高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时导学案及答案，共12页。学案主要包含了三角函数的周期，三角函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
知识点一 函数的周期性
1．函数的周期性
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
思考 周期函数的周期是否唯一？
答案 不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0)．
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
思考 判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？
答案 若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．
1．因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)))＝sin eq \f(π,4)，所以eq \f(π,2)是函数y＝sin x的一个周期．( × )
2．因为sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数y＝sin 2x的最小正周期为2π.( × )
3．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × )
一、三角函数的周期
例1 求下列函数的周期：
(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；(2)f(x)＝|sin x|.
解 (1)方法一 定义法
∵f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,3)))＝f(x＋π)，
即f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
方法二 公式法
∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.
又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.
∴函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
(2)方法一 定义法
∵f(x)＝|sin x|，
∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π.
方法二 图象法
作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知T＝π.
(学生留)
反思感悟 求三角函数周期的方法
(1)定义法：利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可．
跟踪训练1 (多选)下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
C．y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2))) D．y＝2cs eq \f(1,2)x
答案 AD
解析 由周期公式知A，D中的函数周期为T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.B中T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.∵y＝sin eq \f(x,2)的周期为T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，∴y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的周期为T＝2π，故选AD.
二、三角函数的奇偶性
例2 (1)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))，则函数f(x)为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 B
解析 函数的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))＝cs eq \f(1,2)x，
所以f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cs eq \f(1,2)x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin xcs x；
②f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1).
解 ①函数的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝sin(－x)cs(－x)
＝－sin xcs x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin xcs x为奇函数．
②由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－cs x≥0，,cs x－1≥0，))得cs x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cs x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1)既是奇函数又是偶函数．
反思感悟 判断函数奇偶性的方法
(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
跟踪训练2 (1)下列函数中周期为eq \f(π,2)，且为偶函数的是( )
A．y＝sin 4x B．y＝cs eq \f(1,4)x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x－\f(π,2)))
答案 C
解析 显然周期为eq \f(π,2)的有A和C，
又因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2)))＝cs 4x是偶函数，故选C.
(2)函数f(x)＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))的奇偶性是________．
答案 奇函数
解析 f(x)＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－x2·sin x.
f(x)的定义域为R，
f(－x)＝－(－x)2sin(－x)＝x2sin x，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
延伸探究
1．在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其它不变，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为________．
答案 －eq \f(\r(3),2)
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
(教师留)
2．若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为________．
答案 1
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－(－f(x))＝f(x)，
∴T＝π，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(A≠0，ω>0)或y＝Acs ωx(A≠0，ω>0)其中的一个．
跟踪训练3 (1)奇函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))时f(x)＝eq \r(3)cs x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))的值为________．
答案 －eq \f(3,2)
解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)，∴T＝eq \f(π,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)＋6×\f(π,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))
＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \r(3)cs eq \f(π,6)＝－eq \f(3,2).
(2)函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝________.
答案 3
解析 T＝3，且f(x)为偶函数．
又2 020＝673×3＋1，
∴f(2 020)＝f(673×3＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
解析 由于x∈R，
且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
2．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )
A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝sin 2x
C．y＝cs eq \f(x,4) D．y＝cs(－4x)
答案 D
解析 y＝cs(－4x)＝cs 4x.
T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).
3．设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
答案 B
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝－cs 2x，
∴f(x)＝－cs 2x.
又f(－x)＝－cs(－2x)＝－cs 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．
4．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为________．
答案 4
解析 由已知得f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
5．已知f(x)为奇函数，且周期为eq \f(3π,4)，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,4)))＝________.
答案 1
解析 T＝eq \f(3π,4)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23π,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(3π,4)－\f(π,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－(－1)＝1.
1．知识清单：
(1)周期函数的概念，三角函数的周期．
(2)三角函数的奇偶性．
(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用．
2．方法归纳：定义法、公式法、数形结合．
3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝eq \f(2π,|ω|).
1．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π
答案 D
解析 由题意T＝eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝4π.
2．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝eq \f(π,2)对称
答案 B
解析 y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是( )
答案 B
解析 由f(－x)＝f(x)，
得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.故选B.
4．(多选)下列函数中周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cs x| B．y＝sin 2x
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) D．y＝cs eq \f(1,2)x
答案 AC
解析 由y＝|cs x|的图象知，y＝|cs x|是周期为π的偶函数，所以A正确．
B中函数为奇函数，所以B不正确．
C中y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，所以C正确．
D中函数y＝cs eq \f(1,2)x，T＝4π，所以D不正确．
5．(多选)函数f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是( )
A.eq \f(π,2) B．π C.eq \f(3π,2) D．－eq \f(π,2)
答案 ACD
解析 ∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cs 2x的形式，
∴φ＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，故选ACD.
6．函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，且f(－3)＝－3.则f(99)＝________.
答案 3
解析 T＝4，f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝3.
7．函数f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))(ω≠0)，f(x)的奇偶性是________，若f(x)的周期为π，则ω＝________.
答案 偶函数 ±2
解析 f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))＝－eq \f(1,2)cs ωx.
∴f(－x)＝－eq \f(1,2)cs(－ωx)＝－eq \f(1,2)cs ωx＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，
又T＝π，∴eq \f(2π,|ω|)＝π，∴ω＝±2.
8．设函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0，x∈R，且以eq \f(π,2)为最小正周期．若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝eq \f(9,5)，则sin α的值为________．
答案 ±eq \f(4,5)
解析 因为f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，ω>0，
所以ω＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.
所以f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝3cs α＝eq \f(9,5)，
所以cs α＝eq \f(3,5).所以sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(4,5).
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))；
(2)f(x)＝|sin x|＋cs x.
解 (1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))＝－cs eq \f(3,4)x，x∈R.
又f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)x))＝－cs eq \f(3,4)x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(3π,2)))是偶函数．
(2)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以此函数是偶函数．
10．已知函数y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
解 (1)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|
＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ，k∈Z，))
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
11．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，则下列说法正确的是( )
A．f(x)是周期为π的奇函数
B．f(x)是周期为2π的偶函数
C．f(x)是周期为π的偶函数
D．f(x)是周期为π的非奇非偶函数
答案 D
解析 T＝eq \f(2π,2)＝π，排除选项B，
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝cs eq \f(2π,3)
＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))≠f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))≠－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，
∴f(x)为非奇非偶函数．
12．如果函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为eq \f(π,6)，则ω的值为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
答案 B
解析 函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为eq \f(π,6)，所以T＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，由eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,3)，解得ω＝6.
13．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x≤0，,sin x，0A．1 B.eq \f(\r(2),2) C．0 D．－eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)×－3＋\f(3π,4)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).
14．设函数f(x)＝x3cs x＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
答案 －9
解析 令g(x)＝x3cs x，∴g(－x)＝(－x)3cs(－x)＝－x3cs x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，又f(x)＝g(x)＋1，
∴f(a)＝g(a)＋1＝11，g(a)＝10，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝－9.
15．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．
答案 －eq \f(π,4)
解析 由已知eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，
∴φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)，又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)符合条件．
16．已知函数f(n)＝sin eq \f(nπ,4)，n∈Z.
求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．
解 ∵f(x)＝sin eq \f(xπ,4)，∴T＝eq \f(2π,\f(π,4))＝8，
又f(1)＝sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，f(2)＝sin eq \f(π,2)＝1，
f(3)＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，f(4)＝sin π＝0，
f(5)＝sin eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，f(6)＝sin eq \f(3π,2)＝－1，
f(7)＝sin eq \f(7π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，f(8)＝sin 2π＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
又2 020＝252×8＋4，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝eq \f(\r(2),2)＋1＋eq \f(\r(2),2)＋0＝eq \r(2)＋1.函数
y＝sin x
y＝cs x
图象
定义域
R
R
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数