 
9.(2023河南顶级名校联考)已知直线l1:(a-2)x-3y+5=0和l2:3x-(b+1)y-7=0互相垂直,且a,b>0,则2a+1b的最小值为　　　　　. 
10.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考,)已知直线l1:
y=k2x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是　　　　. 
11.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,求k的值.
答案与分层梯度式解析
第二章　直线和圆的方程
2.2.3　直线的一般式方程
基础过关练
1.D
2.A
4.C
5.C
6.C
7.C
8.D
9.A
10.C
11.C
12.AC





1.D　设所求直线方程为2x-y+t=0(t≠1),
由点P(-1,2)在直线2x-y+t=0上,解得t=4,即2x-y+4=0.故选D.
方法点拨　与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(m≠C).
2.A　由直线l与直线2x-3y+1=0垂直,可设l的方程为3x+2y+t=0,由点(-1,2)在直线3x+2y+t=0上,解得t=-1,因此l的方程为3x+2y-1=0.故选A.
方法点拨　与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0.
3.答案　x+3=0或x−3y+3=0
解析　在方程3x-y+3=0中,令y=0,得x=-3.
∴M(-3,0),
易知直线l:3x−y+3=0的斜率为3,则其倾斜角为60°.
若直线l绕点M逆时针旋转30°得到直线l',则直线l'的倾斜角为90°,l'的方程为x=-3,即x+3=0;
若直线l绕点M顺时针旋转30°得到直线l',则直线l'的倾斜角为30°,∴直线l'的斜率为33,
∴l'的方程为y-0=33(x+3),即x-3y+3=0.
综上,直线l'的方程为x+3=0或x−3y+3=0.
易错警示　直线按顺时针旋转和按逆时针旋转造成的倾斜角变化不同,要注意区分.
4.C　将直线的方程3x+y+1=0化为斜截式得y=−3x-1,因此直线的斜率k=-3.设直线的倾斜角为α,则tan α=-3.因为α∈[0,π),所以α=2π3.故选C.
5.C　将直线的方程3x+2y+6=0化为斜截式为y=-32x-3,所以k=-32,b=-3.
6.C　将直线方程mx-y+2m+1=0化为点斜式为y-1=m(x+2),所以直线过定点(-2,1).
7.C　由题意得B≠0,则直线方程Ax+By+C=0化为斜截式为y=-ABx−CB,又A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴-AB<0,-CB>0,∴直线通过第一、二、四象限,不通过第三象限.故选C.
8.D　ax+by=1可化为x1a+y1b=1(ab≠0),∴三角形的面积S=12×1a1b=12|ab|.
9.A　因为直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,
所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分别代入两直线的方程,得a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故选A.
方法点拨　直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0垂直的等价条件为A1A2+B1B2=0.
10.C　∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(4-k)(k-3),解得k=3或k=5.当k=3时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,满足直线l1与l2平行;当k=5时,l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,满足直线l1与l2平行.∴k=3或k=5.故选C.
易错警示　已知直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0平行求参数,可令A1B2=A2B1,但是要注意检验并舍去使两直线重合的参数值.
11.C　显然△ABC为直角三角形,且BC为斜边,
所以其欧拉线为斜边上的中线所在直线,
易知线段BC的中点为(-3,1),设D(-3,1),
所以AD所在直线的方程为y=-13x,
所以△ABC的欧拉线的一般式方程为x+3y=0.
故选C.
12.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此时直线l的方程为x-y+1=0,满足直线l与直线x-y=0平行,所以不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.

能力提升练
1.D
5.C
6.D
7.C




1.D　由集合A={(x,y)|(x+y+1)(2x-y+1)=0},可知集合A为点集,且点的坐标满足(x+y+1)(2x-y+1)=0.∵(x+y+1)(2x-y+1)=0,∴x+y+1=0或2x-y+1=0,
易知x+y+1=0与2x-y+1=0表示的是两条直线,且这两条直线上有无数个点,这些点都是集合A中的元素,∴集合A中有无数个元素,故选D.
2.答案　8x-15y+6=0
解析　设直线l的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=14,
所以tan θ=tan 2α=2tanα1−tan2α=815,又l经过点P(3,2),所以可得直线l的方程为y-2=815(x-3),即8x-15y+6=0.
3.答案　x-y+1=0
解析　当线段AB最短时,AB⊥l,此时kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0.
4.解析　(1)直线l:x-2y+2m-2=0的斜率为12,故所求直线的斜率为-2,
因为所求直线过点(2,3),所以其方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.
(2)直线l与两坐标轴的交点分别为(-2m+2,0),(0,m-1),
则所围成三角形的面积为12×|-2m+2|×|m-1|,
由题意可知12×|-2m+2|×|m-1|=4,即(m-1)2=4,
解得m=3或m=-1.
5.C　当直线PA或PB的斜率不存在时,不存在满足PA⊥PB的点P;当直线PA与PB的斜率均存在时,设P(a,2a-3)(a≠±3),则kPA=2a−3a+3,kPB=2a−3a−3,因为PA⊥PB,所以kPA·kPB=-1,即2a−3a+3·2a−3a−3=-1,整理得5a2-12a+6=0,解得a=6+65或a=6−65,故满足题意的点P有2个.故选C.
6.D　当sin2α=0时,直线l1的方程是x=-233,其斜率不存在,若l1⊥l2,则l2的斜率为0,倾斜角为0.
当sin2α≠0时,直线l1的斜率为−3sin2α,若l1⊥l2,则直线l2的斜率为sin2α3∈0,33,故l2的倾斜角的取值范围为0,π6.
综上,l2的倾斜角的取值范围是0,π6.故选D.
7.C　易得直线2x+y+2+λ(2-y)=0,与两坐标轴的交点分别为(-1-λ,0),0,2+2λλ−1,λ∈(1,+∞),
故S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8,当且仅当λ-1=4λ−1,即λ=3时取等号.故选C.
8.答案　3x-2y=0(答案不唯一)
解析　易知直线2x+3y+5=0的斜率为-23.因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,所以直线l的斜率为32.
因为直线l不过第二象限,所以直线l在y轴上的截距小于或等于0,故满足题意的直线l的方程可以为3x-2y=0,此答案不唯一.
9.答案　3+22
解析　因为l1⊥l2,所以(a-2)×3+(-3)×[-(b+1)]=0,即a+b=1.因为a,b>0,所以2a+1b=2a+1b(a+b)=2+1+2ba+ab≥3+22ba·ab=3+22,当且仅当2ba=ab,即a=2-2,b=2-1时,等号成立,所以2a+1b的最小值为3+22.
10.答案　174,8
解析　直线l2的方程可化为y=-2k2x+4k2+4.
当k>4时,k2>0,-2k2<0,-k+4<0,4k2+4>0.
易知l1,l2均过定点(2,4),直线l1与x轴交于点2−8k,0,直线l2与y轴交于点0,4k2+4,
∴四边形的面积S=12×2×4k2+4−4+12×4×2+2−8k=41k2-16×1k+8=41k−22-8,
∵k>4,∴0<1k<14,∴S∈174,8.
11.解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°.

①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°−α2)cos(90°−α2)=cos α2sin α2=1tan α2,∴tan α1·tan α2=1,∴-13×3k=1,解得k=-1.
综上,k的值为±1.