人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题12 函数之二次函数几何应用问题（含解析）

专题12 函数之二次函数几何应用问题

中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。

一. 以三角形为背景问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为斜边的等腰直角三角形ABC的顶点C的坐标为         .

【答案】（3，7）或（3，1）。

【考点】二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用。

∴CD=AD=3，且CD⊥AB。

∴若点C在AB上方，则C1（3，7）；若点C在AB下方，则C2（3，1）。

2. 如图，抛物线的顶点为D（﹣1，4），与轴交于点C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标。

【答案】（1）由题意得   ，解得：，

∴解析式的解析式为：。

           （3）设E，分两种情况讨论：

①若△AFE∽△ACD，如图1，则，即，

整理，得，解得（与点A重合，舍去），

当时，。

∴此时，点E的坐标为。

【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。

3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），

∴可设抛物线的解析式为：，

      将C点坐标（0， 3）代入，得：，解得 。

∴抛物线的解析式为：，即。

∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x2﹣3x。

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴。

∴当x= 时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。

（3）在y轴上存在点M，能够使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：

∵，∴顶点D的坐标为（﹣1， 4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。

二. 以四边形为背景问题

4如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点.

（1）求点的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式.

【答案】（1）A（2，0），B（6，0），C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8

【解析】

（2）由抛物线的顶点为C（4，8），

可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，

把A（2，0）代入上式，

解得a=-2．                                  

设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k，

把（0，8）代入上式得k=32，

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点B。

（1）若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点B、D、E，求△ BDE的面积S的最大值；

（2）若抛物线与矩形有且只有三个交点B、M、N，线段MN的垂直平分线l过点C，交线段OA于点F。当AF＝1时，求抛物线的解析式。

【答案】（1）∵a＝－l，∴。

又∵抛物线过点B(6，3)，∴，即。

∴

如图① ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与ｙ轴的交点应落在原点或原点下方。

∴　当x＝0时，y≤0。

∴，即。

由抛物线的对称性可知： 。

 又∵ △ BDE的高＝BC＝3，∴ S＝。

∵ ＞0，∴ S随b的增大而减少。

∴ 当b＝时，S的最大值＝。

如图② ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、AO边上时，抛物线与直线x＝0的交点应落在线段AO上且不与点A重合，即0≤＜3。

当x＝0，则，∴ 0≤＜3，∴ 。

∴ AE＝。

∴ S＝BD·AE＝。

∵ ＜0，∴ S随b的增大而增大。

∴ 当b＝时，S的最大值＝。

综上所述：S的最大值为。

（2）当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

               　　 当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：

① 当点M、N分别在AB、OC边上时．

如图③ ,过M点作MG⊥ OC于点G，连接CM，

                　　∴ MG＝OA＝3．∠2＋∠ MNＧ＝90°。

              　　  ∵ CF垂直平分MN．

∴ CM＝ＣN，∠1＋∠ MNＧ=90°，∠ 1＝∠ 2。

               　　 ∵　AF＝1，OF＝3－1＝2。

                　　∴　，。

∴　GN＝GM＝1。

设N(n，0)，则G(n＋1，0)，∴　M(n＋1，3)。 ∴　BM＝，CM＝CN＝。

在Rt△BCM中，，

                　　∴ ，解得n＝1。∴　M(2，3)，N(1，0)。

把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分别代入，得

，解得。

∴抛物线的解析式为。

设N(0，n)．则FN＝2－n，AN＝3一n。∴MF＝2－n，AM＝。

在Rt△MABF中，∵，∴。

解得： (不合题意舍去)，∴。

∴AM＝，∴　M(，3)，N(0，) 。

把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分别代入，得

，解得　。

∴抛物线的解析式为。

综上所述，抛物线的解析式为或。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。

三. 以圆为背景问题

6. 如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．

（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；

（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；

（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．

【答案】解：（1）∵，∴当y=0时，。

解得x1=﹣m，x2=3m。

∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。

（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，

∴，圆的半径为AB=2m。

∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。

∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）。

∵二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），

∴﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去）。

∴二次函数的解析式为，即。

（3）如图，连接CM，

在Rt△OCM中，

∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，

∴。

∴CD=2OC=。