高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试练习题

直线与圆锥曲线之定值问题

考向一  面积是定值

1、已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.

【思路引导】

（1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出.

（2）当直线斜率不存在时，易得的面积，当直线斜率存在时，设为，与椭圆相切，得到和的关系，再由直线和椭圆联立方程组，得到、，

利用弦长公式表示出，再得到和的关系，由到的距离，得到到的距离，从而计算出的面积.得到结论为定值.

【详解】

（1）解：因为的离心率为，

所以，

解得.①

将点代入，整理得.②

联立①②，得，，

故椭圆的标准方程为.

（2）证明：①当直线的斜率不存在时，

点为或，由对称性不妨取，

由（1）知椭圆的方程为，所以有.

将代入椭圆的方程得，

所以 .

②当直线的斜率存在时，设其方程为，

将代入椭圆的方程

得，

由题意得，

整理得.

将代入椭圆的方程，

得.

设，，

则，，

所以 .

设，，，则可得，.

因为，所以，

解得（舍去），

所以，从而.

又因为点到直线的距离为，

所以点到直线的距离为，

所以 ，

综上，的面积为定值.

2、已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；

(2)证明：为定值．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由解得或（舍去），

∴，又，

，

又，

，，

椭圆E的方程为；

（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，

设，

由得，

∴，

=

，

∴，

=，

直线BP的方程为，令解得，则，

同理可得，

=

==，

为定值．

考向二  角度是定值

1、已知椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，点为椭圆的左顶点，直线分别交直线于点，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）抛物线的焦点为，

，∴，

∴，∴，

又，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴椭圆的方程是：；

（2）设

当直线与轴垂直时，易得：或，

又，∴，或者，

∴，∴

当直线与不垂直时，设直线的方程为：，

联方程组，消去整理得：，

所以：，

又共线，

∴，得，同理：，

∴，

∴

又因为

∴，则

综上，为定值.

2、已知椭圆的一个焦点为，离心率为．为椭圆的左顶点，，为椭圆上异于的两个动点，直线，与直线分别交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若与的面积之比为，求的坐标；

（3）设直线与轴交于点，若，，三点共线，求证：．

【解析】（1）解：由题意得，又，解得，．

，．

椭圆的方程为；

（2）解：与的面积之比为，

，则．

设，，，，则，

解得．

将其代入，解得．

的坐标为或；

（3）证明：设，，，，

若，则为椭圆的右顶点，由，，三点共线知，为椭圆的左顶点，不符合题意．

．同理．

直线的方程为．

由消去，整理得．

△成立．

由，解得．

．

得．

当时，，，即直线轴．

由椭圆的对称性可得．

又，

．

当时，，

直线的斜率．

同理．

，，三点共线，，得．

在和中，，，

．

，均为锐角，

．

综上，若，，三点共线，则．

考向三   长度为定值

1、给定椭圆C:(),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率,点在C上.

(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线,使得,与椭圆C都只有一个交点,且,分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长为定值.

【答案】(1),;(2)证明见解析.

【解析】

 (1)由条件可得:

解得，

所以椭圆的方程为，

卫星圆的方程为

(2)①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，

当方程为时，此时与“卫星圆”交于点和，

此时经过点且与椭圆只有一个公共点的直线是

或，即为或，

∴

∴线段应为“卫星圆”的直径，

∴

②当，都有斜率时，设点，其中，

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

则，

消去y得到，

∴

∴

所以，满足条件的两直线，垂直．

∴线段应为“卫星圆”的直径，∴

综合①②知：因为，经过点，又分别交“卫星圆”于点，且，垂直，所以线段是“卫星圆”的直径，∴为定值．

2、给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.

①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

②求证：线段的长为定值.

【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.

【解析】

（1），

椭圆方程为，

准圆方程为．

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得.

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，

所以方程为．

，．

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直

②当斜率存在时，设点，其中.

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得.

由化简整理得，

因为，所以有.

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直．

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值．

考向四   斜率为定值

1、圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．

【思路引导】

（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标

代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利

用韦达定理以及斜率公式得为常数.

【详解】

（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），

由 ．得

代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.

（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；

当SN的斜率存在时，设斜率为k，

则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2

设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，

则kAS•kAN＝ ＝，

故kAS•kAN为常数.

2、已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知与坐标轴不垂直的直线与交于，两点，线段中点为，问（为坐标原点）是否为定值？请说明理由．

【思路引导】

（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得，由求得，则椭圆方程可求；

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求得的坐标，再由斜率公式求得的斜率，可得为定值．

【详解】

解：（1）抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，

又椭圆的离心率，∴，则．

∴椭圆的方程为

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，

联立得．

即只需．

设，，

则，

∴，