2021学年第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时练习

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点差法解决中点弦问题考向一  利用点差法求中点弦所在直线方程1、已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为          .【答案】【解析】设，，，，则，由，在椭圆上可得，,两式相减可得，直线的方程为即 2、已知双曲线，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.【答案】【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又22，①22，②①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k，所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝（x﹣2），即．故答案为：．  3、椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】.【解析】由P的坐标，可得，可得P在椭圆内，设，，则，，由中点坐标公式可得，，由可得，，将代入，可得，则所求直线的方程为，即为．4、已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程. 【答案】3x＋4y－5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.解法二：　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴两式相减，得＝y－y，∴＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.5、已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.【答案】3x－y－11＝0        【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝ ·＝.考向二  利用点差法求曲线方程1、已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（    ）A．    B．    C．     D． 答案：D解析：设，则 ① ②① - ②，得即又∵∴，即又，即有，得故椭圆的方程为2、平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为，求的方程答案：解析：设，则，，，由此可得.因为，所以又由题意知，的右焦点为，故.因此所以的方程为.3、椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点、在椭圆上，且，求椭圆的方程及直线的斜率。答案: ，解析：由，及点在椭圆上，可得，椭圆方程为设，由得=，即，，又，相减得 4、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是       。【答案】【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；考向三  利用点差法解决曲线的几何性质问题1、已知斜率为的直线交椭圆于两点，若点是的中点，则的离心率等于(  )A.          B.            C.            D.答案：D 解析：，，由，得∴.∴.2、直线与椭圆相交于两点，且恰好为中点，则椭圆的离心率为_______；答案：解析：设，则，，，由此可得.所以所以的方程为.3、椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）A.            B.            C.             D. 答案：A解析：设中点 则，，由此可得因为，所以，∴.4、椭圆与直线交于两点，若原点与线段的中点连线的斜率为，则的值是________．答案：解析：设，则相减化简得 设，则，因为，即.