高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念同步达标检测题

5.2.2　同角三角函数的基本关系

基础过关练

　题组一　已知一个三角函数值求其余两个值

1.(2020福建南平期末)已知α为第二象限角,且sin α=,则tan α=(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D.

2.已知角α的终边在第三象限,且tan α=2,则sin α-cos α=(　　)

A.-1　　　　　　B.1         C.-　　　　　　D.

3.已知角A为△ABC的内角,cos A=-,则sin A=　　　　. 

题组二　正、余弦齐次式的求值问题

4.(2021黑龙江哈尔滨六中月考)已知tan α=-,则的值为 (　　)

A.-3　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D.

5.(2020辽宁葫芦岛期末)若=-,则tan α的值为(　　)

A.　　　　　　B.-         C.　　　　　　D.-

6.已知tan θ=2,则的值为(　　)

A.　　　　　　B.          C.　　　　　　D.2

7.(2022四川乐山期末)已知=1.

(1)求tan α的值;

(2)求sin αcos α-cos2α+1的值.

题组三　利用sin α± cos α与sin αcos α之间的关系求值

8.(2022北京五中通州校区月考)已知sin α-cos α=,则sin αcos α=(　　)

A.-　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.

9.(多选)(2022河北邯郸大名一中月考)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　)

A.θ∈　　　　　　B.cos θ=-

C.tan θ=-　　　　　　D.sin θ-cos θ=

10.(2022浙江桐庐中学月考)已知sin αcos α=,π<α<,求

cos α-sin α.

题组四　利用同角三角函数的基本关系化简或证明

11.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)

A.-　　　　　　B.-       C.　　　　　　D.

12.(2020山西长治二中期末)已知sin α+cos α=,则tan α+的值为(　　)

A.-1　　　　　　B.-2        C.　　　　　　D.2

13.化简:=(　　)

A.tan 　　　　　　B.-       C.1　　　　　　D.-1

14.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D.

15.求证:=.

16.(2022湖南师大附中月考)已知f(α)=+,其中α是第三象限角.

(1)化简f(α);

(2)若f(α)=4,求sin α,cos α的值.

能力提升练

　题组一　利用同角三角函数的基本关系求值

1.(2022江西赣州期中)已知tan θ=2,则(sin θ-3cos θ)2-1的值为(　　)

A.-　　　　　　B.

C.-　　　　　　D.

2.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)

A.　　　　　　B.-

C.　　　　　　D.-

3.已知0<α<,ln(1+cos α)=s,ln =t,则ln(sin α)=(　　)

A.s-t　　　　　　B.s+t

C.(s-t)　　　　　　D.(s+t)

4.(多选)已知θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-,|sin θ|>|cos θ|,则下列说法正确的是(　　)

A.θ∈　　　　　　B.tan θ=-

C.cos θ=　　　　　　D.sin θ+cos θ=

5.(2022湖北石首第一中学月考)已知sin x=,cos x=,且x∈,则tan x=　　　　. 

6.(2022安徽淮北一中月考)设sin θ,cos θ是4x2+2ax+a=0的两根,则a的值为　　　　. 

7.(2021江苏淮安六校联考)(1)若sin α=2cos α,求+cos2α的值;

(2)已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求sin α-cos α的值.

题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明

8.(2020河南商丘一中期末)关于x的方程2x2+(+1)x+m=0的两个根为sin θ和cos θ,则+=　　　　. 

9.(2020辽宁省实验中学期中)求证:

(1)=;

(2)-2sin α+cos2αsin α=.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由sin α=,可得cos α=±,

又α为第二象限角,所以cos α=-.

所以tan α==-.故选C.

2.C　由角α的终边在第三象限,可知sin α<0,cos α<0,由题设知解得cos α=-,sin α=-,所以sin α-cos α=-+=-,故选C.

3.答案　

解析　因为角A为△ABC的内角,所以A∈(0,π),因为cos A=-,所以sin A==.

4.A　因为tan α=-,所以===-3.故选A.

5.D　因为==-,所以tan α=-.故选D.

6.C　由题意可得====.故选C.

7.解析　(1)由题可知4sin α-2cos α=5cos α+3sin α,

整理得sin α=7cos α,即tan α=7.

(2)原式=sin αcos α-cos2α+(sin2α+cos2α)

=sin αcos α+sin2α=

==.

8.B　∵sin α-cos α=,∴(sin α-cos α)2=,

即1-2sin αcos α=,∴sin αcos α=-.故选B.

9.ABD　因为sin θ+cos θ=①,

所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,

则2sin θcos θ=-,

因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,

所以θ∈,故A正确;

(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,

所以sin θ-cos θ=②,故D正确;

联立①②,可解得sin θ=,cos θ=-,故B正确;

tan θ==-,故C错误.

故选ABD.

10.解析　因为π<α<,

所以cos α<sin α,即cos α-sin α<0,

因为sin αcos α=,

所以(cos α-sin α)2=1-2cos αsin α=1-=,

所以cos α-sin α=-.

11.B　∵sin α=,

∴cos2α=1-sin2α=1-=,

∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=-=-.

12.D　∵sin α+cos α=,

∴(sin α+cos α)2=2,∴sin αcos α=,

∴tan α+=+==2.

13.D　原式===-1.

14.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.

15.证明　证法一:

左边=

=

=

=

===右边,

∴原等式成立.

证法二:∵右边==,

左边==

=

=,

∴左边=右边,故原等式成立.

16.解析　(1)∵α是第三象限角,

∴sin α<0,cos α<0,又1-cos α>0,1+cos α>0,

∴f(α)=+=+=+=-,

∴f(α)=-.

(2)∵f(α)=-=4,

∴sin α=-,则cos α=-=-.

能力提升练

1.A　∵tan θ=2,

∴(sin θ-3cos θ)2-1=sin2θ-6sin θcos θ+9cos2θ-1

=8cos2θ-6sin θcos θ

=

=

==-.

故选A.

2.A　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.

∵θ是第三象限角,

∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.

3.C　依题意得s-t=ln(1+cos α)+ln(1-cos α)

=ln(1-cos2α)=ln(sin2α),

∵0<α<,∴sin α>0,

∴s-t=2ln(sin α),即ln(sin α)=(s-t),故选C.

4.ABD　因为θ∈(0,π),且满足sin θ·cos θ=-<0,

所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,所以A正确;

因为sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ+cos2θ+2sin θcos θ=

1-=,sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=,

所以(sin θ+cos θ)2=,(sin θ-cos θ)2=,

因为|sin θ|>|cos θ|,sin θ>0,cos θ<0,

所以sin θ+cos θ=①,sin θ-cos θ=②,所以D正确;

联立①②,解得sin θ=,cos θ=-,所以tan θ==-,所以B正确,C错误.

故选ABD.

5.答案　-

解析　∵x∈,∴sin x<0,cos x>0.由sin2x+cos2x=1,可得+=1,解得m=0或m=8.当m=0时,sin x=-,cos x=,符合题意,此时tan x=-;当m=8时,sin x=,cos x=-,不符合题意.综上,tan x=-.

6.答案　1-

解析　依题意可得

由4a2-16a≥0得a≤0或a≥4.

由sin θ+cos θ=-和sin θ·cos θ=得1+2×=,即a2-2a-4=0,

解得a=1-或a=1+.

因为0<1+<4,

所以a=1+应舍去,所以a=1-.

故答案为1-.

7.解析　(1)由sin α=2cos α,得tan α=2,

所以+cos2α=+=+=.

(2)将sin α+cos α=的两边同时平方,

可得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,

因为α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,

所以sin α-cos α===.

8.答案　-

解析　因为关于x的方程2x2+(+1)x+m=0的两个根为sin θ和

cos θ,

所以sin θ+cos θ=-,

因此,+=+==sin θ+cos θ=-.

9.证明　(1)左边==

===右边,

∴原等式成立.

(2)左边=(sin α-2sin αcos2α+cos4αsin α)

=(1-2cos2α+cos4α)

=

=

==右边,

∴原等式成立.