高中数学第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用同步练习题

九　均值不等式及其应用

（25分钟  50分）

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是(　　)

A．3    B．4    C．4    D．2

【解析】选A.由基本不等式得2x＋＋y＋≥

2＋2＝2＋＝3，

当且仅当x＝，y＝时等号成立，因此，2x＋＋y＋的最小值为3.

2．设实数a，b满足b>0，且a＋b＝2.则＋的最小值是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.由题意可知a≠0.当a>0时，

＋＝＋＝＋＋≥＋

2＝，

当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时取等号，

当a<0时，＋＝－－＝－＋＋≥－＋2＝，

当且仅当＝且a＋b＝2时取等号，综上可得＋的最小值为.

3．(2021·湖州高一检测)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)

A．4    B．6    C．9    D．16

【解析】选A.方法一：由＋＝1，可得a＝，所以＋＝b－1＋.

由a，b为正数且＋＝1，可得a>1，b>1，所以＋＝b－1＋≥2＝4，

当且仅当b－1＝，即b＝3，a＝时等号成立．

方法二：由＋＝1，可得＝，＝，所以＋＝＋≥2＝4，

当且仅当＝，即a＝，b＝3时等号成立．

4．(多选题)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋1>a

B．≥4

C．≥4

D．a2＋9>6a

【解析】选ABC.对于选项A，由于a2＋1－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，故A恒成立；

对于选项B，由于a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B恒成立；对于选项C，由于a＋b≥2，＋≥2，

所以≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C恒成立；对于选项D，当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立．

即不等式恒成立的是ABC.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·南昌高一检测)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为________．

【解析】因为a＋b－1＝1，

所以＋＝[a＋(b－1)]＝5＋＋，因为b>1，故b－1>0，又a>0，

由基本不等式得5＋＋≥9，

当且仅当a＝，b＝时等号成立，

故＋的最小值为9.

答案：9

6．若正实数a，b满足ab＝2a＋3b，则ab的最小值为________；a＋b的最小值为________．

【解析】因为正实数a，b满足ab＝2a＋3b，

所以＋＝1，

由基本不等式得1＝＋≥2＝，可得ab≥24，当且仅当2a＝3b时，等号成立，即ab的最小值为24.由基本不等式得a＋b＝＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，

当且仅当2a2＝3b2时，等号成立，即a＋b的最小值为5＋2.

答案：24　5＋2

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．(1)若x<3，求y＝2x＋1＋的最大值；

(2)已知x>0，求y＝的最大值．

【解析】(1)因为x<3，所以3－x>0，

所以y＝2x＋1＋＝2＋＋7

＝－＋7，

由均值不等式可得2＋≥2，当且仅当2＝，即x＝3－时，等号成立，

所以－≤－2，所以y＝2x＋1＋＝－＋7≤7－2，

故y＝2x＋1＋的最大值是7－2.

(2)由y＝得y＝＝，

因为x>0，所以x＋≥2＝2，

当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，所以0<≤1，即0<y≤1，所以y＝的最大值为1.

8．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好地服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3万元．

(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．

【解析】(1)动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则×≥200×3，解得0<x≤175.

(2)由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，

则3·x≤×

(0<x≤175)，

化简得a≤0.02x＋＋7(a>0).

由于0.02x＋＋7≥2＋7＝11，当且仅当0.02x＝x＝100时等号成立，所以0<a≤11，所以a的最大值为11.