人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念课后练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．α是第四象限角，csα＝eq \f(12,13)，则sinα等于( B )
A．eq \f(5,13)B．－eq \f(5,13)
C．eq \f(5,12)D．－eq \f(5,12)
[解析] ∵α是第四象限角，∴sinα<0.
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα＝\f(12,13)，,sin2α＋cs2α＝1，))∴sinα＝－eq \f(5,13).
2．化简eq \r(1－cs2220°)的结果为( D )
A．sin220°B．cs220°
C．－cs220°D．－sin220°
[解析] eq \r(1－cs2220°)＝|sin220°|，又220°为第三象限角，所以sin220°<0，故eq \r(1－cs2220°)＝－sin220°.
3．已知eq \f(1＋sinx,csx)＝－eq \f(1,2)，则eq \f(csx,sinx－1)＝( A )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．2D．－2
[解析] 由sin2x＋cs2x＝1得cs2x＝1－sin2x，得cs2x＝(1－sinx)(1＋sinx)，得eq \f(1＋sinx,csx)＝eq \f(csx,1－sinx)，所以eq \f(csx,sinx－1)＝－eq \f(csx,1－sinx)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2).故选A．
4．若α为第三象限角，则eq \f(csα,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sinα,\r(1－cs2α))的值为( B )
A．3B．－3
C．1D．－1
[解析] ∵α为第三象限角，∴csα<0，sinα<0，
∴原式＝－eq \f(csα,csα)－eq \f(2sinα,sinα)＝－3.
5．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋csα＝eq \f(2,3)，那么这个三角形的形状为( B )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
[解析] (sinα＋csα)2＝eq \f(4,9)，∴2sinαcsα＝－eq \f(5,9)<0，
又∵α∈(0，π)，sinα>0.∴csα<0，∴α为钝角．
6．已知sinα－3csα＝0，则sin2α＋sinαcsα值为( B )
A．eq \f(9,5)B．eq \f(6,5)
C．3D．4
[解析] 由sinα－3csα＝0，∴tanα＝3，
又sin2α＋sinαcsα＝eq \f(sin2α＋sinαcsα,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α＋tanα,1＋tan2α)＝eq \f(12,10)＝eq \f(6,5).
二、填空题
7．在△ABC中，eq \r(2)sinA＝eq \r(3csA)，则∠A＝__60°__.
[解析] ∵2sin2A＝3csA，∴2(1－cs2A)＝3csA，即(2csA－1)(csA＋2)＝0，∴csA＝eq \f(1,2)，csA＝－2(舍去)，∴A＝60°.
8．已知tanα＝csα，那么sinα＝__eq \f(－1＋\r(5),2)__.
[解析] 由于tanα＝eq \f(sinα,csα)＝csα，则sinα＝cs2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝eq \f(－1±\r(5),2).
又sinα＝cs2α≥0，所以sinα＝eq \f(－1＋\r(5),2).
9．若eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1，则tanα的值为__3__.
[解析] eq \f(2sinα＋csα,3sinα－2csα)＝1化为eq \f(2tanα＋1,3tanα－2)＝1，
所以2tanα＋1＝3tanα－2，
所以tanα＝3.
三、解答题
10．求证：sinα(1＋tanα)＋csα(1＋eq \f(1,tanα))＝eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα).
[证明] 左边＝sinα(1＋eq \f(sinα,csα))＋csα(1＋eq \f(csα,sinα))
＝sinα＋eq \f(sin2α,csα)＋csα＋eq \f(cs2α,sinα)
＝eq \f(sin2α＋cs2α,sinα)＋eq \f(sin2α＋cs2α,csα)＝eq \f(1,sinα)＋eq \f(1,csα)＝右边．
即原等式成立．
11．已知sinθ、csθ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，eq \f(3π,2)<θ<2π，求角θ.
[解析] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＋csθ＝m，,sinθ·csθ＝\f(2m－1,4)，,Δ＝16m2－2m＋1≥0，))
代入(sinθ＋csθ)2＝1＋2sinθ·csθ，得m＝eq \f(1±\r(3),2).
又∵eq \f(3π,2)<θ<2π.∴sinθ·csθ＝eq \f(2m－1,4)<0，sinθ＋csθ＝m＝eq \f(1－\r(3),2)，∴sinθ＝－eq \f(\r(3),2)，csθ＝eq \f(1,2).
又∵eq \f(3π,2)<θ<2π，∴θ＝eq \f(5π,3).
B组·素养提升
一、选择题
1．若π<αA．eq \f(2,tanα)B．－eq \f(2,tanα)
C．eq \f(2,sinα)D．－eq \f(2,sinα)
[解析] 原式＝eq \r(\f(1－csα2,1－cs2α))＋eq \r(\f(1＋csα2,1－cs2α))
＝eq \f(1－csα,|sinα|)＋eq \f(1＋csα,|sinα|)＝eq \f(2,|sinα|)，
∵π<α2．若eq \f(sinθ＋2csθ,sinθ－csθ)＝2，则sinθ·csθ＝( D )
A．－eq \f(4,17)B．eq \f(4,5)
C．±eq \f(4,17)D．eq \f(4,17)
[解析] 由eq \f(sinθ＋2csθ,sinθ－csθ)＝2，得tanθ＝4，sinθcsθ＝eq \f(sinθcsθ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tanθ,1＋tan2θ)＝eq \f(4,17).
3．(多选题)下列计算或化简结果正确的是( AB )
A．eq \f(2tanαcsα,sinα)＝2
B．若sinθ·csθ＝eq \f(1,2)，则tanθ＋eq \f(csθ,sinθ)＝2
C．若tanx＝eq \f(1,2)，则eq \f(2sinx,csx－sinx)＝1
D．若sinα＝eq \f(2\r(5),5)，则tanα＝2
[解析] A正确，eq \f(2tanαcsα,sinα)＝eq \f(2sinα,csα)·eq \f(csα,sinα)＝2；
B正确，tanθ＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(sinθ,csθ)＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(1,sinθcsθ)＝2；
C不正确，eq \f(2sinx,csx－sinx)＝eq \f(2tanx,1－tanx)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,2))＝2；
D不正确，∵α范围不确定，∴tanα的符号不确定．
4．(多选题)若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( BC )
A．tanα＝－eq \f(sinα,csα)
B．eq \r(1－2sinαcsα)＝sinα－csα
C．csα＝－eq \r(1－sin2α)
D．eq \r(1＋2sinαcsα)＝sinα＋csα
[解析] 由同角三角函数的基本关系式，知tanα＝eq \f(sinα,csα)，所以A错；因为α是第二象限角，所以sinα>0，csα<0，所以sinα－csα>0，sinα＋csα的符号不确定，所以eq \r(1－2sinαcsα)＝eq \r(sinα－csα2)＝sinα－csα，所以B，C正确，D错．
二、填空题
5．已知sinα－csα＝eq \r(2)(0<α<π)，则sinα＝__eq \f(\r(2),2)__，tanα＝__－1__.
[解析] 由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－csα＝\r(2)，,sin2α＋cs2α＝1，,sinα>0，))解得
sinα＝eq \f(\r(2),2)，csα＝－eq \f(\r(2),2)，则tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－1.
6．已知sinθ＝eq \f(m－3,m＋5)，csθ＝eq \f(4－2m,m＋5)，则tanθ＝__－eq \f(3,4)或－eq \f(5,12)__.
[解析] 由sin2θ＋cs2θ＝1得，m＝0或8.
m＝0时，sinθ＝－eq \f(3,5)，csθ＝eq \f(4,5)，tanθ＝－eq \f(3,4)；
m＝8时，sinθ＝eq \f(5,13)，csθ＝－eq \f(12,13)，tanθ＝－eq \f(5,12).
7．在△ABC中，若tanA＝eq \f(\r(2),3)，则sinA＝__eq \f(\r(22),11)__.
[解析] 因为tanA＝eq \f(\r(2),3)>0，则∠A是锐角，则sinA>0，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2A＋cs2A＝1，,\f(sinA,csA)＝\f(\r(2),3)，))得sinA＝eq \f(\r(22),11).
三、解答题
8．化简下列式子．
(1)cs6α＋sin6α＋3sin2αcs2α；
(2)若x是第二象限角，化简eq \f(sinx,1－csx)·eq \r(\f(tanx－sinx,tanx＋sinx)).
[解析] (1)原式＝(cs2α＋sin2α)(cs4α－cs2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cs2α＝cs4α＋2sin2αcs2α＋sin4α＝(sin2α＋cs2α)2＝1.
(2)原式＝eq \f(sinx,1－csx)·eq \r(\f(sinx－sinxcsx,sinx＋sinxcsx))＝eq \f(sinx,1－csx)·eq \r(\f(1－csx,1＋csx))
＝eq \f(sinx,1－csx)·eq \r(\f(1＋csx1－csx,1＋csx2))＝eq \f(sinx,1－csx)·eq \f(|sinx|,1＋csx).
∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝eq \f(sin2x,1－cs2x)＝1.
9．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和csθ，θ∈(0，eq \f(π,2))．
(1)求eq \f(sinθ,1－\f(1,tanθ))＋eq \f(csθ,1－tanθ)的值；
(2)求实数m的值；
(3)求sinθ，csθ及θ的值．
[解析] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＋csθ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sinθcsθ＝\f(m,2)，))
所以eq \f(sinθ,1－\f(1,tanθ))＋eq \f(csθ,1－tanθ)＝eq \f(sin2θ,sinθ－csθ)＋eq \f(cs2θ,csθ－sinθ)＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sinθ－csθ)＝sinθ＋csθ＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由(1)，知sinθ＋csθ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
将上式两边平方，得1＋2sinθcsθ＝eq \f(2＋\r(3),2)，
所以sinθcsθ＝eq \f(\r(3),4)，由(1)，知eq \f(m,2)＝eq \f(\r(3),4)，所以m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由(2)可知原方程为2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(\r(3),2)，,csθ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinθ＝\f(1,2)，,csθ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0，eq \f(π,2))，所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).