人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题29 动态几何之线动形成的面积问题（含解析）

专题29 动态几何之线动形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1. 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直

线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则

y关于x的函数图象大致形状是【    】

【答案】C

【解析】△AMN的面积= AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

解：（1）当0＜x≤1时，如图，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；

（2）当1＜x＜2，如图，

同理证得，△CDB∽△CNM，=，

即=，MN=2-x；

∴y=

AP×MN=x×（2-x），

y=-x2+x；

∵-＜0，

∴函数图象开口向下；

综上答案C的图象大致符合．

故选：C．

本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【    】

　 A．2      B．4       C．8         D．16

【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，转换思想的应用。

3. 如图，在坐标系xOy中，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，A（1，0），B（0，），抛物线的图象过C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分？

【答案】解：（1）∵A（1，0），B（0，），

                ∴OA=1，OB=，AB=2，∠OBA=30°。

                ∵△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，

                ∴AC=，BC=4，且BC∥x轴。

如图所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则

∴OD=BC=4，CD=OB=。

∴C（4，）。

∵点C（4，）在抛物线上，

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为：。

（2）。

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（1，0），B（0，），

∴，解得。

∴直线AB的解析式为。

设直线AC的解析式为y=mx+n，

∵A（1，0），C（4，），

∴，解得。

∴直线AC的解析式为。

在△CGH中，由得，即

解得或（大于4，不合题意，舍去）。

∴当直线l解析式为或时，恰好将△ABC的面积分为1：2的两部分。

【考点】二次函数综合题，动线问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，含30度直角三角形的性质，分类思想的应用。

【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式。

（2）分直线l与AB、AC分别相交两种情况讨论即可。

4. 如图，正方形ABCD的边长是4，点P是边CD上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在边AD延长线上取点F，使DF=DP，连接EF，CF路。

（1）求证：四边形PCFE是平行四边形；

（2）当点P在边CD上运动时，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时CP长；若没有，请说明理由。

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDF=90°。

∵在△ADP和△CDF中，AD=CD，∠ADP=∠CDF，DP=DF，

∴△ADP≌△CDF（SAS）。∴PA=FC，∠PAD=∠FCD。  

∵PA=PE，∴PE=FC。        

∵∠PAD+∠APD=90°，∠EPA=90°，∴∠PAD =∠DPE。                                

∴∠FCD =∠DPE。

∴EP∥FC。

∴四边形EPCF是平行四边形。

∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形。

（2）有。

设CP=x，则DP=4﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，

。

∵a=﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，

∴当x=2 时，S最大=4。

∴当CP=2 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为4。

【考点】四边形综合题，旋转问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。

5.在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（lx）（x为自然数）．

（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有　     　条；

（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=　        　时，P（lx）截得的三角形面积为△ABC面积的．

【答案】（1）1；     （2）或或

【解析】

试题分析：（1）存在另外 1 条相似线．

如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；

故答案为：1；

④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．

故答案为：或或．

考点：相似三角形的判定与性质．

点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．