2018-2019学年度北京市房山区燕山地区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年度北京市房山区燕山地区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 右图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 圆锥B. 圆柱C. 四棱柱D. 正方体

2. 下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，OA，OB 是 ⊙O 的两条半径，且 OA⊥OB，点 C 在 ⊙O 上，则 ∠ACB 等于
A. 20∘B. 25∘C. 35∘D. 45∘

4. 下列事件中，是随机事件的是
A. ⊙O 的半径为 5，OP=3，点 P 在 ⊙O 外
B. 相似三角形的对应角相等
C. 任意画两个直角三角形，这两个三角形相似
D. 直径所对的圆周角为直角

5. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘．若 AB=3，BC=2，则 sinA 的值为
A. 23B. 53C. 255D. 52

6. 已知近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数解析式为
A. y=200xB. y=200xC. y=100xD. y=100x

7. 一个扇形的圆心角为 120∘，半径为 3，则这个扇形的弧长是
A. 4πB. 3πC. 2πD. π

8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力 s 与提出概念的时间 t（单位：min）之间近似满足函数关系 s=at2+bt+ca≠0，s 值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时 t 与 s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为
A. 8 minB. 13 minC. 20 minD. 25 min

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 点 P4,3 关于原点的对称点的坐标为 ．

10. 写出一个反比例函数 y=kx（k≠0），使它的图象在其每一分支上，y 随 x 的增大而减小，这个函数的解析式为 ．

11. 如图标记了 △ABC 和 △DEF 的边，角的一些数据，请你添加一个条件，使 △ABC∽△DEF，这个条件可以是 ．（只填一个即可）

12. 如图所示的网格是正方形网格，则 tanα tanβ．（填“>”，“=”或“<”）

13. 如图，在半径为 5 cm 的 ⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OC 为 3 cm，则弦 AB 的长为 cm．

14. 如图，小芸用灯泡 O 照射一个矩形相框 ABCD，在墙上形成影子 AʹBʹCʹDʹ，现测得 OA=20 cm，OAʹ=50 cm，相框 ABCD 的面积为 80 cm2，则影子 AʹBʹCʹDʹ 的面积为 cm2．

15. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 24 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD，则矩形花园 ABCD 的最大面积为 m2．

16. 如表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n100020003000400050001000020000针与直线相交的次数m45497014301912238647699548针与直线相交的频率p=
下面有三个推断：
①投掷 1000 次时，针与直线相交的次数是 454，针与直线相交的概率是 0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在 0.477 附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是 0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为 10000 时，针与直线相交的频率一定是 0.4769．
其中合理的推断的序号是： ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：3tan60∘−2cs45∘+sin30∘．

18. 如图，△ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 ∠ABD=∠C．
（1）求证：△ADB∽△ABC；
（2）若 AD=4，AC=9，求 AB 的长．

19. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点坐标分别为 A1,0，O0,0，B2,2．以点 O 为旋转中心，将 △AOB 逆时针旋转，得到 △A1OB1．
（1）画出 △A1OB1；
（2）直接写出点 A1 和点 B1 的坐标；
（3）求线段 OB1 的长度．

20. 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O 及 ⊙O 外一点 P．
求作：⊙O 的一条切线，使这条切线经过点 P．
作法：
①连接 OP，作 OP 的垂直平分线 l 交 OP 于点 A；
②以 A 为圆心，AO 为半径作圆，交 ⊙O 于点 M；
③作直线 PM，则直线 PM 即为 ⊙O 的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接 OM，
由作图可知，A 为 OP 中点，
∴OP 为 ⊙A 直径，
∴∠OMP= ∘，（ ）（填推理的依据），
即 OM⊥PM．
又 ∵ 点 M 在 ⊙O 上，
∴PM 是 ⊙O 的切线．（ ）（填推理的依据）．

21. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这 4 部数学名著中随机选择 1 部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这 4 部数学名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．

22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠CAB，交 BC 于点 D，CD=2，AC=23．
（1）求 ∠B 的度数；
（2）求 AB 和 BC 的长．

23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 8 m 时，水面宽 AB 为 12 m．当水面上升 6 m 时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少 m?
下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图 1，以点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，
此时点 B 的坐标为（ ， ），抛物线的顶点坐标为（ ， ），
可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．
当 y=6 时，求出此时自变量 x 的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图 2，以抛物线顶点为原点，对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，
这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．
当 y= 时，求出此时自变量 x 的取值为 ，即可解决这个问题．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+2 与函数 y=kxk≠0 的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为 1,m．
（1）求 k，m 的值；
（2）已知点 Pa,0，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交直线 y=2x+2 于点 M，交函数 y=kxk≠0 的图象于点 N．
①当 a=2 时，求线段 MN 的长；
②若 PM>PN，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P，过点 A 作 AD⊥PC 于点 D，AD 与 ⊙O 交于点 E．
（1）求证：AC 平分 ∠DAB．
（2）若 AB=10，sin∠CAB=25，请写出求 DE 长的思路．

26. 如图，⊙O 的直径 AB=4 cm，点 C 为线段 AB 上一动点，过点 C 作 AB 的垂线交 ⊙O 于点 D，E，连接 AD，AE．设 AC 的长为 x cm，△ADE 的面积为 y cm2．
小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量 x 的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了 y 与 x 的几组对应值，如下表：
（3）如图，建立平面直角坐标系 xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当 △ADE 的面积为 4 cm2 时，AC 的长度约为 cm．

27. 正方形 ABCD 中，将边 AB 所在直线绕点 A 逆时针旋转一个角度 α 得到直线 AM，过点 C 作 CE⊥AM，垂足为 E，连接 BE．
（1）当 0∘<α<45∘ 时，设 AM 交 BC 于点 F，
①如图 1，若 α=35∘，则 ∠BCE= ∘；
②如图 2，用等式表示线段 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明；
（2）当 45∘<α<90∘ 时（如图 3），请直接用等式表示线段 AE，BE，CE 之间的数量关系．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，Q 和图形 G，给出如下定义：点 P，Q 都在图形 G 上，且将点 P 的横坐标与纵坐标互换后得到点 Q，则称点 P，Q 是图形 G 的一对“关联点”．例如，点 P1,2 和点 Q2,1 是直线 y=−x+3 的一对关联点．
（1）请写出反比例函数 y=6x 的图象上的一对关联点的坐标： ；
（2）抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 y 轴交于点 C0,−1．点 A，B 是抛物线 y=x2+bx+c 的一对关联点，直线 AB 与 x 轴交于点 D1,0．求 A，B 两点坐标．
（3）⊙T 的半径为 3，点 M，N 是 ⊙T 的一对关联点，且点 M 的坐标为 1,m（m>1），请直接写出 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. D
7. C
8. B
第二部分
9. −4,−3
10. 答案不唯一，满足 k>0 即可，如 y=1x
11. 答案不唯一，如 DF=6；∠C=60∘；∠B=35∘
12. <
13. 8
14. 500
15. 144
16. ②
第三部分
17. 原式=3×3−2×22+12=3−1+12=52.
18. （1） ∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC．
（2） ∵△ADB∽△ABC，
∴ABAD=ACAB，
即 AB2=AC⋅AD，
∵AD=4，AC=9，
∴AB2=4×9=36，
∴AB=6．
19. （1） 画出 △A1OB1，如图．
（2） 点 A10,1，点 B1−2,2．
（3） OB1=OB=22+22=22．
20. （1） 使用直尺和圆规，补全图形，如图．
（2） 90；直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
21. （1） 14
（2） 将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件 M．
方法一：用列表法列举出从 4 部名著中选择 2 部所能产生的全部结果：
由表中可以看出，所有可能的结果有 12 种，并且这 12 种结果出现的可能性相等，
所有可能的结果中，满足事件 M 的结果有 2 种，即DB，BD，
∴PM=212=16．
【解析】方法二：：根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有 12 种，并且这 12 种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件 M 的结果有 2 种，即BD，DB，
∴PM=212=16．
22. （1） ∵ 在 Rt△ACD 中，∠C=90∘，CD=2，AC=23，
∴tan∠CAD=CDAC=223=33，
∴∠CAD=30º，
∵AD 平分 ∠CAB，
∴∠CAB=2∠CAD=60º．
∵∠C=90∘，
∴∠B=90∘−60∘=30∘．
（2） ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=23，
∴AB=2AC=43，
∴BC=AB2−AC2=432−232=6．
23. 12；0；6；8；y=−29x2+83x；y=−29x2；−2；±3
24. （1） ∵ 点 A1,m 在直线 y=2x+2 上，
∴m=2×1+2=4，
∴ 点 A 的坐标为 1,4，代入函数 y=kx 中，得
∴k=1×4=4．
（2） ①当 a=2 时，P2,0．
∵ 直线 y=2x+2，反比例函数的解析式为 y=4x．
∴M2,6，N2,2，
∴MN=4．
② a<−2，或 a>1．
25. （1） 连接 OC，
∵PD 切 ⊙O 于点 C，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC 于点 D，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
又 ∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即 AC 平分 ∠DAB．
（2） 思路一：连接 CE，
可证 Rt△CDE∽Rt△ACB，
∴DEBC=CEAB，
在 Rt△ABC 中，由 AB=10，sin∠CAB=25，可求 BC=4．
由 ∠1=∠2，得 EC=BC，
∴EC=BC=4，
故 DE=BC⋅CEAB 可求．
【解析】思路二：过点 B 作 BF⊥l 于点 F，连接 BE，可证四边形 DEBF 是矩形，
∴DE=BF．
由 AB 为 ⊙O 的直径，∠ACB=90∘，且 OC⊥PC，
可证 ∠BCF=∠3=∠2．
在 Rt△ABC 中，由 AB=10，sin∠2=25，可求 BC=4．
在 Rt△BCF 中，由 BC=4，sin∠BCF=sin∠2=25，
可求 BF=85，
∴DE=BF=85．
26. （1） 0≤x≤4
（2）
（3）
（4） 2.0 或 3.7
27. （1） ① 35
② AE=CE+2BE．
证明：过点 B 作 BG⊥BE，交 AM 于点 G，
∴∠GBE=∠GBC+∠2=90∘．
∵ 正方形 ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠1+∠GBC=90∘，
∴∠1=∠2．
∵∠ABC=∠CEA=90∘，∠4=∠5，
∴△ABF∽△CEF，
∴∠α=∠3．
∴ 在 △ABG 和 △CBE 中，∠1=∠2，AB=BC，∠α=∠3，
∴△ABG≌△CBE，
∴AG=CE，BG=BE．
∵ 在 △BEG 中，∠GBE=90∘，BG=BE，
∴GE=2BE，
∴AE=AG+GE=CE+2BE．
（2） AE+CE=2BE．
28. （1） 答案不唯一，如：2,3，3,2
（2） 因为抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，
所以 −b2×1=1，解得 b=−2，
因为抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C0,−1，
所以 c=−1，
所以抛物线的解析式为 y=x2−2x−1．
由关联点定义得，点 A，B 关于直线 y=x 对称．
又因为直线 AB 与 x 轴交于点 D1,0，
所以直线 AB 的解析式为 y=−x+1．
代入抛物线的解析式 y=x2−2x−1 中，并整理，得
x2−x−2=0，
解得，x1=−1，x2=2，
所以 A，B 两点坐标为 −1,2 和 2,−1．
（3） m 的取值范围为 1−32≤m≤1+32．