山东省临沂市沂水县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年山东省临沂市沂水县九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列事件中，必然事件是（　　）

A．未来一周都是好天气 

B．假期出门遇见同学 

C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 

D．掷一次硬币，正面向上

2．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　）

A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5

3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

4．抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（　　）

A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣

5．在掷硬币的实验中，正确的是（　　）

A．老师安排每位同学回家做实验，硬币自由选取 

B．老师安排同学回家做实验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要             

C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 

D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度

6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则EC的长是（　　）

A． B． C．20 D．15

7．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（　　）

A．2 B．8 C．4 D．12

8．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）

A．y＝6000x B．y＝3000x C．y＝ D．y＝

9．如图，点A，B，C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC＝110°，则∠CBD的度数为（　　）

A．50° B．52.5° C．55° D．62.5°

10．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（　　）

A． B． C．mcosα D．

11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（　　）尺．

A．50 B．45 C．5 D．4.5

12．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　）

A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元

13．如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP＝，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．3

14．已知函数y＝的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

15．反比例函数y＝经过（﹣2，2），则图象在　    　象限．

16．在十字路口，汽车可直行、左转、右转，三种可能性相同，则一辆汽车经过向右转的概率为　              　．

17．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为　              　．

18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE＝S四边形DBCE，则＝　             　．

19．已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是　 　．

三、解答题（本题7个小题，共63分）

20．九年级（1）班在两名男生和一名女生中任选两人参加学校组织的演讲比赛．请用画树状图或列表的方法求两人都是男生的概率．

21．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．

（1）求平均每次降价的百分率；

（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？

22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．

（1）求证：△DCF∽△CEB；

（2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长．

23．已知点P是上的一个动点，∠APB＝118°，AB＝10，点P到AB的最大距离约为多少？（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）

24．如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y2＝（x＜0）分别交于点C，D，且点C的坐标为（﹣1，4）．

（1）分别求直线、双曲线的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）利用函数图象直接写出：当x在什么范围内取值时y2＜y1．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．

26．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．

（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；

（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；

（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．

参考答案

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列事件中，必然事件是（　　）

A．未来一周都是好天气 

B．假期出门遇见同学 

C．不在同一直线上的三个点确定一个圆 

D．掷一次硬币，正面向上

【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的意义进行判断即可．

解：根据概念，知

A、未来一周都是好天气，是随机事件；

B、假期出门遇见同学，是随机事件；

C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件；

D、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件．

故选：C．

2．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（　　）

A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或5

【分析】利用因式分解法求解即可．

解：∵x（x﹣5）＝2（x﹣5），

∴x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0，

则（x﹣5）（x﹣2）＝0，

∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝5，x2＝2，

故选：D．

3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．

解：由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝∠BOD＝50°，

∵∠AOB＝15°，

∴∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝50°﹣15°＝35°，

故选：A．

4．抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（　　）

A．x＝ B．x＝ C．x＝﹣ D．x＝﹣

【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，代入公式即可得答案．

解：在y＝2x2﹣5x+1中，a＝2，b＝﹣5，

∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，

故选：B．

5．在掷硬币的实验中，正确的是（　　）

A．老师安排每位同学回家做实验，硬币自由选取 

B．老师安排同学回家做实验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要             

C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 

D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度

【分析】根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．

解：A、应选择相同的硬币，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；

B、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；

C、在做第2001次时，正面由可能向上，也有可能向下，故错误，不符合题意；

D、符合模拟实验的条件，正确，符合题意．

故选：D．

6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则EC的长是（　　）

A． B． C．20 D．15

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．

解：∵DE∥BC，

∴，

即，

EC＝，

故选：B．

7．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（　　）

A．2 B．8 C．4 D．12

【分析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．

解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，

由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，

即（4）2+（2k）2＝（3k）2，

解得k＝4（取正值），

所以BC＝2k＝8，

故选：B．

8．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映y与x之间的关系的式子是（　　）

A．y＝6000x B．y＝3000x C．y＝ D．y＝

【分析】由表格中数据得出xy＝6000，得到此函数是反比例函数，用待定系数法即可求得y与x之间的函数解析式．

解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，

设解析式为：y＝，

则xy＝k＝100×60＝6000，

所以y与x之间的关系的式子是y＝，

故选：C．

9．如图，点A，B，C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC＝110°，则∠CBD的度数为（　　）

A．50° B．52.5° C．55° D．62.5°

【分析】设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，则∠AEC＝70°，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得．

解：设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，连接AE、CE，

∵∠AOC＝110°，

∴∠E＝＝55°，

∴∠CBD＝∠E＝55°．

故选：C．

10．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（　　）

A． B． C．mcosα D．

【分析】根据同角的余角相等得∠ACD＝∠CBD，由cos∠ACD＝，即可求出AC的长度．

解：∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠CBD，

在Rt△ACD中，∵cos∠ACD＝，

∴AC＝，

故选：B．

11．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（　　）尺．

A．50 B．45 C．5 D．4.5

【分析】设竹竿的长度为x尺，根据同一时刻物高与影长成正比可得出＝，再解即可．

解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：

＝，

解得：x＝45，

答：竹竿的长度为45尺，

故选：B．

12．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（　　）

A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元

【分析】利用配方法即可解决问题．

解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，

∵a＝﹣2＜0，

∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，

故选：D．

13．如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP＝，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．3

【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，由直角三角形中30°角的性质可得答案．

解：连接OA，如图：

∵∠ABC＝15°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，

∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，

∴∠OAP＝90°，

∵OA＝AP＝＝3，

故选：D．

14．已知函数y＝的图象如图，以下结论：①m＜0；②在每个分支上y随x的增大而增大；③若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b；④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】利用反比例函数的性质及反比例函数的图象上的点的坐标特征对每个小题逐一判断后即可确定正确的选项．

解：①根据反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，可得m＞0，故错误，不符合题意；

②在每个分支上y随x的增大而减小，故错误，不符合题意；

③若点A（﹣1，a）、点B（2，b）在图象上，则a＜b，正确，符合题意；

④若点P（x，y）在图象上，则点P1（﹣x，﹣y）也在图象上，正确，符合题意，

故选：B．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

15．反比例函数y＝经过（﹣2，2），则图象在　二、四　象限．

【分析】将点（﹣2，2）代入y＝，求出k的值，即可根据反比例函数的性质得到结论．

解：∵反比例函数y＝经过（﹣2，2），

∴k＝﹣2×2＝﹣4，

∴图象在二、四象限，

故答案为二、四．

16．在十字路口，汽车可直行、左转、右转，三种可能性相同，则一辆汽车经过向右转的概率为　　．

【分析】直接根据概率公式求解即可．

解：∵汽车可直行、左转、右转．三种可能性相同，

∴一辆汽车经过向右转的概率为；

故答案为：．

17．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为　　．

【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．

解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，

设小正方形的边长为1，

则AE＝3，BE＝4，

所以tan∠ABC＝＝，

故答案为：．

18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE＝S四边形DBCE，则＝　﹣1　．

【分析】由DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，由S△ADE＝S四边形DBCE可知，S△ADE：S△ABC＝1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得答．

【解答】

19．已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是　1　．

【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．

解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．

由题意，＝6π，

解得r＝6或﹣6（舍弃），

∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，

∴＝2•π•R，

∴R＝1，

故答案为：1．

三、解答题（本题7个小题，共63分）

20．九年级（1）班在两名男生和一名女生中任选两人参加学校组织的演讲比赛．请用画树状图或列表的方法求两人都是男生的概率．

【分析】用A表示男生，用B表示女生，根据题意画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

解：用A表示男生，用B表示女生，根据题意画树状图为：

由树状图可知：共有6种等可能的结果数，其中两人都是男生的结果数为2，

∴其概率为＝．

21．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．

（1）求平均每次降价的百分率；

（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？

【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）根据题意直接计算可得出答案．

解：（1）设平均每次降价的百分率是x，

根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162，

解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162

∴售货员的方案对顾客更优惠．

22．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．

（1）求证：△DCF∽△CEB；

（2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．然后根据相似三角形的判定可得结论；

（2）由平行四边形的性质可得BC＝AD＝6，然后根据相似三角形的性质可得答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．

∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，

∴∠DFC＝∠B，

∴△DCF∽△CEB；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD＝6，

∵△DCF∽△CEB，DF＝4，CD＝8，

∴，

即，

∴CE＝12．

23．已知点P是上的一个动点，∠APB＝118°，AB＝10，点P到AB的最大距离约为多少？（结果保留整数，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）

【分析】当P是的中点时，到AB的距离最大，则＝，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣118°）＝31°，过P作PD⊥AB于D，解直角三角形即可得到结论．

解：当P是的中点时，到AB的距离最大，则＝，

∴AP＝BP．

∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣118°）＝31°．

过P作PD⊥AB于D，

在Rt△APD中，∠PAD＝31°，AD＝AB＝5．

∴PD＝AD•tan31°≈5×0.60＝3．

24．如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y2＝（x＜0）分别交于点C，D，且点C的坐标为（﹣1，4）．

（1）分别求直线、双曲线的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）利用函数图象直接写出：当x在什么范围内取值时y2＜y1．

【分析】（1）根据点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出直线及双曲线的解析式；

（2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点D的坐标；

（3）根据两函数图象的上下位置关系即可找出结论．

解：（1）∵点C（﹣1，4）在直线y1＝x+m上，

∴4＝﹣1+m，

∴m＝5，

∴直线的解析式为y1＝x+5，

∵点C（﹣1，4）在双曲线，

∴4＝，

∴k＝﹣4，

∴双曲线的解析式为y2＝；

（2）联立两函数解析式组成方程组，，

解得：或，

∴点D的坐标为（﹣4，1）；

（3）观察函数图象，可知：当﹣4＜x＜﹣1时，y2＜y1．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；

（2）由（1）已证：∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到根据扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OD、CD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

又∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴△ACD是直角三角形，

又∵点E是斜边AC的中点，

∴EC＝ED，

∴∠ECD＝∠EDC

又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，

∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，

∴直线DE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，

∵∠B＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∴∠F＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝4，

∴BC＝＝＝4，

∴，

在Rt△ODF中，，

∴阴影部分的面积为：＝．

26．已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．

（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；

（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；

（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．

【分析】（1）根据题意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；

（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得≥1；

（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．

∴，

∴b＝﹣2a，

∵抛物线顶点在x轴上，

∴顶点坐标为（1，0），

∴a+b+c＝0，

∵抛物线过（0，1），

∴c＝1，

解得a＝1，b＝﹣2，

∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；

（2）∵b＝﹣2a，

∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，

∵抛物线不过第一象限，

∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，

∴≥1；

（3）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），

∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，

∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，

由图象可知当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，

∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），

∴4＝a（﹣1﹣1）2+1，

解得：a＝，

∴﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，

解得：a＝．

故a的值为或．