高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案，共14页。学案主要包含了利用同角三角函数的基本关系化简，sin θ±cs θ型求值问题等内容，欢迎下载使用。


知识点 同角三角函数的基本关系
思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？
答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
1．已知α是第四象限角，cs α＝eq \f(12,13)，则sin α＝ .
答案 －eq \f(5,13)
解析 由题意知sin α＝－eq \r(1－cs2α)
＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13).
2．sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝ .
答案 1
3．已知3sin α＋cs α＝0，则tan α＝ .
答案 －eq \f(1,3)
解析 由题意得3sin α＝－cs α≠0，
∴tan α＝－eq \f(1,3).
4．若cs α＝eq \f(1,3)，且α为第四象限角，则tan α＝ .
答案 －2eq \r(2)
解析 因为α为第四象限角，且cs α＝eq \f(1,3)，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝－eq \f(2,3)eq \r(2)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－2eq \r(2).
一、已知一个三角函数值求其他三角函数值
例1 (1)已知cs α＝－eq \f(3,5)，求sin α，tan α的值．
解 ∵cs α＝－eq \f(3,5)<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3).
(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tan α＝2，则cs α＝ .
答案 －eq \f(\r(5),5)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝2， ①,sin2α＋cs2α＝1， ②))
由①得sin α＝2cs α代入②得4cs2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(1,5)，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(\r(5),5).
(学生)
反思感悟 已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cs α＝±eq \r(1－sin2α)，求得cs α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(2)若已知cs α＝m，可以先应用公式sin α＝±eq \r(1－cs2α)，求得sin α的值，再由公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝m⇒sin α＝mcs α及sin2α＋cs2α＝1，求得cs α＝±eq \f(1,\r(1＋m2))，sin α＝±eq \f(m,\r(1＋m2))的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
跟踪训练1 已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．
解 ∵sin α＋3cs α＝0，
∴sin α＝－3cs α.
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(－3cs α)2＋cs2α＝1，
即10cs2α＝1，
∴cs α＝±eq \f(\r(10),10).
又由sin α＝－3cs α，可知sin α与cs α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cs α＝－eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3\r(10),10)；
当角α的终边在第四象限时，
cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝－eq \f(3\r(10),10).
二、利用同角三角函数的基本关系化简、证明
例2 化简下列各式．
(1)eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°))；
(2)eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(tan α－sin α,tan α＋sin α)).
解 (1)原式＝eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°))
＝eq \f(\r(cs 10°＋sin 10°2),cs 10°＋sin 10°)
＝eq \f(|cs 10°＋sin 10°|,cs 10°＋sin 10°)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(\f(sin α,cs α)－sin α,\f(sin α,cs α)＋sin α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \r(\f(1－cs α2,1－cs2α))
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(1－cs α,|sin α|)
＝±1.
反思感悟 利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法
(1)化切为弦，减少函数名称．
(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．
(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．
跟踪训练2 求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
证明 方法一 因为右边＝eq \f(tan2α－sin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α－tan2αcs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2α1－cs2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2αsin2α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)
＝左边．
所以原等式成立．
方法二 因为左边＝eq \f(tan αsin α,tan α－tan αcs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)，
右边＝eq \f(tan α＋tan αcs α,tan αsin α)
＝eq \f(1＋cs α,sin α)
＝eq \f(1－cs2α,sin α1－cs α)
＝eq \f(sin2α,sin α1－cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)，
所以左边＝右边，原等式成立．
三、sin θ±cs θ型求值问题
例3 已知sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，求sin θ－cs θ.
解 方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，
得cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ.
又sin2θ＋cs2θ＝1，代入得sin2θ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－sin θ))2＝1，
整理得sin2θ－eq \f(1,5)sin θ－eq \f(12,25)＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ＋\f(3,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(4,5)))＝0，
解得sin θ＝－eq \f(3,5)或sin θ＝eq \f(4,5).
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝eq \f(4,5).
所以cs θ＝eq \f(1,5)－sin θ＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5)，
sin θ－cs θ＝eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(7,5).
方法二 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
又sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，两边平方，
整理得sin θcs θ＝－eq \f(12,25)<0，所以cs θ<0，
所以sin θ－cs θ>0，
又(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，
所以sin θ－cs θ＝eq \f(7,5).
反思感悟 sin θ±cs θ与sin θcs θ之间的关系
(1)(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ；
(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ，
利用该公式，已知其中一个，能求另外二个，即“知一求二”．
(2)求sin θ＋cs θ或sin θ－cs θ的值，要注意判断它们的符号．
跟踪训练3 若sin θ－cs θ＝eq \r(2)，则tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝ .
答案 －2
解析 由已知得(sin θ－cs θ)2＝2，
∴sin θcs θ＝－eq \f(1,2).
∴tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,sin θcs θ)＝－2.
化切求值
典例 已知tan α＝3，求下列各式的值：
(1)eq \f(4sin α－cs α,3sin α＋5cs α)；
(2)eq \f(sin2α－2sin α·cs α－cs2α,4cs2α－3sin2α)；
(3)eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(1,2)cs2α.
解 (1)原式＝eq \f(4tan α－1,3tan α＋5)＝eq \f(4×3－1,3×3＋5)＝eq \f(11,14).
(2)原式＝eq \f(tan2α－2tan α－1,4－3tan2α)＝eq \f(32－2×3－1,4－3×32)＝－eq \f(2,23).
(3)原式＝eq \f(\f(3,4)sin2α＋\f(1,2)cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(\f(3,4)tan2α＋\f(1,2),tan2α＋1)
＝eq \f(\f(3,4)×32＋\f(1,2),32＋1)＝eq \f(29,40).
[素养提升] (1)已知tan α＝m，可以求eq \f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)或eq \f(asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α,dsin2α＋esin αcs α＋fcs2α)的值，将分子分母同除以cs α或cs2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cs2α进行代替后分子分母同时除以cs2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．
(3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．
1．已知sin φ＝－eq \f(3,5)，且|φ|A．－eq \f(4,3) B.eq \f(4,3) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(3,4)
答案 C
解析 ∵sin φ＝－eq \f(3,5)，
∴cs2φ＝1－sin2φ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2＝eq \f(16,25)，
又|φ|0，
∴cs φ＝eq \f(4,5)，从而tan φ＝eq \f(sin φ,cs φ)＝eq \f(－\f(3,5),\f(4,5))＝－eq \f(3,4).
2．若tan α＝2，则eq \f(2sin α－cs α,sin α＋2cs α)的值为( )
A．0 B.eq \f(3,4) C．1 D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 eq \f(2sin α－cs α,sin α＋2cs α)＝eq \f(2tan α－1,tan α＋2)＝eq \f(3,4).
3．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin αcs α等于( )
A.eq \f(\r(7),4) B．－eq \f(9,16) C．－eq \f(9,32) D.eq \f(9,32)
答案 C
解析 由题意得(sin α－cs α)2＝eq \f(25,16)，
即sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
又sin2α＋cs2α＝1，
∴1－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，
∴sin αcs α＝－eq \f(9,32).
4．化简：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,5))),\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5)))))的值为( )
A．tan eq \f(3π,5) B．－eq \f(cs \f(3π,5),sin \f(3π,5))
C．1 D．－1
答案 D
解析 原式＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(3π,5))),\r(cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,5)))))＝eq \f(cs \f(3π,5),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,5))))＝－1.
5．若2sin α＋cs α＝0，则eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 2sin α＋cs α＝0，∴tan α＝－eq \f(1,2)，
原式＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)
＝eq \f(sin α·－2sin α,1－sin2α)
＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α＝－eq \f(1,2).
1．知识清单：
(1)同角三角函数基本关系．
(2)利用同角三角函数的基本关系化简与证明．
(3)sin α±cs α型求值问题．
(4)齐次式的化切求值．
2．方法归纳：整体代换法．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin2α－cs2α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)
答案 B
解析 因为sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs2α＝1－sin2α＝eq \f(4,5)，
则原式＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5).
2．若α是第四象限角，tan α ＝－eq \f(5,12)，则sin α等于( )
A.eq \f(1,5) B．－eq \f(1,4) C.eq \f(5,13) D．－eq \f(5,13)
答案 D
解析 因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(5,12)，
sin2α＋cs2α＝1，
所以sin α＝±eq \f(5,13).
因为α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(5,13).
3．化简sin2α＋cs4α＋sin2αcs2α的结果是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cs2α(cs2α＋sin2α)
＝sin2α＋cs2α＝1.
4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cs4θ＝eq \f(5,9)，则sin θcs θ的值为( )
A.eq \f(\r(2),3) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 A
解析 θ为第三象限角，则sin θ<0，cs θ<0，
sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2sin2θcs2θ＝eq \f(5,9)，
∴sin2θcs2θ＝eq \f(2,9)，
又sin θcs θ>0，
∴sin θcs θ＝eq \f(\r(2),3).
5．(多选)已知α是三角形内角，若sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，则sin α－cs α的值为( )
A．－eq \f(17,13) B．－eq \f(7,13) C.eq \f(7,13) D.eq \f(12,13)
答案 BC
解析 ∵α是三角形内角，∴α∈(0，π)，
又∵(sin α＋cs α)2＝sin2α＋cs2α＋2sin αcs α
＝1＋2sin αcs α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,13)))2，
解得2sin αcs α＝eq \f(120,169)，
∵sin αcs α>0且α∈(0，π)，
∴sin α>0，cs α>0，
∴sin α－cs α符号不确定，
∴(sin α－cs α)2＝1－2sin αcs α＝1－eq \f(120,169)＝eq \f(49,169)，
∴sin α－cs α＝±eq \f(7,13).
6．若α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，则sin α＝ ，tan α＝ .
答案 －eq \f(\r(6),3) eq \r(2)
解析 ∵α是第三象限角且cs α＝－eq \f(\r(3),3)，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(\r(6),3)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \r(2).
7．已知eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(5,16)，则tan α＝ .
答案 －eq \f(1,3)
解析 方法一 上下同除以cs α得eq \f(tan α＋2,5－tan α)＝eq \f(5,16)，
解得tan α＝－eq \f(1,3).
方法二 eq \f(sin α＋2cs α,5cs α－sin α)＝eq \f(5,16)，
即16(sin α＋2cs α)＝5(5cs α－sin α)，
整理得21sin α＝－7cs α，
∴tan α＝－eq \f(1,3).
8．已知cs θ＝eq \f(1,3)，则sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan θ＋\f(1,tan θ)))的值为 ．
答案 3
解析 原式＝sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin θ,cs θ)＋\f(cs θ,sin θ)))
＝sin θ·eq \f(sin2θ＋cs2θ,cs θ·sin θ)
＝eq \f(1,cs θ)
＝3.
9．已知tan α＝eq \f(2,3)，求下列各式的值：
(1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)；
(2)eq \f(1,sin αcs α).
解 (1)eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＋eq \f(cs α＋sin α,cs α－sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＋eq \f(1＋tan α,1－tan α)
＝eq \f(1－\f(2,3),1＋\f(2,3))＋eq \f(1＋\f(2,3),1－\f(2,3))＝eq \f(26,5).
(2)eq \f(1,sin αcs α)＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)
＝eq \f(tan2α＋1,tan α)＝eq \f(13,6).
10．(1)化简：tan α eq \r(\f(1,sin2 α)－1)(其中α为第二象限角)；
解 因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cs α<0.
原式＝tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α))
＝tan αeq \r(\f(cs2α,sin2α))
＝eq \f(sin α,cs α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)·eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
(2)求证：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·tan α,1＋cs α)＝1.
证明 eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·tan α,1＋cs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·\f(sin α,cs α),1＋cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(sin α,1＋cs α)
＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.
11．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcs θ＝－eq \f(1,8)，则sin θ－cs θ的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(5),2)
答案 D
解析 由题意知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ－cs θ>0，
sin θ－cs θ＝eq \r(sin θ－cs θ2)
＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(\r(5),2).
12．化简：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是( )
A．sin α B．cs α
C．1＋sin α D．1＋cs α
答案 A
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)
＝eq \f(1＋cs α,sin α)(1－cs α)
＝eq \f(1－cs2α,sin α)＝eq \f(sin2α,sin α)＝sin α.
13．已知eq \f(cs x,sin x－1)＝eq \f(1,2)，则eq \f(1＋sin x,cs x)等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2
答案 B
解析 因为eq \f(cs x,sin x－1)＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(1＋sin x,cs x)＝eq \f(1＋sin x1－sin x,cs x1－sin x)
＝eq \f(1－sin2x,cs x1－sin x)
＝eq \f(cs x,1－sin x)＝－eq \f(1,2).
14．已知tan α＝cs α，那么sin α＝ .
答案 eq \f(－1＋\r(5),2)
解析 由于tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝cs α，
则sin α＝cs2α，
所以sin α＝1－sin2α，
解得sin α＝eq \f(－1±\r(5),2).
又sin α＝cs2α>0，
所以sin α＝eq \f(－1＋\r(5),2).
15．化简：eq \f(1－cs4α－sin4α,1＋cs4α－sin4α)＝ .
答案 sin2α
解析 原式＝eq \f(1－cs4α－sin4α,1＋cs2α－sin2αcs2α＋sin2α)
＝eq \f(1－cs2α1＋cs2α－sin4α,1＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(sin2α1＋cs2α－sin4α,1＋cs2α－sin2α)
＝eq \f(sin2α1＋cs2α－sin2α,1＋cs2α－sin2α)＝sin2α.
16．设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cs α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解 假设存在实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵sin α<0，cs α<0，
∴sin α＋cs α＝－eq \f(3,4)m<0，②
sin αcs α＝eq \f(2m＋1,8)>0.③
又sin2α＋cs2α＝1，
∴(sin α＋cs α)2－2sin αcs α＝1.
把②③代入上式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m))2－2×eq \f(2m＋1,8)＝1，
即9m2－8m－20＝0，解得m1＝2，m2＝－eq \f(10,9).
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
m2＝－eq \f(10,9)不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．关系式
文字表述
平方关系
sin2α＋cs2α＝1
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
商数关系
eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切