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2021年安徽金安区新塘职业中学九年级上期末数学试卷
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这是一份2021年安徽金安区新塘职业中学九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系中，把抛物线 y=−x2 沿着 x 轴向右平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是
A. y=−x+22B. y=−x−22
C. y=−x2+2D. y=−x2−2
2. 若 Aa1,b1，Ba2,b2 是反比例函数 y=−2x 图象上的两个点，且 a1A. b1>b2B. b1=b2C. b1
3. 如图，在同一平面内直线 l∥m∥n，直线 AB 与直线 l，m，n 分别交于 A，B，C 三点，AB=BC，D 为直线 m 上一点，∠ABD=40∘，∠BAD=70∘，若直线 n 上有一点 E，BE=AD，则 ∠CEB 的度数为
A. 40∘ 或 70∘B. 70∘C. 110∘D. 70∘ 或 110∘
4. 已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP>NP，且 MP=5−1cm，则 NP 等于
A. 2 cmB. 3−5cmC. 5−1cmD. 5+1cm
5. 若关于 x 的二次函数 y=mx2+4m−1x+4m 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是
A. m<18B. m<18 且 m≠0
C. m=18D. m≤18 且 m≠0
6. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列说法：
① 2a+b=0，
② 9a+3b+c=0，
③当 −1≤x≤3 时，y<0，
④若 x1,y1，x2,y2 在函数图象上，当 x1其中正确的是
A. ①②④B. ①②③C. ①②D. ②③④
7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=4，AC 是弦，AC=23，∠ACO 的度数是
A. 15∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘
8. 如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象大致为
A. B.
C. D.
9. 对于函数 y=32x2−2，下列结论正确的是
A. 无论 x 取何实数，y 的值总是正的
B. x 的值增大，y 的值也随着增大
C. x 的值增大，y 的值随着减小
D. 图象关于 y 轴对称
10. 已知 13×4.5=35×2.5，下面哪个比例式不成立
A. 13:35=4.5:2.5B. 13:35=2.5:4.5
C. 4.5:35=2.5:13D. 2.5:13=4.5:35
二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 如图，某人沿着一个坡度为 1:2 的斜坡 AB 向前行走了 5 米，那么他实际上升的垂直高度是 米．
13. 如图，点 P 在反比例函数图象上，PA 垂直 y 轴于点 A，点 B 为 x 轴上任意一点，且 △PAB 的面积为 2，则这个反比例函数的解析式为 ．
14. 如图，在 △ABC 中，D 为直线 BC 上任意一点，给出以下判断：
①若点 D 到 AB，AC 距离相等，且 BD=DC，则 AB=AC；
②若 AD⊥BC 且 AD2=BD⋅DC，则 ∠BAC=90∘；
③若 AB=AC，则 AD2+BD⋅DC=AC2；
④若 ∠BAC=90∘，且 AD⊥BC，则 AD2=BD⋅DC．
其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）．
三、解答题（共8小题；共104分）
15. 求值：cs245∘+3tan30∘tan60∘−2sin30∘．
16. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为 1 的正方形），图中 △ABC 是格点三角形，点 A，B，C 的坐标分别是 −4,−1，−2,−3，−1,−2．
（1）以 O 为旋转中心，把 △ABC 绕 O 点顺时针旋转 90∘ 后得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1．
（2）以 O 为位似中心，在第一象限内把 △ABC 放大 2 倍后得到 △A2B2C2，画出 △A2B2C2；
（3）△ABC 内有一点 Pa,b，写出经过（1）旋转变换后 P 的对应点 P1 的坐标．
17. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=6 m，弓形的高 EF=2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出 AB 所在 ⊙O 的半径．
18. 如图，小明在大楼的东侧 A 处发现正前方仰角为 75∘ 的方向上有一热气球在 C 处，此时，小亮在大楼的西侧 B 处也测得气球在其正前方仰角为 30∘ 的位置上，已知 AB 的距离为 60 米，试求此时小明、小亮两人与气球的距离 AC 和 BC．（结果保留根号）
19. 已知：反比例函数 y=kx 的图象经过 −3,−2
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）在平面坐标系 xOy 中，一次函数 y=x−1 的图象与该反比例函数的图象交于 A，B，求 △AOB 的面积．
20. 如图，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，它的对称轴与 x 轴交于点 N，过顶点 M 作 ME⊥y轴 于点 E，连接 BE 交 MN 于点 F，已知点 A 的坐标为 −1,0，B 的坐标为 3,0．
（1）求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标；
（2）直接写出 △EMF 与 △BNF 的面积之比以及点 F 的坐标．
21. 如图，直线 PO 交 ⊙O 于 A，B 两点，直径 AB=10，弦 AC∥PM．点 M 是 AC 的中点．
（1）求证：直线 PM 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=4，求 PO 的长．
22. 某工厂接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人王浩第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足如下关系：y=54x,0≤x≤530x+120,5（1）王浩第几天生产的粽子数量为 360 只?
（2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若王浩第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元?（利润 = 出厂价 − 成本）
答案
第一部分
1. B【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y=−x2 向右平移 2 个单位，所得函数解析式为：y=−x−22．
2. C【解析】∵k<0，
∴ 图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵a1 ∴b13. D【解析】∵∠ABD=40∘，∠BAD=70∘，
∴∠ADB=70∘．
∴AB=BD．
∵m∥n，
∴∠BCE=∠ABD=40∘，
过点 A 作 AG⊥m 于点 G，作 BH⊥n 于点 H，如图所示，
∴∠AGD=∠BHE=90∘，
∵AB=BC，
∴AG=BH．
在 Rt△ADG 和 Rt△BEH 中，
AD=BE,AG=BH,
∴Rt△ADG≌Rt△BEH，
∴∠BEH=∠ADG=70∘．
同理，当点 E 在 Eʹ 的位置时，∠BEʹC=180∘−70∘=110∘．
4. B【解析】∵ 点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP>NP，
∴MP=5−12MN，
∴MN=2，
∴NP=MN−MP=3−5cm．
5. D
【解析】∵ 关于 x 的二次函数 y=mx2+4m−1x+4m 的图象与 x 轴有交点，
∴4m−12−4×m×4m≥0，且 m≠0，解得：m≤18 且 m≠0．
6. C【解析】∵ 抛物线与 x 轴的交点为 −1,0，3,0，
∴ 对称轴为：直线 x=−1+32=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故①正确；
∵ 当 x=3 时，y=0，
∴9a+3b+c=0，故②正确；
由图可知，当 −1 ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1，
根据抛物线的性质在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x1y2，故④错误．
7. C【解析】连接 BC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵csA=ACAB=32，
∴∠A=30∘，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30∘．
8. B【解析】不妨设线段 AB 长度为 1 个单位，点 P 的运动速度为 1 个单位/秒，则：
（1）当点 P 在 A→B 段运动时，PB=1−t，S=π1−t20≤t<1；
（2）当点 P 在 B→A 段运动时，PB=t−1，S=πt−121综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：S=πt−12（0≤t≤2 且 t≠1），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．
9. D
10. A
【解析】（A）35×4.5=13×2.5；
（B）35×2.5=13×4.5；
（C）35×2.5=4.5×13；
（D）13×4.5=2.5×35．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 5
【解析】设上升的高度是 BH=x 米，
∵i=1:2，
∴AH=2BH=2x，
根据勾股定理得：x2+2x2=52，解得：x=5．
13. y=−4x
【解析】设反比例函数的解析式是：y=kx，设 P 点的坐标是 m,n．
则 AP=m，OA=−n，mn=k．
∵△ABP 的面积为 2，
∴12AP⋅OA=2，即 12m⋅−n=2，
∴mn=−4，则 k=mn=−4．
则反比例函数的解析式是：y=−4x．
14. ①②④
【解析】①如图 1，过 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，
∵ 点 D 到 AB，AC 距离相等，
∴DE=DF，
在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中，
BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，故①正确；
② ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵AD2=BD⋅DC，
∴ADBD=CDAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90∘，
∴∠C+∠B=90∘，
∴∠BAC=90∘，故②正确；
③如图 2，作 AE⊥BC 于点 E，
则 AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则
AB2−AD2=AE2+BE2−AE2+DE2=BE2−DE2=BE+DEBE−DE=BD⋅DC,
则 AD2+BD⋅DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2+BD⋅DC=AC2；
如图 3，作 AE⊥BC 于点 E，
则 AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则
AD2−AB2=AE2+DE2−AE2+BE2=DE2−BE2=BE+DEDE−BE=BD⋅DC,
则 AD2−BD⋅DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2−BD⋅DC=AC2，故③错误；
④ ∵AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∵∠BAD+∠DAC=90∘，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD:CD=BD:AD，
∴AD2=CD⋅BD，故④正确．
第三部分
15. cs245∘+3tan30∘tan60∘−2sin30∘=222+3×1−2×12=12+3−1=52.
16. （1） 如图 1 所示：△A1B1C1，即为所求．
（2） 如图 2 所示：△A2B2C2，即为所求．
（3） ∵ 点 A，B，C 的坐标分别是 −4,−1，−2,−3，−1,−2，
点 A1，B1，C1 的坐标分别是 −1,4，−3,2，−2,1，
∴△ABC 内有一点 Pa,b，经过（1）旋转变换后 P 的对应点 P1 的坐标为；b,−a．
17. ∵ 弓形的跨度 AB=6，EF 为弓形的高，
∴OE⊥AB 于点 F，
∴AF=12AB=3，
设 AB 所在 ⊙O 的半径为 r m，
∵ 弓形的高 EF=2，
∴AO=r，OF=r−2，
在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即 r2=32+r−22，解得 r=134．
答：AB 所在 ⊙O 的半径为 134 m．
18. 作 AD⊥BC 于点 D，
由题意得，∠CAE=75∘，∠B=30∘，
∴∠C=∠CAE−∠B=45∘，
∵∠ADB=90∘，∠B=30∘，
∴AD=12AB=30，BD=AB⋅cs30∘=303，
∵∠ADC=90∘，∠C=45∘，
∴DC=AD=30，
∴AC=302 米，BC=BD+CD=303+30 米，
答：小明、小亮两人与气球的距离 AC 为 302 米，BC 为 303+1 米．
19. （1） ∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过 −3,−2，
∴−2=k−3，得 k=6，
∴ 反比例函数解析式为 y=6x．
（2） 如图，
得：y=6x,y=x−1, 得 x=3,y=2 或 x=−2,y=−3,
∴A3,2，B−2,−3，
令 y=0，得 x=1，
∴C1,0，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×1×3+12×1×2=52.
20. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax+1x−3，即 y=ax2−2ax−3a，
则 −2a=2，解得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3；
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4，则 M 点的坐标为 1,4．
（2） ∵ME⊥y轴，
∴E0,4，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴N1,0，
∴BN=3−1=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴S△EMFS△BNF=EMBN2=122=14；
∴MFNF=EMBN=12，
而 MN=4，
∴FN=23×4=83，
∴ 点 F 的坐标为 1,83．
21. （1） 连接 OM 交 AC 于点 N，如图所示：
∵ 点 M 是 AC 的中点，
∴OM⊥AC，AN=CN．
∵AC∥PM，
∴PM⊥OM，
∴ 直线 PM 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵OA=OB，AN=CN，
∴ON 是 △ABC 的中位线，
∴ON=12BC=2，
∵AB=10，
∴OM=OA=12AB=5，
∵AC∥PM，
∴△OAN∽△OPM．
∴OAPO=ONOM，即 5PO=25，
解得：PO=12.5．
22. （1） 设王浩第 n 天生产的粽子数量为 360 只，由题意可知：
30n+120=360.
解得
n=8.
答：第 8 天生产的粽子数量为 360 只．
（2） 由图象得，当 0≤x<9 时，p=4.1；
当 9≤x≤15 时，设 p=kx+b，
把点 9,4.1，15,4.7 代入得，9k+b=4.1,15k+b=4.7,
解得 k=0.1,b=3.2,
∴p=0.1x+3.2，
① 0≤x≤5 时，w=6−4.1×54x=102.6x，当 x=5 时，w最大=513；
② 5 ∵x 是整数，
∴ 当 x=9 时，w最大=741；
③ 9 ∵a=−3<0，
∴ 当 x=−b2a=12 时，w最大=768；
∴w=102.6x,0≤x≤557x+228,5综上，当 x=12 时，w 有最大值，最大值为 768．
答：第 12 天的利润最大，最大利润是 768 元．
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在平面直角坐标系中，把抛物线 y=−x2 沿着 x 轴向右平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是
A. y=−x+22B. y=−x−22
C. y=−x2+2D. y=−x2−2
2. 若 Aa1,b1，Ba2,b2 是反比例函数 y=−2x 图象上的两个点，且 a1
3. 如图，在同一平面内直线 l∥m∥n，直线 AB 与直线 l，m，n 分别交于 A，B，C 三点，AB=BC，D 为直线 m 上一点，∠ABD=40∘，∠BAD=70∘，若直线 n 上有一点 E，BE=AD，则 ∠CEB 的度数为
A. 40∘ 或 70∘B. 70∘C. 110∘D. 70∘ 或 110∘
4. 已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP>NP，且 MP=5−1cm，则 NP 等于
A. 2 cmB. 3−5cmC. 5−1cmD. 5+1cm
5. 若关于 x 的二次函数 y=mx2+4m−1x+4m 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是
A. m<18B. m<18 且 m≠0
C. m=18D. m≤18 且 m≠0
6. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，下列说法：
① 2a+b=0，
② 9a+3b+c=0，
③当 −1≤x≤3 时，y<0，
④若 x1,y1，x2,y2 在函数图象上，当 x1
A. ①②④B. ①②③C. ①②D. ②③④
7. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AB=4，AC 是弦，AC=23，∠ACO 的度数是
A. 15∘B. 20∘C. 30∘D. 40∘
8. 如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 的函数图象大致为
A. B.
C. D.
9. 对于函数 y=32x2−2，下列结论正确的是
A. 无论 x 取何实数，y 的值总是正的
B. x 的值增大，y 的值也随着增大
C. x 的值增大，y 的值随着减小
D. 图象关于 y 轴对称
10. 已知 13×4.5=35×2.5，下面哪个比例式不成立
A. 13:35=4.5:2.5B. 13:35=2.5:4.5
C. 4.5:35=2.5:13D. 2.5:13=4.5:35
二、填空题（共4小题；共20分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．
12. 如图，某人沿着一个坡度为 1:2 的斜坡 AB 向前行走了 5 米，那么他实际上升的垂直高度是 米．
13. 如图，点 P 在反比例函数图象上，PA 垂直 y 轴于点 A，点 B 为 x 轴上任意一点，且 △PAB 的面积为 2，则这个反比例函数的解析式为 ．
14. 如图，在 △ABC 中，D 为直线 BC 上任意一点，给出以下判断：
①若点 D 到 AB，AC 距离相等，且 BD=DC，则 AB=AC；
②若 AD⊥BC 且 AD2=BD⋅DC，则 ∠BAC=90∘；
③若 AB=AC，则 AD2+BD⋅DC=AC2；
④若 ∠BAC=90∘，且 AD⊥BC，则 AD2=BD⋅DC．
其中正确的是 （把所有正确结论序号都填在横线上）．
三、解答题（共8小题；共104分）
15. 求值：cs245∘+3tan30∘tan60∘−2sin30∘．
16. 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为 1 的正方形），图中 △ABC 是格点三角形，点 A，B，C 的坐标分别是 −4,−1，−2,−3，−1,−2．
（1）以 O 为旋转中心，把 △ABC 绕 O 点顺时针旋转 90∘ 后得到 △A1B1C1，画出 △A1B1C1．
（2）以 O 为位似中心，在第一象限内把 △ABC 放大 2 倍后得到 △A2B2C2，画出 △A2B2C2；
（3）△ABC 内有一点 Pa,b，写出经过（1）旋转变换后 P 的对应点 P1 的坐标．
17. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=6 m，弓形的高 EF=2 m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出 AB 所在 ⊙O 的半径．
18. 如图，小明在大楼的东侧 A 处发现正前方仰角为 75∘ 的方向上有一热气球在 C 处，此时，小亮在大楼的西侧 B 处也测得气球在其正前方仰角为 30∘ 的位置上，已知 AB 的距离为 60 米，试求此时小明、小亮两人与气球的距离 AC 和 BC．（结果保留根号）
19. 已知：反比例函数 y=kx 的图象经过 −3,−2
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）在平面坐标系 xOy 中，一次函数 y=x−1 的图象与该反比例函数的图象交于 A，B，求 △AOB 的面积．
20. 如图，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，它的对称轴与 x 轴交于点 N，过顶点 M 作 ME⊥y轴 于点 E，连接 BE 交 MN 于点 F，已知点 A 的坐标为 −1,0，B 的坐标为 3,0．
（1）求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标；
（2）直接写出 △EMF 与 △BNF 的面积之比以及点 F 的坐标．
21. 如图，直线 PO 交 ⊙O 于 A，B 两点，直径 AB=10，弦 AC∥PM．点 M 是 AC 的中点．
（1）求证：直线 PM 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=4，求 PO 的长．
22. 某工厂接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人王浩第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足如下关系：y=54x,0≤x≤530x+120,5
（2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图中的函数图形来刻画．若王浩第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元?（利润 = 出厂价 − 成本）
答案
第一部分
1. B【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y=−x2 向右平移 2 个单位，所得函数解析式为：y=−x−22．
2. C【解析】∵k<0，
∴ 图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，
∵a1
∴∠ADB=70∘．
∴AB=BD．
∵m∥n，
∴∠BCE=∠ABD=40∘，
过点 A 作 AG⊥m 于点 G，作 BH⊥n 于点 H，如图所示，
∴∠AGD=∠BHE=90∘，
∵AB=BC，
∴AG=BH．
在 Rt△ADG 和 Rt△BEH 中，
AD=BE,AG=BH,
∴Rt△ADG≌Rt△BEH，
∴∠BEH=∠ADG=70∘．
同理，当点 E 在 Eʹ 的位置时，∠BEʹC=180∘−70∘=110∘．
4. B【解析】∵ 点 P 是线段 MN 的黄金分割点，MP>NP，
∴MP=5−12MN，
∴MN=2，
∴NP=MN−MP=3−5cm．
5. D
【解析】∵ 关于 x 的二次函数 y=mx2+4m−1x+4m 的图象与 x 轴有交点，
∴4m−12−4×m×4m≥0，且 m≠0，解得：m≤18 且 m≠0．
6. C【解析】∵ 抛物线与 x 轴的交点为 −1,0，3,0，
∴ 对称轴为：直线 x=−1+32=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故①正确；
∵ 当 x=3 时，y=0，
∴9a+3b+c=0，故②正确；
由图可知，当 −1
根据抛物线的性质在对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x1
7. C【解析】连接 BC，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵csA=ACAB=32，
∴∠A=30∘，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30∘．
8. B【解析】不妨设线段 AB 长度为 1 个单位，点 P 的运动速度为 1 个单位/秒，则：
（1）当点 P 在 A→B 段运动时，PB=1−t，S=π1−t20≤t<1；
（2）当点 P 在 B→A 段运动时，PB=t−1，S=πt−121
9. D
10. A
【解析】（A）35×4.5=13×2.5；
（B）35×2.5=13×4.5；
（C）35×2.5=4.5×13；
（D）13×4.5=2.5×35．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 5
【解析】设上升的高度是 BH=x 米，
∵i=1:2，
∴AH=2BH=2x，
根据勾股定理得：x2+2x2=52，解得：x=5．
13. y=−4x
【解析】设反比例函数的解析式是：y=kx，设 P 点的坐标是 m,n．
则 AP=m，OA=−n，mn=k．
∵△ABP 的面积为 2，
∴12AP⋅OA=2，即 12m⋅−n=2，
∴mn=−4，则 k=mn=−4．
则反比例函数的解析式是：y=−4x．
14. ①②④
【解析】①如图 1，过 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，
∵ 点 D 到 AB，AC 距离相等，
∴DE=DF，
在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中，
BD=CD,DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，故①正确；
② ∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵AD2=BD⋅DC，
∴ADBD=CDAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90∘，
∴∠C+∠B=90∘，
∴∠BAC=90∘，故②正确；
③如图 2，作 AE⊥BC 于点 E，
则 AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则
AB2−AD2=AE2+BE2−AE2+DE2=BE2−DE2=BE+DEBE−DE=BD⋅DC,
则 AD2+BD⋅DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2+BD⋅DC=AC2；
如图 3，作 AE⊥BC 于点 E，
则 AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则
AD2−AB2=AE2+DE2−AE2+BE2=DE2−BE2=BE+DEDE−BE=BD⋅DC,
则 AD2−BD⋅DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2−BD⋅DC=AC2，故③错误；
④ ∵AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠B+∠BAD=90∘，
∵∠BAD+∠DAC=90∘，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD:CD=BD:AD，
∴AD2=CD⋅BD，故④正确．
第三部分
15. cs245∘+3tan30∘tan60∘−2sin30∘=222+3×1−2×12=12+3−1=52.
16. （1） 如图 1 所示：△A1B1C1，即为所求．
（2） 如图 2 所示：△A2B2C2，即为所求．
（3） ∵ 点 A，B，C 的坐标分别是 −4,−1，−2,−3，−1,−2，
点 A1，B1，C1 的坐标分别是 −1,4，−3,2，−2,1，
∴△ABC 内有一点 Pa,b，经过（1）旋转变换后 P 的对应点 P1 的坐标为；b,−a．
17. ∵ 弓形的跨度 AB=6，EF 为弓形的高，
∴OE⊥AB 于点 F，
∴AF=12AB=3，
设 AB 所在 ⊙O 的半径为 r m，
∵ 弓形的高 EF=2，
∴AO=r，OF=r−2，
在 Rt△AOF 中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即 r2=32+r−22，解得 r=134．
答：AB 所在 ⊙O 的半径为 134 m．
18. 作 AD⊥BC 于点 D，
由题意得，∠CAE=75∘，∠B=30∘，
∴∠C=∠CAE−∠B=45∘，
∵∠ADB=90∘，∠B=30∘，
∴AD=12AB=30，BD=AB⋅cs30∘=303，
∵∠ADC=90∘，∠C=45∘，
∴DC=AD=30，
∴AC=302 米，BC=BD+CD=303+30 米，
答：小明、小亮两人与气球的距离 AC 为 302 米，BC 为 303+1 米．
19. （1） ∵ 反比例函数 y=kx 的图象经过 −3,−2，
∴−2=k−3，得 k=6，
∴ 反比例函数解析式为 y=6x．
（2） 如图，
得：y=6x,y=x−1, 得 x=3,y=2 或 x=−2,y=−3,
∴A3,2，B−2,−3，
令 y=0，得 x=1，
∴C1,0，
∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×1×3+12×1×2=52.
20. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax+1x−3，即 y=ax2−2ax−3a，
则 −2a=2，解得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3；
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4，则 M 点的坐标为 1,4．
（2） ∵ME⊥y轴，
∴E0,4，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴N1,0，
∴BN=3−1=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴S△EMFS△BNF=EMBN2=122=14；
∴MFNF=EMBN=12，
而 MN=4，
∴FN=23×4=83，
∴ 点 F 的坐标为 1,83．
21. （1） 连接 OM 交 AC 于点 N，如图所示：
∵ 点 M 是 AC 的中点，
∴OM⊥AC，AN=CN．
∵AC∥PM，
∴PM⊥OM，
∴ 直线 PM 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵OA=OB，AN=CN，
∴ON 是 △ABC 的中位线，
∴ON=12BC=2，
∵AB=10，
∴OM=OA=12AB=5，
∵AC∥PM，
∴△OAN∽△OPM．
∴OAPO=ONOM，即 5PO=25，
解得：PO=12.5．
22. （1） 设王浩第 n 天生产的粽子数量为 360 只，由题意可知：
30n+120=360.
解得
n=8.
答：第 8 天生产的粽子数量为 360 只．
（2） 由图象得，当 0≤x<9 时，p=4.1；
当 9≤x≤15 时，设 p=kx+b，
把点 9,4.1，15,4.7 代入得，9k+b=4.1,15k+b=4.7,
解得 k=0.1,b=3.2,
∴p=0.1x+3.2，
① 0≤x≤5 时，w=6−4.1×54x=102.6x，当 x=5 时，w最大=513；
② 5
∴ 当 x=9 时，w最大=741；
③ 9
∴ 当 x=−b2a=12 时，w最大=768；
∴w=102.6x,0≤x≤557x+228,5
答：第 12 天的利润最大，最大利润是 768 元．
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