高中人教B版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试练习题

章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)

A．{－1,0,1}　　 B．{0,1}

C．{－1,1} D．{0,1,2}

A　[B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{－1,0,1}．]

2．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，B＝{－1,0,2}，则(∁UA)∩B＝(　　)

A．{－1} B．{－1,2}

C．{－2,0} D．{－2，－1,0,2}

B　[因为A＝{0，－2}，U＝R，所以∁UA＝{x|x≠0，且x≠－2}，

又因为B＝{－1,0,2}，所以(∁UA)∩B＝{－1,2}．]

3．设集合A＝{x|－1≤x＜3}，集合B＝{x|0＜x≤2}，则“a∈A”是“a∈B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[由题可得，BA，则“a∈A”是“a∈B”的必要不充分条件．]

4．已知∀x∈[0,2]，p＞x；∃x∈[0,2]，q＞x.那么p，q的取值范围分别为(　　)

A．p∈(0，＋∞)，q∈(0，＋∞)

B．p∈(0，＋∞)，q∈(2，＋∞)

C．p∈(2，＋∞)，q∈(0，＋∞)

D．p∈(2，＋∞)，q∈(2，＋∞)

C　[由∀x∈[0,2]，p＞x，得p＞2.由∃x∈[0,2]，q＞x，得q＞0.所以p，q的取值范围分别为(2，＋∞)和(0，＋∞)．]

5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)

A．∃x∈R，x3－x2＋1<0

B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0

C．∀x∈R，x3－x2＋1>0

D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0

C　[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C．]

6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B　[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]

7．下列命题中，真命题是(　　)

A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1

B．∀x∈R,2x＞x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．∃x∈R，x2＋2≤0

A　[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A．]

8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　)

A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}

C．{a|a≤7} D．∅

C　[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；

当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，

要使A⊆B，需有解得6≤a≤7.

综上可知，a≤7.故选C．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．a2＞b2的一个充分条件是(　　)

A．a＞b B．a＜b

C．a＞|b| D．a＝2，b＝1

CD　[A中，当a＝0，b＝－2时，a2＝0，b2＝4，不能推出a2＞b2；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，a＞|b|两边平方得a2＞b2，能推出a2＞b2；D中，a2＝4，b2＝1，能推出a2＞b2，故选CD．]

10．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，下列结论正确的是(　　)

A．当a＝5时，9∈(A∩B)

B．当时a＝－3时，9∈(A∩B)

C．当a＝5时，{9}＝{A∩B}

D．当a＝－3时，{9}＝(A∩B)

ABD　[当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，

∴A∩B＝{－4,9},9∈(A∩B)，∴A正确；

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，

∴A∩B＝{9},9∈(A∩B)，∴B、D都正确．

故选ABD．]

11．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋＜0.

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

AC　[由条件可知：原命题为存在量词命题且为假命题，所以排除B、D；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，

所以A、C均为假命题，否定为真命题．]

12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是(　　)

A．数域必含有0,1两个数

B．整数集是数域

C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域

D．数域必为无限集

AD　[数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z,2∈Z，∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2,1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________.

{x|x≤1}　[∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，则A∪(∁UB)＝{x|x≤1}．]

14．命题“∀x∈[1,2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．

{a|a≤1}　[命题p：a≤x2在[1,2]上恒成立，y＝x2在[1,2]上的最小值为1，∴a≤1．]

15．设p：－m≤x≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)

1　4　[设A＝[－m，m](m＞0)，B＝[－1,4]，

若p是q的充分条件，则A⊆B，

所以所以0＜m≤1，

所以m的最大值为1，若p是q的必要条件，

则B⊆A，所以

所以m≥4，则m的最小值为4.]

16．已知集合A＝(0,2)，集合B＝(－1,1)，集合C＝{x|mx＋1＞0}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为________．

　[由题意，A∪B＝(－1,2)，

因为集合C＝{x|mx＋1＞0}，A∪B⊆C，

①m＜0，x＜－，所以－≥2，

所以m≥－，所以－≤m＜0；

②m＝0时，成立；

③m＞0，x＞－，所以－≤－1，

所以m≤1，所以0＜m≤1，

综上所述，实数m的取值范围为.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|－2＜x＋1＜2}，

求：(1)A∩B；

(2)(∁UA)∩(∁UB)．

[解]　B＝{x|－3＜x＜1}．

(1)因为A＝{x|0＜x≤2}，

A∩B＝{x|0＜x＜1}．

(2)∁UA＝{x|x≤0或x＞2}，

∁UB＝{x|x≤－3或x≥1}，

所以(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤－3或x＞2}．

18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：

(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；

(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.

[解]　(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，

因此，¬p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，

即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．

(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；

又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，

因此，¬p：对任意一个x，都有x2＋2x＋5≤0，

即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．

19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)p：∀m∈R，＜0；

(2)q：圆上任意一点到圆心的距离是r；

(3)r：∃x，y∈Z,2x＋4y＝；

(4)s：存在一个无理数，它的立方是有理数．

[解]　(1)¬p：∃m∈R，≥0.

－m2－1＜0，所以＜0，p是真命题，所以¬p是假命题．

(2)¬q：圆上存在一点到圆心的距离不是r；

因为q是真命题，所以¬q是假命题．

(3)¬r：∀x，y∈Z,2x＋4y≠；

若x，y∈Z，则2x＋4y也是整数，不可能等于，

所以r是假命题，所以¬r是真命题．

(4)¬s：任意一个无理数，它的立方都不是有理数．

是无理数，()3＝2是有理数，所以s是真命题，¬s是假命题．

20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{2＜x＜10}，C＝{x|5－a＜x＜a}．

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；

(2)若C⊆(A∪B)，求a的取值范围．

[解]　(1)因为集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{2＜x＜10}，在数轴上表示可得：

故A∪B＝{x|2＜x＜10}，∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，

(∁RA)∩B＝{2＜x＜3或7≤x＜10}．

(2)依题意可知，

①当C＝∅时，有5－a≥a，得a≤；

②当C≠∅时，有

解得＜a≤3.

综上所述，所求实数a的取值范围为(－∞，3]．

21．(本小题满分12分)已知p：∀x∈R，m＜x2－1，q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若p，q都是真命题，求实数m的取值范围．

[解]　由x∈R得x2－1≥－1，

若p：∀x∈R，m＜x2－1为真命题，

则m＜－1．

若q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，

所以4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.

因为p，q都是真命题，

所以所以－2≤m＜－1．

所以实数m的取值范围为[－2，－1)．

22．(本小题满分12分)已知p：x－2＞0，q：ax－4＞0，其中a∈R且a≠0.

(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

[解]　(1)设p：A＝{x|x－2＞0}，即p：A＝{x|x＞2}，

q：B＝{x|ax－4＞0，a∈R且a≠0}，

因为p是q的充分不必要条件，则AB，

则有解得a＞2.

所以实数a的取值范围为a＞2.

(2)由(1)及题意得BA，

①当a＞0时，由BA得＞2，即0＜a＜2；

②当a＜0时，显然不满足题意．

综上可得，实数a的取值范围为0＜a＜2.