2018-2019学年广州市黄埔区九上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年广州市黄埔区九上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是
A. 必然事件B. 随机事件C. 确定事件D. 不可能事件

2. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是
A. x2+6x+9=0B. x2=x
C. x2+3=2xD. x−12+1=0

3. 当 x<0 时，函数 y=−3x 的图象在
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限

4. 下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正六边形

5. 在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测，抽到不合格产品的概率是
A. 110B. 15C. 25D. 45

6. 已知点 M−2,3 在双曲线 y=kx 上，则下列各点一定在该双曲线上的是
A. 3,−2B. −2,−3C. 2,3D. 3,2

7. 如图，⊙O 的半径为 5，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3，则 AB 的长为
A. 4B. 5C. 6D. 8

8. 已知圆锥的底面半径为 2 cm，母线长为 5 cm，则圆锥的侧面积是
A. 20 cm2B. 20π cm2C. 10π cm2D. 5π cm2

9. 若反比例函数 y=2x 的图象上有两点 P12,y1 和 P23,y2，那么
A. y1y2>0C. y2y1>0

10. 抛物线 y=x2+bx+c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为 y=x−12−4，则 b 、 c 的值为
A. b=2，c=−6B. b=2，c=0C. b=−6，c=8D. b=−6，c=2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 圆的半径为 5 cm，如果圆心到直线的距离为 3 cm，那么直线与圆有公共点的个数是 ．

12. 函数y=(x−2)2+1取得最小值时，x= ．

13. 方程 x2−4=0 的解是 ．

14. 若抛物线 y=x2+2ax+3 的对称轴是直线 x=1，则 a 的值是 ．

15. 若点 A3,−4，B−2,m 在同一个反比例函数的图象上，则 m 的值为 ．

16. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，CA=8，CB=6，则 △ABC 内切圆的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−3x−1=0．

18. 如图 1，已知 △ABC 三个顶点的坐标分别是 A−3,1，B−1,−1，C−2,2．
（1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1 的坐标；
（2）画出 △ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 所得到的 △A2B2C2．

19. 某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/ 件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为 300 元/ 件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销售的总利润不少于 3120 元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?

20. 已知反比例函数 y=k−1x（k 为常数，且 k≠1）．
（1）其图象与正比例函数 y=x 的图象的一个交点为 P，若点 P 的纵坐标是 2，求 k 的值；
（2）若在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围；
（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 Ax1,y1，Bx2,y2，当 y1>y2 时，试比较 x1 与 x2 的大小．

21. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．

22. 已知二次函数 y=x2−4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点 C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
（2）求函数图象与 x 轴的交点 A，B 的坐标及 △ABC 的面积．

23. 如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AC 于点 M，弦 MN∥BC 交 AB 于点 E，且 ME=1，AM=2，AE=3．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）求 ⊙O 的半径．

24. 如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O，AB 是 ⊙O 的直径，点 F 在 ⊙O 上，且满足 BC=FC，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于 D 点，交 AF 的延长线于 E 点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若 tan∠CBA=3，AE=3，求 AF 的长．

25. 如图，已知正方形 OEFG 的顶点 O 与正方形 ABCD 的中心 O 重合，若正方形 OEFG 绕 O 点旋转．
（1）探究：在旋转的过程中线段 BE 与线段 CG 有什么数量关系及位置关系?证明你的结论；
（2）若正方形 ABCD 的边长为 a，探究：在旋转过程中四边形 OMCN 的面积是否发生变化?若不变化求其面积，若变化指出变化过程．
答案
第一部分
1. B【解析】抛 1 枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛 1 枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
2. B
3. C【解析】∵k=−3<0，
∴ 函数 y=−3x 的图象在二、四象限，
又 ∵x<0 时，
∴ 函数 y=−3x 的图象在第二象限．
4. D
5. B
6. A【解析】∵M−2,3 在双曲线 y=kx 上，
∴k=−2×3=−6，
A、 3×−2=−6，故此点一定在该双曲线上；
B、 −2×−3=6≠−6，故此点一定不在该双曲线上；
C、 2×3=6≠−6，故此点一定不在该双曲线上；
D、 3×2=6≠−6，故此点一定不在该双曲线上．
7. D【解析】过 O 作 OC⊥AB 于 C，连接 OA，
则 OC=3，OA=5，
由勾股定理得：AC=OA2−OC2=4，
∵OC⊥AB，OC 过圆心 O，
∴AB=2AC=8．
8. C【解析】圆锥的侧面积 =π×2×5=10π cm2．
9. B【解析】∵ 反比例函数解析式 y=2x 中的 2>0，
∴ 该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内 y 的值随 x 的增大而减小．
又 ∵ 点 P12,y1 和 P23,y2 都位于第一象限，且 2<3，
∴y1>y2>0．
10. B
第二部分
11. 2
【解析】∵ 圆的半径为 5 cm，圆心到一条直线的距离是 3 cm，3<5，即半径大于圆心到直线的距离，
∴ 直线与圆的位置关系是相交，即直线与圆有 2 个交点．
12. 2
【解析】【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．
【解析】解：∵二次函数y=(x−2)2+1，
∴当x=2时，二次函数求得最小值为1．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，二次函数是初中数学最重要的考点之一，掌握其顶点公式是解决问题的关键．
13. ±2
【解析】x2−4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2．
14. −1
【解析】∵ 抛物线 y=x2+2ax+3 的对称轴是直线 x=1，
∴−2a2×1=1，
解得，a=−1．
15. 6
【解析】设反比例函数解析式为 y=kx，
根据题意得 k=3×−4=−2m，解得 m=6．
16. 4π
【解析】∵∠C=90∘，CA=8，CB=6，
∴AB=CA2+CB2=82+62=10，
∴△ABC 的内切圆的半径 =126+8−10=2，
∴△ABC 内切圆的面积 =π×22=4π．
第三部分
17.
∵a=1,b=−3,c=−1,∴b2−4ac=−32−4×1×−1=13.∴x1=3+132,x2=3−132.
18. （1） 如图所示：A13,0，B11,−1，C12,2．
（2） 如图所示：
19. （1） 该种商品每次降价的百分率为 10%；
（2） 第一次降价后至少要售出该种商品 20 件．
20. （1） 由题意，设点 P 的坐标为 m,2．
∵ 点 P 在正比例函数 y=x 的图象上，
∴m=2．
∴ 点 P 的坐标为 2,2．
∵ 点 P 在反比例函数 y=k−1x 的图象上，
∴2=k−12，解得 k=5．
（2） ∵ 在反比例函数 y=k−1x 图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，
∴k−1>0，解得 k>1．
（3） ∵ 反比例函数 y=k−1x 图象的一支位于第二象限，
∴ 在该函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大．
∵ 点 Ax1,y1 与点 Bx2,y2 在该函数的第二象限的图象上，且 y1>y2，
∴x1>x2．
21. （1） 方法一：
画树状图如下：
所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种．
∴ P恰好选中甲、乙两位同学=16．
【解析】方法二：
列表格如下：
甲乙丙丁甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙
所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种．
∴ P恰好选中甲、乙两位同学=16．
（2） P恰好选中乙同学=13．
22. （1）
y=x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=x−22−1．
∴ 顶点 C 的坐标为 2,−1．
当 x≤2 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x>2 时，y 随 x 的增大而增大．
（2） 解方程 x2−4x+3=0，得 x1=3，x2=1．
∴A 点的坐标为 1,0，B 点的坐标为 3,0．
过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D．
∴AB=2，CD=1．
∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2×1=1．
23. （1） ∵ 在 △AME 中，AM=2，ME=1，AE=3，
∴AM2=ME2+AE2，
∴△AME 是直角三角形，
∴∠AEM=90∘，
又 ∵MN∥BC，
∴∠ABC=90∘，
∴AB⊥BC，
而 AB 为直径，
∴BC 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 OM，如图，设 ⊙O 的半径是 r，
在 Rt△OEM 中，OE=AE−OA=3−r，ME=1，OM=r，
∵OM2=ME2+OE2，
∴r2=12+3−r2，
解得 r=233，
即 ⊙O 的半径为 233．
24. （1） 连接 OC，
∵ OC=OA，
∴ ∠BAC=∠OCA，
∵ BC=FC，
∴ ∠BAC=∠EAC，
∴ ∠EAC=∠OCA，
∴ OC∥AE，
∵ DE 切 ⊙O 于点 C，
∴ OC⊥DE，
∴ AE⊥DE．
（2） ∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ △ABC 是直角三角形，
∵ tan∠CBA=3，
∴ ∠CBA=60∘，
∴ ∠BAC=∠EAC=30∘，
∵ △AEC 为直角三角形，AE=3，
∴ AC=23，
连接 OF，
∵ OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60∘，
∴ △OAF 为等边三角形，
∴ AF=OA=12AB，
在 Rt△ACB 中，AC=23，tan∠CBA=3，
∴ BC=2，
∴ AB=4，
∴ AF=2．
25. （1） BE=CG，BE⊥CG，理由如下：
连接 OB，OC，延长 GC 交 BE 于 T 点，交 OE 于 H 点，
∵O 是正方形的中心，
∴OB=OC．
∵∠BOE+∠MOC=90∘，∠COG+∠MOC=90∘，
∴∠BOE=∠COG．
又 OE=OG，
∴△OBE≌△OCGSAS．
∴BE=CG，∠BEO=∠CGO．
∵∠OHG+∠CGO=90∘，∠OHG=∠EHT，
∴∠EHT+∠BEO=90∘，即 ∠HTE=90∘，
∴GC⊥BE．
（2） 在旋转过程中四边形 OMCN 的面积不发生变化，理由如下：
在 △OBM 和 △OCN 中，
∠BOM=∠CON,OB=OC,∠OBM=∠OCN=45∘,
∴△OBM≌△OCNASA，
∴四边形OMCN的面积=△OMC面积+△OCN面积=△OMC面积+△OBM面积=△OBC面积,
△OBC面积=14a2．
∴ 在旋转过程中四边形 OMCN 的面积不发生变化．