2021学年第五章 三角函数5.2 三角函数的概念综合训练题

课时素养评价 四十四

同角三角函数的基本关系

　 (15分钟　35分)

1.若cos α=，且α在第四象限，则tan α= (　　)

A.    B.-   C.    D.-

【解析】选D.因为cos α=，且α在第四象限，所以tan α

=-=-=-.

2.如果tan θ=2，那么1+sin θcos θ= (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选B.1+sin θcos θ=

=

=，

又tan θ=2，

所以1+sin θcos θ==.

3.已知sin α=，则sin4α-cos4α的值为 (　　)

A.-    B.-    C.    D.

【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-

(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.

4.若α为第三象限角，则+的值为 (　　)

A.3   B.-3   C.1   D.-1

【解析】选B.因为α为第三象限角，

所以原式=+=-3.

5.已知tan θ=2，则+sin2θ的值为_______. 

【解析】因为tan θ=2，

所以+sin2θ=+

=+=+=.

答案：

6.化简：(1)；

(2).

【解析】(1)原式=

=

=

==1.

(2)原式==

=cos θ.

　 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.若α∈，sin α=，则tan α= (　　)

A.-　　　　　　  B.-

C.-      D.

【解析】选C.因为α∈，且sin α=，

所以cos α=-=-，

则tan α===-.

2.已知=2，则tan2α-3tan α= (　　)

A.2　　　　　　  B.0

C.-      D.-

【解析】选C.==2，解得tan α=，所以tan2α-3tan α

=-3×=-.

3.已知α为第二象限的角，且tan α=-，则sin α+cos α= (　　)

A.-      B.-

C.-      D.

【解析】选C.tan α==-①，sin2α+cos2α=1②，

又α为第二象限的角，

所以sin α>0，cos α<0，

联立①②，解得sin α=，cos α=-，

则sin α+cos α=-.

【补偿训练】

若△ABC的内角A满足sin A·cos A=，则sin A+cos A的值为 (　　)

A.　　　　　　　  B.-

C.        D.-

【解析】选A.因为A为△ABC的内角，且

sin Acos A=>0，所以A为锐角，所以sin A+cos A>0.又1+2sin Acos A=1+=，即(sin A+cos A)2=，所以sin A+cos A=.

4.若α是三角形的最大内角，且sin α-cos α=，则三角形是 (　　)

A.钝角三角形　　　　 　  B.锐角三角形

C.直角三角形     D.等腰三角形

【解析】选B.将sin α-cos α=两边平方，得1-2sin αcos α=，即

2sin αcos α=.又α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α>0，所以α为锐角.

【误区警示】根据 sin α·cos α>0判断sin α，cos α的正负时，注意不要忘了条件α是三角形最大的内角.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.下列选项可能成立的是 (　　)

A.sin α=-且cos α=

B.sin α=0且cos α=-1

C.tan α=1且cos α=-1

D.tan α=(α在第二象限)

【解析】选A、B、D.由基本关系式可逐个判断A、B、D正确，C不正确.

6.若1+sin θ+cos θ=0成立，则θ不可能位于 (　　)

A.第一象限　　　　　　　　 B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

【解析】选A、B、D.因为1+sin θ+cos θ·=0，

所以1+sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|=0.

当θ为第一象限角时，1+sin2θ+cos2θ=2；

当θ为第二象限角时，1+sin2θ-cos2θ=2sin2θ>0；

当θ为第三象限角时，1-sin2θ-cos2θ=1-1=0；

当θ为第四象限角时，1-sin2θ+cos2θ=2cos2θ>0，

则θ不可能是第一、二、四象限角.

【光速解题】在第一、二、三、四象限内分别取一个特殊角，代入验证，即可得到答案.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.(2020·青岛高一检测)若sin θ+cos θ=(0≤θ≤π)，则tan θ=_______. 

【解题指南】把已知等式两边平方，可得2sin θcos θ=-，求出sin θ-

cos θ的值，从而求出sin θ，cos θ的值，则tan θ可求.

【解析】由sin θ+cos θ=，两边平方得：sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=，

则2sin θcos θ=-，

又因为θ∈[0，π]，

所以sin θ>0，cos θ<0，

则sin θ-cos θ=

==.

所以sin θ=，cos θ=-，

则tan θ==-.

答案：-

【补偿训练】

若cos θ+sin θ=，θ∈(0，π)，则cos θsin θ-sin2θ=_______. 

【解析】因为cos θ+sin θ=，①

所以两边平方可得：1+2sin θcos θ=，解得2sin θcos θ=-，

因为θ∈(0，π)，sin θ>0，可得cos θ<0，

所以cos θ-sin θ<0，

所以cos θ-sin θ=-

=-=-

=-，②

所以联立①②解得：sin θ=，cos θ=-，所以cos θsin θ-sin2θ=sin θ(cos θ-sin θ)=-.

答案：-

8.在△ABC中，若tan A=，则sin A=_______，cos A=_______. 

【解析】由tan A=>0且角A是△ABC的内角，可得0<A<，又

解得sin A=，cos A=.

答案：　

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.求证：=.

【证明】左边

=

=

=

=

==

=右边，

所以原等式成立.

10.已知sin α=，求的值.

【解析】

=

=

=

==，

当角α是第一象限角时，cos α=，

tan α==，

所以原式==；

当角α是第二象限角时，cos α=-，

tan α==-，所以原式==.

1.已知-<θ<，且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是              (　　)

A.-3　　　　　　  B.3或

C.-      D.-3或-

【解析】选C.因为sin θ+cos θ=a，a∈(0，1)，两边平方整理得

sin θcos θ=<0，故-<θ<0且cos θ>-sin θ，所以|cos θ|>|sin θ|，所以-<θ<0，所以-1<tan θ<0.

【补偿训练】

已知sin θ+cos θ=(0<θ<π)，则sin θ-cos θ=_______. 

【解析】因为sin θ+cos θ=(0<θ<π)，

所以(sin θ+cos θ)2=，

即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=，

所以sin θcos θ=-.

由上知，θ为第二象限的角，

所以sin θ-cos θ>0，

所以sin θ-cos θ

=

==.

答案：

2.设α是第三象限角，问是否存在实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由.

【解析】假设存在实数m满足条件，由题设得，

Δ=36m2-32(2m+1)≥0，①

因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以sin α+cos α=-m<0②，

sin αcos α=>0③.

又sin2α+cos2α=1，

所以(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1.

把②③代入上式得-2×=1，

即9m2-8m-20=0，解得m1=2，m2=-.

因为m1=2不满足条件①，舍去；因为m2=-不满足条件②和③，舍去.

故满足题意的实数m不存在.

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