高中人教B版 (2019)第二章 等式与不等式本章综合与测试一课一练

第二章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2021山东潍坊高一期中)某学校高一3班为该班男生分配宿舍,如果每个宿舍安排3人,就会有6名男生没有宿舍住,如果每个宿舍安排5人,有一间宿舍不到5名男生,那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是              (　　)

A.3或4 B.4或5

C.3或5 D.4或6

答案B

解析设房间数量为x,由题意可得5(x-1)+1≤3x+6<5x,解得3<x≤5,

∵x为正整数,∴x=4或5,故该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是4或5.

故选B.

2.(2021黑龙江八校高一期中)下列不等式正确的是(　　)

A.若x<0,则x+≤2

B.若x∈R,则≥2

C.若x∈R,则<1

D.若x>0,则(1+x)≥4

答案D

解析由于x<0,所以-x>0,故(-x)+≥2,则x+≤-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故A错误;,设=t(t≥),所以y=t+,由于函数为对勾函数,在t=时,最小值为,故B错误;

当x=0时,=1,故C错误;由于x>0,

所以(1+x)=2+x+≥4,当且仅当x=1时,等号成立,故D正确.故选D.

3.(2021湖北高一期末)已知a<0<c<b,则下列各式一定成立的是(　　)

A.a2>b2 B.a2≤b2

C.b+c<bc D.b->c-

答案D

解析因为a<0<c<b,a2,b2的大小无法确定,A,B均不正确;取b=1.2,c=1.1,得b+c=2.3>bc=1.32,所以C不正确;可得0>->-,所以b->c-,故D正确.故选D.

4.不等式<x+1的解集是(　　)

A.{x|-3<x<-2或x>0} 

B.{x|x<-3,或-2<x<0}

C.{x|-3<x<0} 

D.{x|x<-3,或x>0}

答案A

解析不等式<x+1等价于>0,即等价于x(x+3)(x+2)>0,得它的解集为{x|-3<x<-2或x>0}.

5.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是(　　)

A.[0,10] B.[2,10]

C.[0,12] D.[2,12]

答案B

解析因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.

6.(2021河南焦作高二期末)已知a,b为正实数,且ab-3(a+b)+8=0,则ab的取值范围是(　　)

A.[2,4] B.(0,2]∪[4,+∞)

C.[4,16] D.(0,4]∪[16,+∞)

答案D

解析因为a,b为正实数,则0=ab-3(a+b)+8≤ab-6+8,当且仅当a=b时等号成立.

即(-2)(-4)≥0,所以0<≤2或≥4,

所以0<ab≤4或ab≥16.ab的取值范围是{ab|0<ab≤4,或ab≥16}.故选D.

7.(2021安徽合肥高一期末)已知x>0,y>0,且x+y=1,若不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.-,1 

B.-,1

C.(-2,1) 

D.-∞,-∪(1,+∞)

答案A

解析因为x>0,y>0,且x+y=1,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy≥1-,当且仅当x=y=时,等号成立;

又不等式x2+y2+xy>m2+m恒成立,

所以只需m2+m,即2m2+m-3<0,解得-<m<1.故选A.

8.若正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值为(　　)

A.4 B. C.5 D.

答案A

解析∵正实数x,y满足x+2y+2xy-8=0,∴x+2y+2-8≥0,当且仅当x=2y时取等号.

设x+2y=t>0,∴t+t2-8≥0,∴t2+4t-32≥0,即(t+8)(t-4)≥0,∴t≥4,故x+2y的最小值为4.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列命题中,不正确的是(　　)

A.若ac>bc,则a>b

B.若a>b,c>d,则a-c>b-d

C.若a>b,c>d,则ac>bd

D.若,则a<b

答案ABC

解析取a=-3,c=-1,b=-2,则ac=3,bc=2,ac>bc,但a<b,故A错;取a=3,b=-1,c=5,d=0,则a>b,c>d,但a-c=-2,b-d=-1,a-c<b-d,故B错;取a=3,b=-1,c=0,d=-2,则a>b,c>d,但ac=0,bd=2,ac<bd,故C错;因为0≤,故()2<()2,即a<b,故D正确.

10.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　)

A.a<v< B.v=

C.<v< D.v=

答案AD

解析设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为,

∴v=.

∵b>a>0,由基本不等式可得,

∴v=,

另一方面v=,v-a=-a==0,

∴v>a,则a<v<.

11.已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),则(　　)

A.x1+x2=2 B.x1x2<-3

C.x2-x1>4 D.-1<x1<x2<3

答案ABC

解析∵不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1<x<x2}(x1<x2),

∴a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.

∴x1+x2=2,x1x2=-3<-3,x2-x1==2>4.

由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的.故选ABC.

12.(2021福建厦门高一期末)关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数,则实数a的值可以是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

答案BC

解析设f(x)=x2-2x-a,图像开口向上,对称轴为x=1,若关于x的一元二次不等式x2-2x-a≤0的解集中有且仅有5个整数.根据二次函数的对称轴以及对称性,则这5个整数应为-1,0,1,2,3,则解得实数a的取值范围满足3≤a<8,故选BC.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知a>0,b>1,且a(b-1)=4,则a+b的最小值为　　　　　. 

答案5

解析∵a>0,b>1,且a(b-1)=4,∴a=>0.

∴a+b=+(b-1)+1≥2+1=5,当且仅当a=2,b=3时,等号成立.

14.(2020河南高二期末)已知x,y均为正实数,且满足=1,则x+y的最小值为　　　　　. 

答案6

解析由=1可得xy=x+y+3.

又因为xy≤,所以≥x+y+3,

即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.

又∵x,y均为正实数,∴x+y≥6(当且仅当x=y=3时,等号成立),即x+y的最小值为6.

15.(2020宁夏高一期中)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全,要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为x-k+L,其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5 L,欲使每小时的油耗不超过9 L,则速度x的取值范围为　　　　　. 

答案{x|60≤x≤100}

解析由于“汽车以120km/h的速度行驶时,每小时的油耗为11.5L”,所以120-k+=11.5,解得k=100,故每小时油耗为x+-20L,依题意x+-20≤9,解得45≤x≤100,依题意60≤x≤120,故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100].

16.(2021陕西西安交大附中高一期中)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,则实数m的取值范围为　　　　　. 

答案{m|2-<m≤-1或5≤m<2+}

解析∵关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2,

∴

即

解得2-<m≤-1,或5≤m<2+,

则实数m的取值范围为(2-,-1]∪[5,2+).

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.

解(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),

∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,

∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

18.(12分)(2021江苏淮安六校联盟高一联考)(1)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a+b与a+b的大小;

(2)a,b都为正数,a+b=2,求的最小值.

解(1)∵a,b均为正数,且a≠b,

∴a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=()(a-b)=()2()>0,

∴a+b>a+b.

(2)∵a,b都为正数,且a+b=2,

∴=3,

当且仅当a=b=1时,等号成立,即的最小值为3.

19.(12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+1.

(1)当m=5时,求不等式y>0的解集;

(2)若不等式y>0的解集为R,求实数m的取值范围.

解(1)当m=5时,y=6x2-5x+1,

不等式y>0即为6x2-5x+1>0,

解得该不等式的解集为.

(2)由题意得(m+1)x2-mx+1>0的解集为R.

当m=-1时,该不等式的解集为{x|x>-1},不符合题意,舍去;

当m<-1时,不符合题意,舍去;

当m>-1时,Δ=(-m)2-4(m+1)<0,解得2-2<m<2+2.

综上所述,实数m的取值范围是(2-2,2+2).

20.(12分)已知函数y=x2-2ax-1+a,a∈R.

(1)若a=2,试求函数(x>0)的最小值;

(2)当0≤x≤2时,不等式y≤a成立,试求a的取值范围.

解(1)依题意得=x+-4.因为x>0,所以x+≥2.当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以≥-2.故当x=1时,的最小值为-2.

(2)因为y-a=x2-2ax-1,所以要使得“当0≤x≤2时,不等式y≤a成立”只要“当0≤x≤2时,不等式x2-2ax-1≤0恒成立”.

不妨设z=x2-2ax-1,

则只要当0≤x≤2时,不等式z≤0恒成立.

所以

解得a≥.

所以a的取值范围是,+∞.

21.(12分)(2021山东临沂部分高中高一期中)已知函数y=x2+2ax-b.

(1)若b=8a2,求不等式y≤0的解集;

(2)若a>0,b>0,且函数在x=b时的函数值为b2+b+a,求a+b的最小值.

解(1)因为b=8a2,所以y=x2+2ax-8a2,

由y≤0,得x2+2ax-8a2≤0,

即(x+4a)(x-2a)≤0,

当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0};

当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a};

当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.

综上所述,不等式y≤0的解集为:当a=0时,不等式y≤0的解集为{x|x=0},

当a>0时,不等式y≤0的解集为{x|-4a≤x≤2a},

当a<0时,不等式y≤0的解集为{x|2a≤x≤-4a}.

(2)因为在x=b时的函数值为b2+2ab-b,由题知b2+2ab-b=b2+b+a,

即2ab=a+2b,所以=1.

由a+b=(a+b)×1=(a+b)=1++2,

当且仅当a=b,即a=1+,b=时,等号成立.

所以a+b的最小值为.

22.(12分)某厂生产某种商品,经调查测算,该商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.

(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

解(1)设每件定价为t元,依题意得t≥25×8,

整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40.

故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为40元.

(2)依题意,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x成立,

即当x>25时,a≥x+有解,

因为x≥2=10,当且仅当,即x=30时,等号成立.

则a≥10.2.

故当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时商品的每件定价为30元.