人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试同步达标检测题，共8页。
最值问题考向一  斜率型最值1、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．答案：的最大值为，最小值为－.解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.2、已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆上任意一点，则的最大值为________．答案：解析：设＝k，即kx－y－k＋2＝0，圆心C(－2,0)，r＝1.当直线与圆相切时，k有最值，∴＝1，解得k＝.∴的最大值为.3.已知圆C：，求 的最大值与最小值. 解析:令，则表示圆上一点与的斜率由题意可知，当直线与圆相切时取最值 ，  考向二  截距型最值1、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．答案：y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.解析：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.备注：形如μ＝ax＋by型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b＝y－x，即y＝x＋b，从而将y－x的最值转化为求直线y＝x＋b的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x－2)2＋y2＝3，故可令即从而y－x＝sin θ－cos θ－2＝sin－2，进而求出y－x的最大值和最小值．2.已知圆C：，求 的最大值与最小值.解析:令即当直线与圆相切时取最值圆心到直线的距离 3、已知P(x，y)为圆(x－2)2＋y2＝1上的动点，则|3x＋4y－3|的最大值为________．答案：8解析：设t＝3x＋4y－3，即3x＋4y－3－t＝0.由圆心(2,0)到直线3x＋4y－3－t＝0的距离d＝≤1，解得－2≤t≤8.所以|3x＋4y－3|max＝8.  考向三  距离型最值 1、已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么的最小值为________．答案：8解析：由题意得＝表示点P(x，y)到原点的距离，所以的最小值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25上一点到原点距离的最小值．又圆心(－5,12)到原点的距离为＝13，所以的最小值为13－5＝8.2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．答案：x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.备注：形如μ＝(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值．如本题中x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方． 3.已知圆C：，若 求 的最大值与最小值.解析:        考向四  利用对称求最值 1、已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.答案:2.解析:因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故解得故A′(－4，－2).连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2. 2、设点，，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是　　．答案：解析：由于圆的对称性，可以只考虑的情况.点在直线上移动，当点在直线与直线之间的圆弧上时，，此时，由对称性可知.当点在余下的半圆弧上时，情况如下图所示：为圆的切线，为临界情况，,此时由于由于圆的对称性，所以.考向5  其他最值问题1、圆的点到直线距离的最小值是A． B．2 C． D．【答案】C【解析】由圆可得圆心坐标，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选C．2、若过直线上一点向圆作一条切线于切点，则的最小值为A． B．4 C． D．【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为2．要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为．的最小值为．故选D．3、直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则到的距离的最小值等于A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意，直线是圆在处的切线，则直线的方程为，变形可得，圆，即，其圆心为，半径，点是圆上的动点，则圆心到直线的距离，则到的距离的最小值；故选B．4、已知圆和直线，点是圆上的动点．（1）求圆的圆心坐标及半径；（2）求点到直线的距离的最小值．【答案】（1）圆的圆心坐标为，半径为3；（2）1.【解析】（1）由圆，得，圆的圆心坐标为，半径为3；（2）圆心到直线的距离为．点到直线的距离的最小值为．