数学必修 第一册5.2 三角函数的概念随堂练习题

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1．已知α是第二象限角，且cs α＝－eq \f(12,13)，则tan α的值是( )
A.eq \f(12,13) B．－eq \f(12,13)
C.eq \f(5,12) D．－eq \f(5,12)
2．化简：eq \r(1－2sin 50°cs 50°)的结果为( )
A．sin 50°－cs 50° B．cs 50°－sin 50°
C．sin 50°＋cs 50° D．－sin 50°－cs 50°
3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin4α－cs4α的值为( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(3,5)
4．若α为第三象限角，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为________．
5．已知tan α＝3，则sin2α－2sin αcs α＝________.
6．求证：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs αtan α,1＋cs α)＝1.
[提能力]
7．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5)，则下列结论正确的是( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．cs θ＝－eq \f(3,5)
C．tan θ＝－eq \f(3,4) D．sin θ－cs θ＝eq \f(7,5)
8．若θ为第四象限角，则 eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))－eq \r(\f(1＋cs θ,1－cs θ))可化简为( )
A．2tan θ B．－eq \f(2,tan θ)
C．－2tan θ D.eq \f(2,tan θ)
9．已知－eq \f(π,2)(1)sin x－cs x；
(2)eq \f(1,cs2x－sin2x).
[战疑难]
10．设α是第三象限，问是否存在实数m，使得sin α，cs α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
课时作业(二十九) 同角三角函数的基本关系
1．解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)，∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(5,13),－\f(12,13))＝－eq \f(5,12).
答案：D
2．解析：原式＝eq \r(sin250°＋cs250°－2sin 50°cs 50°)＝eq \r(sin 50°－cs 50°2)＝|sin 50°－cs 50°|＝sin 50°－cs 50°.
答案：A
3．解析：∵sin α＝eq \f(\r(5),5)，∴cs2α＝1－sin2α＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，∴sin4α－cs4α＝(sin2α＋cs2α)(sin2α－cs2α)＝eq \f(1,5)－eq \f(4,5)＝－eq \f(3,5).
答案：B
4．解析：∵α为第三象限角，∴sin α<0，cs α<0，∴原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝－1－2＝－3.
答案：－3
5．解析：sin2α－2sin αcs α＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(9－6,9＋1)＝eq \f(3,10).
答案：eq \f(3,10)
6．证明：eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs αtan α,1＋cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(cs α·\f(sin α,cs α),1＋cs α)
＝eq \f(sin α,1－cs α)·eq \f(sin α,1＋cs α)
＝eq \f(sin2α,1－cs2α)＝eq \f(sin2α,sin2α)＝1.
7．解析：∵sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5) ①
∴(sin θ＋cs θ)2＝eq \f(1,25)，
即1＋2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝－eq \f(24,25)，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cs θ<0，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(49,25)，
∴sin θ－cs θ＝eq \f(7,5) ②
由①②得sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝－eq \f(3,5)，
∴tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(4,3).
故选ABD.
答案：ABD
8．解析：∵θ为第四象限角，则sin θ<0，且0∴1±cs θ>0，
∴ eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))－eq \r(\f(1＋cs θ,1－cs θ))
＝eq \r(\f(1－cs θ2,1＋cs θ1－cs θ))－eq \r(\f(1＋cs θ2,1－cs θ1＋cs θ))
＝eq \r(\f(1－cs θ2,sin2θ))－eq \r(\f(1＋cs θ2,sin2θ))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs θ,sinθ)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs θ,sin θ)))
＝－eq \f(1－cs θ,sin θ)＋eq \f(1＋cs θ,sin θ)＝eq \f(2,tan θ).
答案：D
9．解析：(1)∵sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
∴(sin x＋cs x)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2，即1＋2sin xcs x＝eq \f(1,25)，
∴2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∵(sin x－cs x)2＝sin2x－2sin xcs x＋cs2x＝1－2sin xcs x＝1＋eq \f(24,25)＝eq \f(49,25)，
又－eq \f(π,2)0，
∴sin x－cs x<0，∴sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
(2)由已知条件及(1)，可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x＝\f(1,5),sin x－cs x＝－\f(7,5)))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＝－\f(3,5),cs x＝\f(4,5)))，∴eq \f(1,cs2x－sin2x)＝eq \f(1,\f(16,25)－\f(9,25))＝eq \f(25,7).
10．解析：假设存在实数m满足条件，
由题设得Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
sin α＋cs α＝－eq \f(3,4)m<0(∵sin α<0，cs α<0)，②
sin αcs α＝eq \f(2m＋1,8)>0(∵sin α<0，cs α<0)，③
又sin2α＋cs2α＝1，∴(sin a＋cs α)2－2sin αcs α＝1，
把②③代入上式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)m))2－2×eq \f(2m＋1,8)＝1.
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－eq \f(10,9)，
∵m1＝2不满足条件①，舍去；
m2＝－eq \f(10,9)不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m不存在．