初中数学苏科版七年级上册2.7 有理数的乘方练习

苏科版数学新七年级暑假预习培优训练

2.7有理数的乘方

一、选择题

1．下列代数式的值中，一定是正数的是

A.  B.  C.  D.

2．若，那么的值是

A. 1 B.  C. 2016 D. 1或

3．下列说法中正确的有

若互为相反数，且，则。

倒数等于本身的数有0，。

若，则。

若，则。

比a大。

与相等。

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

4．观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是     

A. 2 B. 4 C. 8 D. 6

5．下列运算结果错误的个数是

，，，，．

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

6．设，，，则a、b、c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

二、填空题

7．下列说法中，正确的是______填序号

一个有理数的绝对值一定是正数；

正数和负数统称为有理数；

若是一个负数，则x一定是负数；

若，则的值是．

8．有如下四对数：与；与；与；与其中数值相等的有________填序号．

9．下列各式中：；；；；；，其结果为正数的有：_______________填序号．

10．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数______．

11．观察下列等式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定个位上的数是________．

12．观察下列各式的个位数字：，，，，，

则___

通过观察发现规律，确定的个位数字是____

三、计算题

13．计算：     

14．你能比较与的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小为正整数，然后我们从分析，，这些简单情形入手，发现规律，经过归纳猜想得出结论．

比较下列各组数中两个数的大小，在空格中填写“”，“”，“”

______________________________

从第题结果通过归纳猜想和的大小关系；

根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较与的大小．

四、解答题

15．已知四个数：，，，．

化简a，b，c，d得______，______，______，______；

把这四个数在数轴上分别表示出来：

用“”把a，b，c，d连接起来是______．

16．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，P是数轴上的一个动点．

在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．

已知线段OB上有点C且，当数轴上有点P满足时，求P点对应的数．

动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．

17．概念学习

规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作2，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．

初步探究

直接写出结果：          ，           

关于除方，下列说法错误的是   

A.任何非零有理数的2次商都等于1

B.对于任何正整数n，都有

C.除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商仍互为相反数

D.负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

深入思考

除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢

试一试，将下列运算结果直接写成乘方的形式．

想一想，将一个非零有理数a的n次商写成乘方的形式等于          

算一算：．

18．先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为．

问题：计算以下各对数的值

．

 通过观察，思考：之间满足怎样的关系式？ 

由的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

利用的结论计算            ．

苏科版数学新七年级暑假预习培优训练教师卷

2.7有理数的乘方

一、选择题

1．下列代数式的值中，一定是正数的是

A.  B.  C.  D. D

解析：D

解：，是非负数；

，不一定是正数；

，是非负数；

，是正数，

故选：D．

根据绝对值、偶次方的非负性解答即可．

本题考查的是非负数的判断，掌握绝对值、偶次方的非负性是解题的关键．

2．若，那么的值是

A. 1 B.  C. 2016 D. 1或B

解析：B

解：由题意得，，，

解得，，，

则，

故选B．

根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，计算即可．

本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．

3．下列说法中正确的有

若互为相反数，且，则。

倒数等于本身的数有0，。

若，则。

若，则。

比a大。

与相等。

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个B

解析：B

【试题解析】

【分析】

本题考查了相反数的定义、倒数的概念、绝对值的概念、绝对值的非负性质、偶次方的非负性质根据上述概念及性质逐项分析即可．

【解答】

解：的相反数是0，除0外，只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项正确；

没有倒数，此选项错误；

，

或，

或，

此选项错误；

由题意得，，

，

此选项正确；

，此选项正确；

，，此选项错误．

故选B．

4．观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是     

A. 2 B. 4 C. 8 D. 6D

解析：D

【试题解析】

【分析】

本题考查了尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，利用规律解决问题，因为，，，，，，，，观察发现：的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据，，得出的个位数字与的个位数字相同是2，的个位数字与的个位数字相同是4，进一步求解即可．

【解答】

解：，，，，，，，，．

，

，

的个位数字与的个位数字相同是2，

的个位数字与的个位数字相同是4，

．

故的末位数字是6．

故选：D．

5．下列运算结果错误的个数是

，，，，．

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个C

解析：C

解：，故正确；

，故错误；

，故错误；

，故错误；

，故错误；

故选C．

根据题目中的式子可以计算出正确的结果，从而可以判断是否正确，从而可以解答本题．

本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确有理数乘方的计算方法．

6．设，，，则a、b、c的大小关系是

A.  B.  C.  D. B

解析：B

【试题解析】

【分析】

本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．也考查了乘方的意义．先根据乘方的意义计算出，，，然后根据正数大于一切负数，负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较．

【解答】

解：，，，

，

，

故选B．

二、填空题

7．下列说法中，正确的是______填序号

一个有理数的绝对值一定是正数；

正数和负数统称为有理数；

若是一个负数，则x一定是负数；

若，则的值是．

解析：

解：一个有理数的绝对值是非负数，不正确；

整数与分数统称为有理数，不正确；

若是一个负数，则x一定是负数，正确；

若，即，，则的值是，正确，

故答案为：

利用有理数，非负数的性质判断即可．

此题考查了有理数，以及非负数的性质：绝对值与偶次方，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

8．有如下四对数：与；与；与；与其中数值相等的有________填序号．

解析：

【分析】

本题考查了有理数的乘方的性质，理解，是整数是关键根据有理数的乘方的性质即可判断．

【解答】

解：，，故中数值不等；

，，故中数值相等；

，，故中数值相等；

，，故中数值不等．

故数值相等的有，

故答案为．

9．下列各式中：；；；；；，其结果为正数的有：_______________填序号．

解析：

略

10．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数______．13

解析：13

解：二进制中的，等于十进制的5，，等于十进制的23，

二进制中的，

二进制中的1101等于十进制中的数是13．

故答案为：13．

根据二进制中的等于十进制的5，等于十进制的23可得出二进制与十进制之间的关系，再把二进制中的1101写成已知中的形式，计算出得数即可得出十进制中的数．

本题考查的是有理数的乘方，解答此题的关键是根据已知的数值找出十进制与二进制之间的换算关系，再进行换算．

11．观察下列等式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定个位上的数是________．6

解析：6

【试题解析】

【分析】

本题考查了有理数的乘方，数式规律问题，在有理数的乘方的基础上寻找2的乘方的规律问题，根据判断规律为从第1数的个位开始，每4个2的乘方的个位分别是2、4、8、因为2020是4的倍数，即可求得答案．

【解答】

解：因为，，，，，，，，

前8位2的乘方的个位数分别2、4、8、6、2、4、8、6，

因而判断规律为从第1数的个位开始，每4个2的乘方的个位分别是2、4、8、因为2020是4的倍数，那么第2020个数的个位应该是6，

故答案为6．

12．观察下列各式的个位数字：，，，，，

则___

通过观察发现规律，确定的个位数字是____；

解析：；

【分析】本题考查的是有理数的乘方有关知识．

根据规律直接进行计算即可；

根据题目观察可知是以2，4，8，6为一循环，然后再进行计算即可．

【解答】

解：；

以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， 

，

 的个位数字是4．

故答案为；．

三、计算题

13．计算：  

解析：解：

．

．

．

．

本题考查了有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘法，有理数的除法，绝对值和有理数的乘方．

利用有理数的加法和减法计算得结论

利用有理数的乘法和除法计算得结论

利用有理数的加法，减法和除法计算得结论

利用绝对值，有理数的乘方和加减法计算得结论．

14．你能比较与的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小为正整数，然后我们从分析，，这些简单情形入手，发现规律，经过归纳猜想得出结论．

比较下列各组数中两个数的大小，在空格中填写“”，“”，“”

______________________________

从第题结果通过归纳猜想和的大小关系；

根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较与的大小．

解析：，    ，，  ，    ；

当时，，

当时，；

由知，当时，，

当时，；

，

．

【分析】

本题考查了有理数的乘方，有理数的大小比较，理解有理数的乘方的意义准确计算是解题的关键．

根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解；

根据的计算结果分情况解答；

根据的结论解答即可．

【解答】

解：；

；

；

；

；

故答案为：；；；；；

见答案；

见答案．

四、解答题

15．已知四个数：，，，．

化简a，b，c，d得______，______，______，______；

把这四个数在数轴上分别表示出来：

用“”把a，b，c，d连接起来是______．

解析：解：；  3；   1；   ；

把这四个数在数轴上分别表示出来如图所示：

【分析】

此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的乘方，绝对值，相反数的定义，以及在数轴上表示数的方法，关键是掌握数轴上右边的数总比左边的数大．

根据有理数的乘方的运算方法，相反数的求法，以及绝对值的含义和求法，化简a，b，c，d即可．

根据化简的结果，把这四个数在数轴上分别表示出来即可．

数轴上右边的数总比左边的数大，用“”把a，b，c，d连接起来即可．

【解答】

解：，，，

故答案为：；  3；   1；    

见答案；

用“”把a，b，c，d连接起来是：．

故答案为．

16．已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，P是数轴上的一个动点．

在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．

已知线段OB上有点C且，当数轴上有点P满足时，求P点对应的数．

动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．

解析：解：，

，，

，，

，

数轴上标出AB得：

且C在线段OB上，

，

，

，

当P在点B左侧时，此种情况不成立；

当P在线段BC上时，

，

，

解得：；

当P在点C右侧时，

，

，

，

综上所述P点对应的数为或2．

第一次点P表示，第二次点P表示2，依次，4，，

则第n次为，

点A表示20，则第20次P与A重合；

点B表示，点P与点B不重合．

本题考查的是数轴，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．

先根据非负数的性质求出a，b的值，在数轴上表示出A、B的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可；

设P点对应的数为x，当P点满足时，分三种情况讨论，根据求出x的值即可；

根据第一次点P表示，第二次点P表示2，点P表示的数依次为，4，，，找出规律即可得出结论．

17．概念学习

规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作2，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．

初步探究

直接写出结果：          ，           

关于除方，下列说法错误的是   

A.任何非零有理数的2次商都等于1

B.对于任何正整数n，都有

C.除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商仍互为相反数

D.负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数

深入思考

除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢

试一试，将下列运算结果直接写成乘方的形式．

想一想，将一个非零有理数a的n次商写成乘方的形式等于          

算一算：．

解析：解：．

．

当时，．

．

略

18．先阅读下列材料，再解答后面的问题

材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为一般地，若，则n叫做以a为底b的对数，记为，则4叫做以3为底81的对数，记为．

问题：计算以下各对数的值

．

 通过观察，思考：之间满足怎样的关系式？ 

由的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

利用的结论计算            ．

解析：，4，6；

解：，，，

且，

．

；

【分析】

本题考查的是新定义，有理数的乘方有关知识．

根据新定义：对数的定义求解；

认真观察，不难找到规律：，；

由特殊到一般，得出结论：；

利用的结论进行计算即可．

【解答】

解：，，，

，，，

故答案为2，4，6；

见答案；

由可归纳得到．

故答案为．

，

，

原式．

故答案为3．