高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定习题

四　命题与量词

全称量词命题与存在量词命题的否定

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(2021·南京高一检测)命题“x<0，x2＋x＋1<0”的否定为(　　)

A．x<0，x2＋x＋1≥0

B．x<0，x2＋x＋1≤0

C．x<0，x2＋x＋1≥0

D．x<0，x2＋x＋1<0

【解析】选C.由于存在量词命题“x∈M，

p”的否定为“x∈M，p”，

故“x<0，x2＋x＋1<0”命题的否定为“x<0，x2＋x＋1≥0”．

2．设命题p：x∈R，x2＋＋1>0，则命题p的否定为(　　)

A．x∈R，x2＋＋1>0

B．x∈R，x2＋＋1≤0

C．x∈R，x2＋＋1≤0

D．x∈R，x2＋＋1<0

【解析】选B.因为命题p：x∈R，x2＋＋1>0为全称量词命题，所以该命题的否定为x∈R，x2＋＋1≤0.

3．(2021·盐城高一检测)已知命题“存在x∈，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

【解析】选A.由已知得“存在x∈，使得等式2x－m＝0成立”，等价于“任意的x∈，使得等式2x－m≠0成立”，又因为0<x<3，所以0<2x<6，要使2x≠m，则需m≤0或m≥6.

4．(多选题)下列四个命题中，其否定是假命题的有(　　)

A．有理数是实数

B．有些四边形不是菱形

C．x∈R，x2－2x>0

D．x∈R，2x＋1为奇数

【解析】选ABD.由题意，有理数是实数的否定是：有些有理数不是实数，是假命题．

有些四边形不是菱形的否定是：所有的四边形都是菱形，是假命题．

x∈R，x2－2x>0的否定是：x∈R，x2－2x≤0，是真命题．

x∈R，2x＋1为奇数的否定是：x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·广州高一检测)已知命题p：x∈R，x2＋2x＋5＝0的否定p：________，命题p为________(填“真或假”)命题．

【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：x∈R，x2＋2x＋5＝0的否定p：x∈R，x2＋2x＋5≠0.因为x2＋2x＋5＝2＋4≥4≠0，所以p是真命题．

答案：x∈R，x2＋2x＋5≠0　真

6．若命题“x∈都有x2－2x－m≠0”是假命题，则实数m的取值范围是________．

【解析】命题“x∈，都有x2－2x－m≠0 ”是假命题，则命题“x∈[0，3]，使得x2－2x－m＝0 ”成立是真命题，故m＝x2－2x＝(x－1)2－1.由于x∈[0，3]，所以m∈[－1，3].

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．

(1) x∈N，2x＋1是奇数；

(2)存在一个x∈R，使＝0；

(3)对任意实数a，|a|＞0；

(4)有一个角α，使sin α＝.

【解析】(1)是全称量词命题．因为x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．

(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．

8．(2021·扬州高一检测)已知集合A＝，B＝，

(1)若命题p：x∈B，都有x∈A是真命题，求m的取值范围；

(2)命题q：x∈A，使x∈B是真命题，求m的取值范围．

【解析】(1)因为命题p：x∈B，都有x∈A是真命题，所以BA，当B＝时，m＋1>2m－1，解得m<2；

当B≠时，解得2≤m≤3.综上，m的取值范围为.

(2)因为q：x∈A，使x∈B是真命题，所以A∩B≠，所以B≠，即m≥2，所以m＋1≥3，

所以A∩B≠只需满足m＋1≤5即可，即m≤4. 故m的取值范围为.