人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题14 代数和函数综合问题（含解析）

专题14 代数和函数综合问题

中考压轴题中代数和函数综合问题，主要有方程和不等式的图象解问题，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题，方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题。

一. 方程和不等式的图象解问题

1.函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是【    】

A．x=1　　 B．x=2 　　C．x=3 　　D．x=4

【答案】A。

【考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系，数形结合思想的应用。

2. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的函数关系式；

(2)求△的面积；

(3)则方程的解是                ；（请直接写出答案）

(4)则不等式的解集是                .（请直接写出答案）

【答案】（1）-----------1分，    y=-----------1分

（2）------2分

（3）-4或2------2分(缺一全扣)

（4）------2分(缺一全扣)

二. 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系在二次函数问题中的应用问题

3. 若关于x的一元二次方程有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：

①x1=1，x2=2； ②；

③二次函数y=的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（2，0）。

其中，正确结论的个数是【    】

A．0　　 B．1 　　C．2 　　D．3

【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式。

③∵，

故选C。

4. 已知，则反比例函数且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【    】

A.         B.           C.           D.

【答案】A。

【考点】偶次幂的非负数性质，解一元二次方程，反比例函数的性质。

5. 已知二次函数图象的顶点横坐标是4，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，。

（1）求证： ；

（2）求a、b的值；

（3）若二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最值。

【答案】（1）∵图象的顶点横坐标是4，

∴抛物线的对称轴为x=4，即，化简得：。

（2）∵二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，

∴OA=－x1，OB=x2；。

令x=0，得y=c，∴C（0，c），∴OC=|c|。

由三角函数定义得：。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=2，即 ，化简得：。

将 代入得：，化简得：。

由（1）知，

∴当时，；当时，。

∴a、b的值为： ，或 ，。

（3）①由（2）知，当 ，时，抛物线解析式为：。

联立抛物线与直线解析式得到：，

化简得：。

∵二次函数图象与直线仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，即，解得=19。

∴抛物线解析式为：。

当x=4时，二次函数有最小值，最小值为15。

②由（2）知，当 ，时，抛物线解析式为：。

联立抛物线与直线解析式得到：，

化简得：。

∵二次函数图象与直线仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，即，解得=3。

∴抛物线解析式为：。

当x=4时，二次函数有最大值，最大值为7。

综上所述，若 ，，=19，二次函数图象与直线仅有一个交点时，二次函数的最小值为15；若 ，，=3，二次函数图象与直线仅有一个交点时，二次函数的最大值为7。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质，分类思想的应用。

6.已知：y关于x的函数的图象与x轴有交点。

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足．

①求k的值；②当时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值。

【答案】（1）当k=0时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。

当k≠0时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得．

，解得。

综上所述，k的取值范围是k≤1。

（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜1且k≠0。

由题意得，即（*），

将（*）代入中得：。

又∵x1+x2=，x1x2=，∴，

解得：k1=﹣2，k2=1（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣2。

②如图，∵k=﹣2，，且﹣1≤x≤1，

由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。

∴y的最大值为，最小值为﹣3。

【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值，分类思想和数形结合思想的应用。

三. 方程（组）、不等式（组）和函数的综合应用问题

7. 某商家经销一种商品，用于装修门面已投资3000元。已知该商品每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现项，当销售单价为70元/ kg时，销售量为100 kg，销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，销售单价每提高5元/ kg，销售量减少10 kg。

     设该商品的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。

    （1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？

【答案】（1）w=－2x＋240。

（2）y与x的关系式为：

∵，

∴当x=85时，y的值最大为2450元。

（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，

∴第1个月还有3000－2450=550元的投资成本没有收回。

则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，

可得方程，解得x1=75，x2=95。

根据题意，x2=95不合题意应舍去。

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第

二个月的利润达到1700元。

【考点】一、二次函数和一元二次方程的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

8. 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是80千米.请你根据图象回答或解决下面的问题：

（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？

（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.

【答案】（1）自行车出发早3个小时，摩托车到达乙地早3个小时 

（2）10千米/时，40千米/时

（3）自行车：y=10x，摩托车：y=40x－120

（4）在3＜x＜5时间段内两车均都行驶在途中，自行车在摩托车前面：10x＞40x－120，相遇：10x=40x－120，自行车在摩托车后：10x＜40x－120

【解析】

（3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为y=kx．

x=8时，y=80

因此k=10

∴表示自行车行驶过程的函数式是y=10x．

设表示摩托车行驶过程的函数解析式是y=ax+b

由题意可知：，解得

∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为y=40x-120．

考点：本题考查的是一次函数的应用

点评：本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．