


高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试当堂达标检测题
展开(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )
A.eq \f(1,a)<eq \f(1,b) B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C.a>b2 D.a2>2b
C [取a=2,b=-eq \f(1,2),满足a>1>b>-1,但eq \f(1,a)>eq \f(1,b),故A错;取a=2,b=eq \f(1,3),满足a>1>b>-1,但eq \f(1,a)<eq \f(1,b),故B错;取a=eq \f(5,4),b=eq \f(5,6),满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错,只有C正确.]
2.已知a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( )
A.a>eq \f(a,b)>eq \f(a,b2) B.eq \f(a,b2)>eq \f(a,b)>a
C.eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a D.eq \f(a,b)>a>eq \f(a,b2)
C [∵a<0,b<-1,∴eq \f(a,b)>0,b2>1,∴eq \f(1,b2)<1.
又∵a<0,∴0>eq \f(a,b2)>a,∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b2)>a.
故选C.]
3.不等式-x2-x+2≥0的解集为( )
A.{x|x≤-2或x≥1} B.{x|-2<x<1}
C.{x|-2≤x≤1} D.∅
C [不等式-x2-x+2≥0可化为x2+x-2≤0,即(x+2)(x-1)≤0,所以-2≤x≤1,即解集为{x|-2≤x≤1}.]
4.已知集合M={x|0≤x<2},N={x|x2-2x-3<0},则M∩N=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
B [由于N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},又因为M={x|0≤x<2},所以M∩N={x|0≤x<2}.]
5.下列方程,适合用因式分解法解的是( )
A.x2-4eq \r(2)x+1=0 B.2x2=x-3
C.(x-2)2=3x-6 D.x2-10x-9=0
C [C中方程化简后可以用因式分解法求解.]
6.求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11x+3z=9,,3x+2y+z=8,,2x-6y+4z=5))的解集时,最简便的方法是( )
A.先消x得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22y+2z=61,,66y-38z=-37))
B.先消z得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x-6y=-15,,38x+18y=21))
C.先消y得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11x+7z=29,,11x+3z=9))
D.得8x-2y+4z=11,再解
C [第一个方程中没有y,所以消去y最简便.]
7.若不等式4x2+(m-1)x+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是( )
A.m>5或m<-3 B.m≥5或m≤-3
C.-3≤m≤5 D.-3<m<5
D [依题意有(m-1)2-16<0,所以m2-2m-15<0,解得-3<m<5.]
8.已知关于x的方程x2-6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足eq \f(1,x1)+eq \f(1,x2)=3,则k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B [∵x2-6x+k=0的两根分别为x1,x2,∴x1+x2=6,x1x2=k,∴eq \f(1,x1)+eq \f(1,x2)=eq \f(x1+x2,x1x2)=eq \f(6,k)=3,解得k=2.
经检验,k=2满足题意.]
9.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量是( )
A.200台 B.150台
C.100台 D.50台
B [要使生产者不亏本,则应满足25x≥3 000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去),故最低产量是150台.]
10.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )
A.a<b<eq \r(ab)<eq \f(a+b,2)
B.a<eq \r(ab)<eq \f(a+b,2)<b
C.a<eq \r(ab)<b<eq \f(a+b,2)
D.a<b<eq \f(a+b,2)<eq \r(ab)
B [因为0<a<b,所以由均值不等式可得eq \r(ab)<eq \f(a+b,2),且eq \f(a+b,2)<eq \f(b+b,2)=b,又a=eq \r(a·a)<eq \r(a·b),所以a<eq \r(ab)<eq \f(a+b,2)<b.]
11.若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( )
A.a2+b2+c2≥2 B.a+b+c≤eq \r(3)
C.eq \f(1,a)+eq \f(1,b)+eq \f(1,c)≤2eq \r(3) D.(a+b+c)2≥3
D [由均值不等式知a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,于是a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1,故A错;而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)=3,故D项正确,B项错误;令a=b=c=eq \f(\r(3),3),则ab+bc+ca=1,但eq \f(1,a)+eq \f(1,b)+eq \f(1,c)=3eq \r(3)>2eq \r(3),故C项错误.]
12.若x>1,则4x+1+eq \f(1,x-1)的最小值等于( )
A.6 B.9 C.4 D.1
B [由x>1,得x-1>0,于是4x+1+eq \f(1,x-1)=4(x-1)+eq \f(1,x-1)+5≥2eq \r(4)+5=9,当且仅当4(x-1)=eq \f(1,x-1),即x=eq \f(3,2)时,等号成立.]
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.若{(x,y)|(2,1)}是关于x,y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax+by=2,,bx+ay=7))的解集,则(a+b)(a-b)=________.
-15 [∵{(x,y)|(2,1)}是关于x,y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax+by=2,,bx+ay=7))的解集,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a+b=2,,2b+a=7,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=-1,,b=4,))
∴(a+b)(a-b)=(-1+4)×(-1-4)=-15.]
14.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为(-∞,m)∪(1,+∞),则m=________.
-3 [由已知可得a<0且1和m是方程ax2-6x+a2=0的两根,于是a-6+a2=0,解得a=-3,代入得-3x2-6x+9=0,所以方程另一根为-3,即m=-3.]
15.若关于x的不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x-1>a2,,x-4<2a))的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
(-1,3) [依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>a2+1,,x<2a+4,))要使不等式组的解集不是空集,应有a2+1<4+2a,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.]
16.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是________.
[9,+∞) [∵ab=a+b+3≥2eq \r(ab)+3,
∴ab-2eq \r(ab)-3≥0,即(eq \r(ab)-3)(eq \r(ab)+1)≥0,
∴eq \r(ab)-3≥0,即eq \r(ab)≥3,∴ab≥9.]
三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求下列不等式的解集.
(1)-4<-eq \f(1,2)x2-x-eq \f(3,2);
(2)(x+3)2≥(1-2x)2.
[解] (1)原不等式可化为eq \f(1,2)x2+x+eq \f(3,2)<4,
化简,得x2+2x-5<0.
因为x2+2x-5=x2+2x+1-1-5=(x+1)2-6,
所以原不等式等价于(x+1)2<6,
开平方,得|x+1|<eq \r(6),
解得-eq \r(6)-1<x<eq \r(6)-1.
所以原不等式的解集为{x|-eq \r(6)-1<x<eq \r(6)-1}.
(2)移项,得(x+3)2-(1-2x)2≥0,
因式分解,得(3x+2)(x-4)≤0,
解得-eq \f(2,3)≤x≤4,
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(2,3)≤x≤4)))).
18.(本小题满分12分)若x,y为正实数,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
[解] 由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,
∴eq \f(2,y)+eq \f(8,x)=1.∵x,y为正实数,
∴x+y=(x+y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)+\f(2,y)))=10+eq \f(8y,x)+eq \f(2x,y)
=10+2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)+\f(x,y)))≥10+2×2×eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))=18,
当且仅当eq \f(4y,x)=eq \f(x,y),即x=2y时,取等号.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴当x=12,y=6时,x+y取得最小值18.
19.(本小题满分12分)已知ax2+2ax+1≥0恒成立.
(1)求a的取值范围;
(2)解关于x的不等式x2-x-a2+a<0.
[解] (1)因为ax2+2ax+1≥0恒成立.
①当a=0时,1≥0恒成立;
②当a≠0时,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,Δ=4a2-4a≤0,))
解得0
综上,a的取值范围为0≤a≤1.
(2)由x2-x-a2+a<0得,(x-a)[x-(1-a)]<0.
因为0≤a≤1,
所以①当1-a>a,
即0≤a
a
②当1-a=a,即a=eq \f(1,2)时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))2<0,不等式无解;
③当1-a
1-a
综上所述,当0≤a
当a=eq \f(1,2)时,解集为∅;
当eq \f(1,2)
20.(本小题满分12分)已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.
[解] (1)Δ=4a2-4a(a-6)=24a,∵一元二次方程有两个实数根,∴Δ≥0,即a≥0.
又∵a-6≠0,∴a≠6,∴a≥0且a≠6.
由题可知x1+x2=eq \f(2a,6-a),x1x2=eq \f(a,a-6).
∵-x1+x1x2=4+x2,即x1x2=4+x1+x2,
∴eq \f(a,a-6)=4+eq \f(2a,6-a),解得a=24.经检验,符合题意.
∴存在实数a,a的值为24.
(2)(x1+1)(x2+1)=x1+x2+x1x2+1=eq \f(2a,6-a)+eq \f(a,a-6)+1=eq \f(-6,a-6).∵eq \f(-6,a-6)为负整数,∴整数a的值应取7,8,9,12.
21.(本小题满分12分)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β},且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
[解] 法一:由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,
∴由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)=-α+β<0,①,\f(c,a)=αβ>0,②))
∵a<0,0<α<β,∴由②得c<0,
则cx2+bx+a<0可化为x2+eq \f(b,c)x+eq \f(a,c)>0.
①÷②,得eq \f(b,c)=eq \f(-α+β,αβ)=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,α)+\f(1,β)))<0.
由②得eq \f(a,c)=eq \f(1,αβ)=eq \f(1,α)·eq \f(1,β)>0.
∴eq \f(1,α),eq \f(1,β)为方程x2+eq \f(b,c)x+eq \f(a,c)=0的两根.
又∵0<α<β,∴0<eq \f(1,β)<eq \f(1,α),
∴不等式x2+eq \f(b,c)x+eq \f(a,c)>0的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,β)))或x>eq \f(1,α),即不等式cx2+bx+a<0的解集为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,β)))或x>eq \f(1,α).
法二:由题意知a<0,
由cx2+bx+a<0,得eq \f(c,a)x2+eq \f(b,a)x+1>0.
将法一中的①②代入,
得αβx2-(α+β)x+1>0,
即(αx-1)(βx-1)>0.
又∵0<α<β,∴0<eq \f(1,β)<eq \f(1,α).
∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,β)或x>\f(1,α))))).
22.(本小题满分12分)经观测,某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系:y=eq \f(920v,v2+3v+1 600)(v>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?最大车流量为多少?(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
[解] (1)y=eq \f(920v,v2+3v+1 600)=eq \f(920,v+\f(1 600,v)+3)≤
eq \f(920,2\r(v·\f(1 600,v))+3)=eq \f(920,83)≈11.08.
当v=eq \f(1 600,v),即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时.
(2)据题意有:eq \f(920v,v2+3v+1 600)≥10,
化简得v2-89v+1 600≤0,
即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内.
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