高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念练习

5.2.2同角三角函数的基本关系

A级　基础巩固

一、选择题

1．α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　B　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　∵α是第四象限角，∴sinα<0．

∵∴sinα＝－．

2．已知cosα＝，则sin2α等于(　A　)

A．  B．±

C．  D．±

[解析]　sin2α＝1－cos2α＝．

3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝(　D　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，

∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－．

4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　C　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

[解析]　原式＝(1＋)·cos2α

＝cos2α＋sin2α＝1．

5．已知sinα－3cosα＝0，则sin2α＋sinαcosα值为(　B　)

A．  B．

C．3  D．4

[解析]　由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，

又sin2α＋sinαcosα＝＝＝＝．

6．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，那么这个三角形的形状为(　B　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．等边三角形  D．等腰直角三角形

[解析]　(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－<0，

又∵α∈(0，π)，sinα>0．∴cosα<0，∴α为钝角．

二、填空题

7．在△ABC中，sinA＝，则∠A＝__60°__．

[解析]　∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°．

8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝　　．

[解析]　由于tanα＝＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝．

又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝．

三、解答题

9．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋．

[证明]　左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋)

＝sinα＋＋cosα＋

＝＋

＝＋＝右边．

即原等式成立．

10．已知tanα＝7，求下列各式的值．

(1)；

(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α．

[解析]　(1)＝＝＝＝．

(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝

＝＝

＝＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知sinα－cosα＝－，则sinα·cosα等于(　C　)

A．  B．－

C．－  D．

[解析]　将所给等式两边平方，得1－2sinαcosα＝，故sinαcosα＝－．

2．若π<α<，＋的化简结果为(　D　)

A．  B．－

C．  D．－

[解析]　原式＝

＝＋＝

∵π<α<，∴原式＝－．

3．若＝2，则sinθ·cosθ＝(　D　)

A．－  B．

C．±  D．

[解析]　由＝2，得tanθ＝4，sinθcosθ＝＝＝．

4．如果sinx＋cosx＝，且0<x<π，那么tanx的值是(　A　)

A．－  B．－或－

C．－  D．或－

[解析]　将所给等式两边平方，得sinxcosx＝－，

∵0<x<π，∴sinx>0，cosx<0，

∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－．

二、填空题

5．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝　－或－　．

[解析]　由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8．

m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－；

m＝8时，sinθ＝，cos＝－，tanθ＝－．

6．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝　　．

[解析]　因为tanA＝>0，则∠A是锐角，则sinA>0，解方程组得sinA＝．

7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．

[解析]　由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝(tan2α－1)，

即＝(－1)，故有＝(－1)＝×，整理得＝，

即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)(sin2α－)，

展开得sin2β＝sin2α－，即sin2β＝2sin2α－1．

8．化简下列式子．

(1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；

(2)若x是第二象限角，化简·．

[解析]　(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1．

(2)原式＝·＝·＝·．

∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝＝1．

C级　能力拔高

设A是三角形的内角，且sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根．

(1)求a的值；

(2)求tanA的值．

[解析]　(1)∵sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根，

∴由韦达定理得 将①两边分别平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝a2，即1－a＝，解得a＝－25或a＝1．当a＝－25时，sinA＋cosA＝－5不合题意，故a＝1．

(2)由得sinA>0，cosA<0，∴sinA＝，cosA＝－．∴tanA＝＝－．