人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第4课时导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第4课时导学案及答案，共13页。学案主要包含了二倍角公式的正用，给值求值，化简与证明等内容，欢迎下载使用。


知识点 二倍角公式
思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为eq \f(α,2)的二倍，3α作为eq \f(3α,2)的二倍，α＋β作为eq \f(α＋β,2)的二倍等情况．
1．已知sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝ .
答案 eq \f(24,25)
2．已知cs α＝eq \f(1,3)，则cs 2α＝ .
答案 －eq \f(7,9)
3．cs245°－sin245°＝ .
答案 0
4．已知tan α＝eq \f(4,3)，则tan 2α＝ .
答案 －eq \f(24,7)
一、二倍角公式的正用、逆用
例1 求下列各式的值：
(1)sin2eq \f(5,12)π－cs2eq \f(5,12)π；
(2)eq \f(1－tan2\f(π,8),tan \f(π,8))；
(3)cs 20°·cs 40°·cs 80°.
解 (1)原式＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(5,12)π－sin2\f(5,12)π))＝－cs eq \f(5,6)π
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
(2)原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－tan2\f(π,8))),2tan \f(π,8))＝2×eq \f(1,\f(2tan \f(π,8),1－tan2\f(π,8)))
＝2×eq \f(1,tan \f(π,4))＝2.
(3)原式＝eq \f(2sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,2sin 20°)
＝eq \f(2sin 40°cs 40°cs 80°,4sin 20°)
＝eq \f(2sin 80°cs 80°,8sin 20°)
＝eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝eq \f(sin 20°,8sin 20°)＝eq \f(1,8).
反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1 求下列各式的值：
(1)sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)；
(2)eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)；
(3)cs4eq \f(π,12)－sin4eq \f(π,12).
解 (1)原式＝eq \f(1,2)×2sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝eq \f(1,2)×sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)×tan 45°＝eq \f(1,2).
(3)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)＋sin2\f(π,12)))
＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)
＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).
二、给值求值
例2 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则sin 2α的值为( )
A．－eq \f(8,9) B.eq \f(8,9) C．－eq \f(7,9) D.eq \f(7,9)
答案 C
解析 ∵2α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(π,2)，
∴sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,2)))
＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))
＝－cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(1,9)))
＝－eq \f(7,9).
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(2),3)，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))等于( )
A．－eq \f(5,9) B．－eq \f(\r(2),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(5,9)
答案 A
解析 ∵eq \f(π,3)＋2α＝π－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(2,9)))＝－eq \f(5,9).
(学生留)
反思感悟 解决给值求值问题的方法
(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
②cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
跟踪训练2 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0解 原式＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))
＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).
∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \f(5,13)，且0∴eq \f(π,4)＋x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(12,13)，
∴原式＝2×eq \f(12,13)＝eq \f(24,13).
三、化简与证明
例3 (1)化简：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2).
解 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)＝－4eq \r(3).
(2)求证：eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4A.
证明 因为左边＝eq \f(3－4cs 2A＋2cs22A－1,3＋4cs 2A＋2cs22A－1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs 2A,1＋cs 2A)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2sin2A,2cs2A)))2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
所以eq \f(3－4cs 2A＋cs 4A,3＋4cs 2A＋cs 4A)＝tan4A.
反思感悟 证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练3 (1)化简：eq \r(1－sin 40°)＋eq \r(\f(1－cs 40°,2)).
解 原式＝eq \r(sin 20°－cs 20°2)＋eq \r(\f(1－1－2sin220°,2))
＝|sin 20°－cs 20°|＋eq \r(sin220°)
＝cs 20°－sin 20°＋sin 20°
＝cs 20°.
(2)求证：cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B.
证明 左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)＝cs 2Acs 2B＝右边，所以等式成立．
1．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．cs215°－sin215°
C．2sin215° D．sin215°＋cs215°
答案 B
解析 2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)；
cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)；
2sin215°＝1－cs 30°＝1－eq \f(\r(3),2)；
sin215°＋cs215°＝1，故选B.
2．若sineq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cs α等于( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 因为sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，
所以cs α＝1－2sin2 eq \f(α,2)＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＝eq \f(1,3).
3．sin 2α＝－eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))),2)
＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)＝eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(1,3),2)＝eq \f(1,3).
4．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是 ．
答案 eq \r(3)
解析 ∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcs α＝－sin α.
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，
∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，
∴sin α＝eq \f(\r(3),2)，tan α＝－eq \r(3)，
∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×－\r(3),1－－\r(3)2)＝eq \r(3).
5.eq \f(\r(1＋cs 100°),sin 20°cs 20°)＝ .
答案 2eq \r(2)
解析 原式＝eq \f(\r(1＋2cs250°－1),\f(1,2)sin 40°)＝eq \f(\r(2)cs 50°,\f(1,2)sin 40°)＝2eq \r(2).
1．知识清单：
(1)二倍角公式的推导．
(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围．
1．(多选)下列各式中，一定成立的是( )
A．sin 8α＝2sin 4α·cs 4α
B．1－sin2α＝(sin α－cs α)2
C．sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
D．tan 2α＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)
答案 AC
2．cs275°＋cs215°＋cs 75°cs 15°的值等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(5,4) D．1＋eq \f(\r(3),4)
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cs215°＋sin 15°cs 15°
＝1＋eq \f(1,2)sin 30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
3．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，则tan α的值等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 D
解析 ∵sin2α＋cs 2α＝eq \f(1,4)，
∴sin2α＋cs2α－sin2α＝cs2α＝eq \f(1,4).
∴cs α＝±eq \f(1,2).
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2).
∴tan α＝eq \r(3).
4．若eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))的值为( )
A.eq \f(7,8) B．－eq \f(7,8) C．－eq \f(4,7) D.eq \f(4,7)
答案 A
解析 因为eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(cs2α－sin2α,\f(\r(2),2)sin α＋\f(\r(2),2)cs α)＝eq \f(1,2)，所以cs α－sin α＝eq \f(\r(2),4)，
平方得1－2cs αsin α＝eq \f(1,8)，
所以sin 2α＝eq \f(7,8)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin 2α＝eq \f(7,8).
5．已知tan α＝eq \f(1,7)，tan β＝eq \f(1,3)，且α，β均为锐角，则α＋2β的值为( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(5π,4) C.eq \f(π,4) D.eq \f(2π,3)
答案 C
解析 tan 2β＝eq \f(2tan β,1－tan2β)＝eq \f(3,4)，
tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan αtan 2β)＝1.
因为α，β均为锐角，且tan α＝eq \f(1,7)<1，tan β＝eq \f(1,3)<1，
所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
所以α＋2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，
所以α＋2β＝eq \f(π,4).
6．化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),sin 10°cs 10°)＝ .
答案 －1
解析 原式＝eq \f(2sin235°－1,2sin 10°cs 10°)＝－eq \f(cs 70°,sin 20°)
＝eq \f(－cs 70°,sin90°－70°)＝－1.
7．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，则sin 2θ－2cs2θ＝ .
答案 －eq \f(4,5)
解析 由已知，得eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝3，解得tan θ＝eq \f(1,2).
所以sin 2θ－2cs2θ＝eq \f(2sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(2tan θ－2,tan2θ＋1)＝eq \f(2×\f(1,2)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(4,5).
8．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ ，sin 2α＝ .
答案 eq \f(2,3) －eq \f(1,9)
解析 ∵α＋eq \f(π,4)＝α－eq \f(π,4)＋eq \f(π,2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3)，2α＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋eq \f(π,2).
∴sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,2)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))
＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))－1
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2－1＝－eq \f(1,9).
9．已知α为第二象限角，且sin α＝eq \f(\r(15),4)，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),sin 2α＋cs 2α＋1)的值．
解 原式＝eq \f(\f(\r(2),2)sin α＋cs α,2sin αcs α＋2cs2α)＝eq \f(\r(2)sin α＋cs α,4cs αsin α＋cs α).
因为α为第二象限角，且sin α＝eq \f(\r(15),4)，
所以sin α＋cs α≠0，cs α＝－eq \f(1,4)，
所以原式＝eq \f(\r(2),4cs α)＝－eq \r(2).
10．已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,25)，
所以cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
所以tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7).
所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
11．设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))等于( )
A．－eq \f(7,9) B．－eq \f(5,9) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))＝eq \f(\r(2),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,2)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))
＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－2sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋θ))))＝－eq \f(5,9).
12．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－4
答案 D
解析 ∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x
＝－cs 2x－3cs x
＝－2cs2x－3cs x＋1，
令t＝cs x，则t∈[－1,1]，
∴g(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数g(t)图象的对称轴t＝－eq \f(3,4)∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，g(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
13．已知函数f(x)＝eq \f(cs 2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0A．函数f(x)的最大值为eq \r(3)，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为eq \f(\r(3),3)，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值
答案 D
解析 因为f(x)＝eq \f(cs 2x－1,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝eq \f(cs 2x－1,sin 2x)
＝eq \f(－2sin2x,2sin xcs x)＝－tan x,0所以函数f(x)的最小值为－eq \r(3)，无最大值，故选D.
14.eq \r(2＋\r(2＋2cs α))(2π<α<3π)的化简结果为 ．
答案 2sin eq \f(α,4)
解析 因为2π<α<3π，所以π所以eq \r(2＋\r(2＋2cs α))＝eq \r(2＋\r(4cs2\f(α,2)))
＝eq \r(2－2cs \f(α,2))＝eq \r(4sin2\f(α,4))＝2sineq \f(α,4).
15．已知α是第二象限角，sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(\r(5),9) C.eq \f(\r(5),9) D.eq \f(\r(5),3)
答案 A
解析 由sin α＋cs α＝eq \f(\r(3),3)，
平方得1＋2sin αcs α＝eq \f(1,3)，
∴2sin αcs α＝－eq \f(2,3).
∴(cs α－sin α)2＝1－2sin αcs α＝eq \f(5,3).
∵α是第二象限角，∴sin α>0，cs α<0.
∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(15),3)，
∴cs 2α＝cs2α－sin2α＝(cs α＋sin α)·(cs α－sin α)＝－eq \f(\r(5),3).
16．在△ABC中，sin Acs A＝sin Bcs B．且A≠B.
(1)求证：A＋B＝eq \f(π,2)；
(2)求sin A＋sin B的取值范围；
(3)若(sin Asin B)x＝sin A＋sin B，试确定实数x的取值范围．
(1)证明 因为sin Acs A＝sin Bcs B，
所以sin Acs A－sin Bcs B＝0，
即sin 2A＝sin 2B，
解得2A＝2B或2A＋2B＝π，
化简可得A＝B，或A＋B＝eq \f(π,2)，
但A≠B，所以A＋B＝eq \f(π,2).
(2)解 由(1)可知A＋B＝eq \f(π,2)，故sin A＋sin B
＝sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝sin A＋cs A＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))，
因为0所以1故sin A＋sin B的取值范围是(1，eq \r(2)]．
(3)解 由题意可知x＝eq \f(sin A＋sin B,sin Asin B)＝eq \f(sin A＋cs A,sin Acs A)，
设sin A＋cs A＝t∈(1，eq \r(2)]，
则t2＝1＋2sin Acs A，
故sin Acs A＝eq \f(t2－1,2)，代入得x＝eq \f(t,\f(t2－1,2))＝eq \f(2t,t2－1)＝eq \f(2,t－\f(1,t))≥eq \f(2,\r(2)－\f(1,\r(2)))＝2eq \r(2)，
故实数x的取值范围为[2eq \r(2)，＋∞)．三角函数
公式
简记
正弦
sin 2α＝2sin αcs α
S2α
余弦
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
C2α
正切
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
T2α