高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案，共11页。学案主要包含了直线的一般式方程，直线的一般式方程的应用等内容，欢迎下载使用。

导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题1 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示 y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，
即eq \r(3)x－y－5eq \r(3)＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y－2＝0.
反思感悟 求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1 (1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
①斜率是－eq \f(1,2)，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
②在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)和－3的直线方程为________________；
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案 ①x＋2y＋4＝0 ②2x－y－3＝0 ③x＋y－1＝0
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
答案 D
解析 直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
∵所求直线过点A且斜率为－eq \f(1,2)，
∴所求直线的方程为y＋2＝－eq \f(1,2)x，即x＋2y＋4＝0.
二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题
例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解 方法一 l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l的斜率为－eq \f(3,4).
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4).
又∵l′过点(－1,3)，
∴由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，
∴l′的斜率为eq \f(4,3)，又l′过点(－1,3)，
∴由点斜式可得方程为y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反思感悟 (1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．
①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
②可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
跟踪训练2 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
解 (1)方法一 将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，
l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10).
则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)；k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10).
∵k1＝k2，且b1≠b2，
∴l1∥l2.
方法二 ∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，
∴l1∥l2.
(2)方法一 将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)，
l2：y＝－2x＋2.
则k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2.
∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
方法二 ∵3×2＋(－6)×1＝0，
∴l1⊥l2.
(3)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
三、直线的一般式方程的应用
例3 设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq \f(2m－6,m2－2m－3)，
∴eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq \f(5,3)或m＝3(舍去)．
∴m＝－eq \f(5,3).
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq \f(1,2)且m≠－1.
由直线l化为斜截式方程
得y＝eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq \f(6－2m,2m2＋m－1)，
则eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值．
解 ∵直线l与y轴平行，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m－3≠0，,－2m2＋m－1＝0，,6－2m≠0，))∴m＝eq \f(1,2).
反思感悟 含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练3 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
答案 6
解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，
令y＝0得x＝4，
故令A(4,0)，B(0,3)，S△AOB＝eq \f(1,2)×4×3＝6.
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
解 整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
所以直线l经过定点M(1，－1)．
1．知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线五种形式方程的互化．
(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直．
2．方法归纳：分类讨论法、化归转化．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．
1．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－eq \f(4,3)x＋4 B．y＝－eq \f(4,3)(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
答案 C
2．在平面直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.
3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 直线l：kx－y＋1＋2k＝0，
即k(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
∴当x＋2＝0，－y＋1＝0时过定点，
∴x＝－2，y＝1，
∴该直线过定点(－2,1)．
4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
答案 3
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为( )
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案 D
解析 根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案 A
解析 过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为eq \f(1,2)，由点斜式求得直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错．
4．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
答案 D
解析 由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.
当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；
当a＝－1时，l1∥l2.
∴a＝－1.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．－eq \r(3)，－1 B.eq \r(3)，－1 C．－eq \r(3)，1 D.eq \r(3)，1
答案 A
解析 原方程化为eq \f(x,\f(1,a))＋eq \f(y,\f(1,b))＝1，
∴eq \f(1,b)＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)＝a，
且eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°＝－eq \r(3)，∴a＝－eq \r(3)，故选A.
6．(多选)三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值可以是( )
A．－1 B．1 C．2 D．5
答案 CD
解析 直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.
7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －eq \f(4,15)
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－eq \f(4,15).
9．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；
当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为eq \f(a－2,a＋1)，a－2，
∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)，
∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∵l不经过第二象限，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解 设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,2)，2)).
又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴eq \f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，
∴B点坐标为(5,1)．
同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
答案 D
解析 ∵k＝－eq \f(1,a2＋1)，∴－1≤k<0.
∴倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
12．如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，那么a，b的值分别为( )
A．－eq \f(1,2)，0 B．2,0
C.eq \f(1,2)，0 D．－eq \f(1,2)，2
答案 A
解析 ∵直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,1)＝\f(1－b,－2)≠\f(5,3)，,\f(1＋a,1)＝\f(－1,－2)≠\f(－b,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝0.))
13．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－2 B．－4 C．10 D．8
答案 A
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－4＝0，,m＋4p－2＝0，,2－p＋n＝0，))解得n＝－2.
14．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________．
答案 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
解析 由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
令y＝0，得x＝－eq \f(c,4)，令x＝0，得y＝－eq \f(c,3)，
则S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,3)))＝6，得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________________．
答案 x＋4y－14＝0
解析 过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，MH＝OA＝2，
∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为eq \f(y－3,4－3)＝eq \f(x－2,－2－2)，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,x－2)＝a＋1))))，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？
解 集合A，B分别为xOy平面上的点集．
集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)，
集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1a－1＝－1·a2－1，,－1·－15≠a－1－2a＋1，))得a＝±1.
①当a＝1时，B＝∅，A∩B＝∅；
②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)，
集合B表示直线y＝－eq \f(15,2)，两直线平行．A∩B＝∅；
③由l1可知(2,3)∉A，当(2,3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，可得a＝－4或a＝eq \f(5,2)，此时A∩B＝∅.
综上可知，当a的值为－4，－1,1，eq \f(5,2)时，A∩B＝∅.