重庆市北碚区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份重庆市北碚区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021B．﹣C．2021D．
2．下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣4，﹣3）D．（﹣3，﹣3）或（﹣4，﹣4）
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数是0和1
B．等弦所对的圆周角相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
6．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7B．6C．﹣2D．0
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．4C．4D．4
8．如图，线段BC的两端点的坐标为B（4，6），C（7，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（，2）C．（2，2）D．
9．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米
10．若整数a使关于x的分式方程＝﹣3有非负整数解，且使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A．6B．2C．﹣4D．﹣8
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD：DB＝1：3．连接DE，将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，AB∥x轴，BC∥y轴，且点A，C在反比例函数y＝图象上，点B在反比例函y＝图象上．延长AC交x轴于点F，延长OC交y＝于点E，且S△CFE＝2，则k的为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．﹣2﹣2+|﹣2|+2sin60°＝ ．
14．若一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 ．
15．如图，点E是矩形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若AB＝4，BC＝6，则△EDF的周长为 ．
16．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数y＝ax2+bx中a，b的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的概率是 ．
17．体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练，小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟后小宇继续前行，但速度减为原来的，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有 秒二次相遇．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，P为平面内任意一点，CP＝1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共8小题，第26题8分．其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（10分）计算：
（1）（x+2y）2﹣（2x+y）2+x（x+y）；
（2）÷（x+）．
20．（10分）如图，已知△ABC，sinB＝，∠C＝15°．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）在BC边上求作点P，连接PA，使∠PAC＝15°．
（2）在第（1）问图中，过点A作BC边的垂线，交BC于点G，若AB＝3，求CG的长度．
21．（10分）拉尼娜现象再次到来，2020﹣2021或成超级寒冬，穿羽绒服是人们防寒保暖的常见方式．某羽绒服制造厂为了更好，更均匀地填充羽绒，准备新购进一种填充机器．现有甲、乙两种机器填充的标准质量均为200g羽绒，工厂的采购员对甲、乙两种机器填充的若干羽绒服进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（羽绒质量用x表示，共分成四组A：190≤x＜195，B：195≤x＜200，C：200≤x＜205，D：205≤x＜210）并给出了下列信息：
从甲、乙两种机器填充的羽绒服中各自随机抽取10件，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲机器填充羽绒服中B组的数据是：196，198，198，198
乙机器填充羽绒的数据：200，196，205，197，204，199，203，200，200，198
甲、乙机器填充羽绒质量数据分析表
请回答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）请根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是 （填甲或乙）说明你的理由．
（3）若甲、乙两种机器填充的这批羽绒服各有600件，估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有多少件？
22．（10分）初三学生小华是个爱思考爱探究的孩子，他想探究函数y＝x+的图象和性质．
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并观察图象直接写出不等式＜x的解集： ．
23．（10分）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬“，没有腊味，如何能算得上是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了a%（a＞0），每袋香肠的售价减少了a元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了a%，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
24．（10分）定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A是一个“西西数”，从A各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为h（A），如：A＝132，h（132）＝＝3．
（1）求h（187），h（693）的值．
（2）若A，B为两个“西西数”，且h（A）•h（B）＝35，求的最大值．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若E是线段AC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，交AC于H，F是EH的右侧，线段AC上方抛物线上一点，过点F作FQ⊥x轴，交AC于Q，EH与FQ间的距离为2，连接EF，当四边形EHQF的面积最大时，求点E的坐标以及四边形EHQF面积的最大值；
（3）将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N是平面内一点，点M为新抛物线对称轴上一点．若以B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．
26．（8分）如图1，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，CE的延长线与BD交点P，CP与BA相交于点F，现将△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，求证：BP⊥CP；
（2）如图2，若AF＝BF，猜想BP与CP的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）若AC＝DE＝2，在将△ADE绕点A旋转的过程中，请直接写出点P运动路径的长度．
2020-2021学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．﹣2021的绝对值是（ ）
A．﹣2021B．﹣C．2021D．
【分析】根据绝对值的意义即可进行求解．
【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴﹣2021的绝对值为2021．
故选：C．
2．下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．已知点P（a，b）在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣4，﹣3）D．（﹣3，﹣3）或（﹣4，﹣4）
【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P是第三象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标为﹣3，纵坐标为﹣4，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣4）．
故选：B．
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意可得等量关系：甲的钱数+乙的钱数×＝50，乙的钱数+甲的钱数×＝50，然后再列出方程组即可．
【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意得：
，
故选：D．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数是0和1
B．等弦所对的圆周角相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解答】解：A、绝对值等于它本身的数是0和正数，原命题是假命题；
B、在等圆或同圆中，等弦所对的圆周角相等，原命题是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
故选：C．
6．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7B．6C．﹣2D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．2B．4C．4D．4
【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，根据直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理求出OA．
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
8．如图，线段BC的两端点的坐标为B（4，6），C（7，3），以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为（ ）
A．（3，1）B．（，2）C．（2，2）D．
【分析】利于位似的性质得到＝＝＝，则可求出DN＝2，AN＝1，然后写出D点坐标．
【解答】解：∵B（4，6），
∴BM＝6，OM＝4，
∵以点A（1，0）为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，
∴＝＝＝，
即＝＝，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA+AN＝1+1＝2，
∴D点坐标为（2，2）．
故选：C．
9．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米
【分析】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，
∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，
∴＝，
设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，
∴5k＝15，
∴k＝3，
∴DG＝12，CG＝9，
∵EF的坡角为45°，EF＝3，
∴EH＝FH＝3，
∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，
∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，
∴BM＝BN+NM＝15，
在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，
MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，
∴BM＝CM•tan∠BCM，
∴15＝（2BF+12）×0.75，
∴BF＝4，
在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，
∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），
∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．
故选：B．
10．若整数a使关于x的分式方程＝﹣3有非负整数解，且使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A．6B．2C．﹣4D．﹣8
【分析】分别解分式方程和不等式，确定出符合条件的a的整数值，最后计算出结果就行了．
【解答】解：解分式方程得x＝，
∵x＝是非负整数，且x≠2，
∴a是大于且等于﹣6且不等于﹣2的偶数，
又解不等式组得y≥且y＜a，
∵此不等式组无解，
可得a≤，
即a取﹣6，﹣4，0，2，4，
则﹣6﹣4+0+2+4＝﹣4．
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD：DB＝1：3．连接DE，将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB于G，先证四边形GFHB是矩形，可得BG＝FH，由折叠的性质可得DF＝BD＝3，通过证明△AGF∽△ABC，可求GF＝2AG，利用勾股定理可求BG＝FH的长，通过证明△FHC∽△ABC，可得，即可求解．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，作FG⊥AB于G，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形GFHB是矩形，
∴BG＝FH，
∵AB＝4，AD：DB＝1：3，
∴AD＝1，DB＝3，
∵将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，
∴DF＝DB＝3，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴GF＝2AG，
∵DF2＝DG2+DF2，
∴9＝（AG﹣1）2+4AG2，
∴AG＝（负值舍去），
∴BG＝FH＝，
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，
∴AC＝＝＝4，
∵FH∥AB，
∴△FHC∽△ABC，
∴，
∴，
∴FC＝，
故选：A．
12．如图，AB∥x轴，BC∥y轴，且点A，C在反比例函数y＝图象上，点B在反比例函y＝图象上．延长AC交x轴于点F，延长OC交y＝于点E，且S△CFE＝2，则k的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BG⊥x轴于点G，过点E作EN⊥x轴于点N，设点C（a，），求出直线OE的解析式，再结合反比例函y＝求出点E、点B、点A和点F，然后利用S△CFE＝2列出方程求k．
【解答】解：设点C（a，），则直线OE的解析式为：y＝，
由，解得：，
∴点E（2a，），
∵点C（a，），
∴点B（a，），
∴点A（，），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n（k≠0），则
，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝，
∴点F（，0），
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BG⊥x轴于点G，过点E作EN⊥x轴于点N，则
OF＝，CG＝，FN＝2a﹣＝，EN＝，
∴S△CFE＝S△OEN﹣S△CFO﹣S△EFN＝﹣﹣＝2，
∴k＝．
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．﹣2﹣2+|﹣2|+2sin60°＝ ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2﹣+2×
＝﹣+2﹣+
＝．
故答案为：．
14．若一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象不经过第四象限，则k的取值范围是 2＜k≤3 ．
【分析】分一次函数图象经过第一、三象限及一次函数图象经过第一、二、三象限两种情况考虑，当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、三象限时，可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k值；当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限时，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、三象限时，，
∴k＝3；
当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限时，，
∴2＜k＜3．
综上，k的取值范围是2＜k≤3．
故答案为：2＜k≤3．
15．如图，点E是矩形ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若AB＝4，BC＝6，则△EDF的周长为 4+2 ．
【分析】由题意可得DE＝2，AE＝4，根据勾股定理可得BE＝，从而得到△ABE的周长，再证明△ABE∽△DFE，由周长比等于相似比即可得到答案．
【解答】解：∵，BC＝AD＝6，
∴DE＝2，AE＝4，
在直角三角形ABE中，由勾股定理可得BE＝＝，
∴△ABE的周长为4+4+＝8+4，
∵∠A＝∠EDF，∠AEB＝∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∴△ABE和△DFE的周长比为2，
∴△DFE的周长为4+2．
故答案为：4+2．
16．现从四个数1，2，﹣1，﹣3中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数y＝ax2+bx中a，b的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所得二次函数满足开口方向向下（a＜0）且对称轴在y轴右侧（﹣＞0）的结果有4个，
∴所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y轴右侧的概率为＝，
故答案为：．
17．体育训练课上，小健同学与小宇同学在AB之间进行往返蛙跳训练，小健先出发10s，小宇随后出发．当小宇恰好追上小健时，王老师立即飞奔3秒到小宇身边对他进行指导，一分钟后小宇继续前行，但速度减为原来的，小健和小宇相距的路程y（米）与小健出发时间t（秒）的关系如图所示，则当小宇再次出发时，两人还有 秒二次相遇．
【分析】由A（10，10）可得小健的速度v1＝1米/秒，由B（25，0），可得小宇的速度v2＝米/秒，再判断当t＝120时，小健从到达B点，返回A点，计算此时小宇与B点的距离为米，再计算路程除以二人的速度和，从而可得答案．
【解答】解：如图，
由题意可得：A（10，10），B（25，0），
∴小健的速度v1＝10÷10＝1（米/秒），小宇的速度v2＝（25×1）÷15＝（米/秒），
由函数图像DE段，EF段的含义可得：
当t＝120时，AB＝120×1＝120（米），
∴小宇跳了18×+（110﹣18﹣60）×（米），
此时小宇距离B点120﹣（米），
当小宇再次出发到相遇，还需要：
（120﹣88）+（秒），
故答案为：．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，P为平面内任意一点，CP＝1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为 ．
【分析】根据正方形的性质证明△QDA＝△PDC（SAS），得出点Q在以点A为圆心，1为半径的圆上运动，根据题意判断计算即可．
【解答】解：由题意可知DQ＝DP，∠QDP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADC﹣∠ADP＝∠QDP﹣∠ADP，
即∠QDA＝∠PDC，
∴△QDA≌△PDC（SAS），
∴QA＝PC＝1，
∴点Q在以点A为圆心，1为半径的圆上运动，
如图所示，在AD上取一点E，使AE＝，则＝＝，
∴△QAE∽△DAQ，
∴QE＝QD，DQ+CQ＝CQ+QE＞CE，
当Q位于Q′的位置时，DQ+CQ取得最小值CE，
∴CE＝＝＝，
∴DQ+3CQ＝3（DQ+CQ）的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8小题，第26题8分．其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．（10分）计算：
（1）（x+2y）2﹣（2x+y）2+x（x+y）；
（2）÷（x+）．
【分析】(1)先按照完全平方公式,单项式乘以多项式的法则计算整式的乘法,再合井同类项即可得到答案；
(2)先计算括号内的分式的加减运算,再把除法转化为乘法运算,约分后可得答案．
【解答】解:(1)(x+2y)2﹣(2x+y)2+x(x+y)
＝x2+4xy+4y2﹣4x2﹣4xy﹣y2+x2+xy
＝﹣2x2+xy+3y2；
(2)
＝
＝
＝
＝．
20．（10分）如图，已知△ABC，sinB＝，∠C＝15°．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（1）在BC边上求作点P，连接PA，使∠PAC＝15°．
（2）在第（1）问图中，过点A作BC边的垂线，交BC于点G，若AB＝3，求CG的长度．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点P，连接PA即可．
（2）根据要求作出图形，求出AG，PG，PC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．
（2）如果，直线AG即为所求作，
在Rt△ABG中，sin∠B＝，AB＝3，
∴AG＝1，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠C＝15°，
∴∠APG＝∠PAC+∠C＝30°，
∴PA＝PC＝2AG＝2，PG＝AG＝，
∴CG＝PG+PC＝+2．
21．（10分）拉尼娜现象再次到来，2020﹣2021或成超级寒冬，穿羽绒服是人们防寒保暖的常见方式．某羽绒服制造厂为了更好，更均匀地填充羽绒，准备新购进一种填充机器．现有甲、乙两种机器填充的标准质量均为200g羽绒，工厂的采购员对甲、乙两种机器填充的若干羽绒服进行了抽样调查，对数据进行分类整理分析（羽绒质量用x表示，共分成四组A：190≤x＜195，B：195≤x＜200，C：200≤x＜205，D：205≤x＜210）并给出了下列信息：
从甲、乙两种机器填充的羽绒服中各自随机抽取10件，测得实际质量x（单位：g）如下：
甲机器填充羽绒服中B组的数据是：196，198，198，198
乙机器填充羽绒的数据：200，196，205，197，204，199，203，200，200，198
甲、乙机器填充羽绒质量数据分析表
请回答下列问题：
（1）a＝ 40 ，b＝ 198 ，c＝ 200 ．
（2）请根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是 乙 （填甲或乙）说明你的理由．
（3）若甲、乙两种机器填充的这批羽绒服各有600件，估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有多少件？
【分析】（1）用B组的数据的个数除以10可得a的值，先求出甲种A组数据的个数，再根据中位数求解可得b的值，继而根据众数的定义即可得出c的值；
（2）比较平均数和方差即可得出答案（答案不唯一，合理均可）；
（3）用总数量乘以样本中C组的数量所占比例即可．
【解答】解：（1）a%＝×100%＝40%，即a＝40，
∵甲种机器填充的羽绒服A组数量为10×20%＝2，
∴甲种机器填充的羽绒服质量的中位数b＝＝198（g），
乙种机器填充羽绒服质量的众数c＝200g，
故答案为：40、198、200；
（2）根据以上数据判断羽绒填充机情况比较好的是乙，
理由：乙种机器填充的羽绒服质量的平均数大于甲，且乙种机器填充的羽绒服质量的方差小于甲，即乙机器更加稳定．
故答案为：乙．
（3）600×30%＝180（件），600×＝300（件），
180+300＝480（件），
答：估计这批羽绒服的质量属于C类的数量共有480件．
22．（10分）初三学生小华是个爱思考爱探究的孩子，他想探究函数y＝x+的图象和性质．
（1）上表是该函数y与自变量x的几组对应值，则a＝ 4 ，m＝ ﹣4 ，n＝ 4 ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；
（3）由函数图象，写出该函数的一条性质： 函数图象关于原点对称 ；
（4）请在同一个平面直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，并观察图象直接写出不等式＜x的解集： ﹣2＜x＜0或x＞2 ．
【分析】（1）把（1，5）代入y＝x+即可求得a的值，将x＝﹣2，y＝5分别代入解析式即可求得m、n，
（2）描点、连线画图即可；
（3）观察坐标的特点，可得出函数图象是一个关于原点成中心对称的图形；
（4）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把（1，5）代入y＝x+得，5＝1+a，
∴a＝4，
∴y＝x+
当x＝﹣2时，y＝﹣2+＝﹣4；
当y＝5时，则5＝x+，解得x＝1或4，
∴m＝﹣4，n＝4；
故答案为4，﹣4，4．
（2）如图：
（3）观察坐标的特点，函数图象关于原点对称；
故答案为函数图象关于原点对称；
（4）观察图象，不等式＜x的解集为﹣2＜x＜0或x＞2．
故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．
23．（10分）俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬“，没有腊味，如何能算得上是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元．12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了a%（a＞0），每袋香肠的售价减少了a元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了a%，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
【分析】（1）设每袋腊肉的进价是x元，则每袋香肠的进价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设12月份上半月，该店售出4y袋腊肉，则售出3y袋香肠，利用销售利润＝每袋的销售利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出腊肉及香肠得销售量，再利用销售利润＝每袋的销售利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每袋腊肉的进价是x元，则每袋香肠的进价是（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝50．
答：每袋腊肉的进价是40元，每袋香肠的进价是50元．
（2）设12月份上半月，该店售出4y袋腊肉，则售出3y袋香肠，
依题意得：（60﹣40）×4y+（80﹣50）×3y＝3400，
解得：y＝20，
∴4y＝80，3y＝60．
∵下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元，
∴[60(1+a%)﹣40]×80(1+a%)+(80﹣a﹣50)×60×（1+）＝3400+864，
整理得：0.24a²+24a﹣264＝0，
即a²+100a﹣1100＝0，
解得：a1＝10，a2＝﹣110（不合题意，舍去）．
答：a的值为10．
24．（10分）定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A是一个“西西数”，从A各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为h（A），如：A＝132，h（132）＝＝3．
（1）求h（187），h（693）的值．
（2）若A，B为两个“西西数”，且h（A）•h（B）＝35，求的最大值．
【分析】（1）利用新定义可以求出结果；
（2）利用（1）中计算发现定义计算规律，再对h（A）、h（B）分类讨论，计算出结果．
【解答】解：（1）由新定义可求得：h（187）＝＝8，
h（693）＝＝9；
（2）由新定义和（1）的计算结果可知：h（A）或h（B）都等于A或B的十位数，
又由h（A）•h（B）＝35可知h（A）＝5，h（B）＝7或h（A）＝7，h（B）＝5或h（A）＝35，h（B）＝1（舍去）或h（A）＝1，h（B）＝35（舍去），
当h（A）＝5，h（B）＝7时，A等于154、451、253或352，B等于176、671、275、572、374或473，此时的最大值是＝；
当h（A）＝7，h（B）＝5时，A等于176、671、275、572、374或473，B等于154、451、253或352，此时的最大值是．
∵，
∴的最大值是．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若E是线段AC上方抛物线上一点，过点E作EH⊥x轴，交AC于H，F是EH的右侧，线段AC上方抛物线上一点，过点F作FQ⊥x轴，交AC于Q，EH与FQ间的距离为2，连接EF，当四边形EHQF的面积最大时，求点E的坐标以及四边形EHQF面积的最大值；
（3）将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点N是平面内一点，点M为新抛物线对称轴上一点．若以B，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．
【分析】（1）代入A、B两点坐标值到解析式，得到方程组并求解得到a、b的值，即可求得抛物线角析式．
（2）求出直线AC的解析式，利用两点的纵坐标之差再求得EH、FQ两条线段的长；将四边形EHQF分割为△EHQ和△FQE，这两个三角形等的高即是EH与FQ间的距离2，利用三角形面积计算公式可推导得四边形EHFQ的面积即为EH+FQ的值；再利用四边形面积的表达式求最值和E点坐标．
（3）抛物线向右平移1个单位得到的新抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，线段BC的长为，再分类讨论M点的位置并借助图象即可求出N点的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）将x＝0 代入y＝﹣x2﹣x+2得y＝2，，
∴C为（0，2）
设直线AC解析式为y＝kx+t，
代入A（﹣5，0）、C（0，2）得，解得
∴直线AC解析式为y＝x+2，
设E为（m，﹣m2﹣m+2），则F为（m+2，﹣（m+2）2﹣（m+2）+2），
H为（m，m+2），Q为（m+2，（m+2）+2），
∴EH＝（﹣m2﹣m+2）﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m，
FQ＝﹣（m+2）2﹣（m+2）+2﹣[（m+2）+2]＝﹣m2﹣m﹣，
∵EH与FQ间的距离为2，
∴S四边形EHQF＝×2•EH+×2•FQ
＝EH+FQ
＝（﹣m2﹣2m）+（﹣m2﹣m﹣）
＝﹣m2﹣m﹣
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S四边形EHQF最大为，
此时将m＝﹣ 代入y＝﹣m2﹣m+2得y＝，
∴E（﹣，），四边形EHQF面积的最大值为；
（3）抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线x＝+1＝﹣1，
∴M在直线x＝﹣1上，
∵B为（1，0），C为（0，2），
∴BC＝＝，
分以下三种情况讨论：
①当CM和BN互为对边时，如图：
∵四边形BCMN是菱形，
∴BM、CN互相垂直平分，
∴N为（0，﹣2）；
②当BM和CN互为对边时，如图：
∵BM＝BC＝，
∴M（﹣1，1）或（﹣1，﹣1），
将BM平移，B移动到C，则M移动到N，
∴N为（﹣2，3）或（﹣2，1）；
③当MN垂直平分BC时，如图：
设M（﹣1，s），N（r，v），
∵BC中点即是MN中点，
∴，即，
又BM＝BN，
∴（﹣1﹣1）2+（s﹣0）2＝（1﹣r）2+（v﹣0）2，即4+s2＝（1﹣r）2+v2，
解得s＝，r＝2，v＝，
∴N（2，），
综上，N的坐标为（0，﹣2）或（﹣2，1）或（﹣2，3）或（2，）．
26．（8分）如图1，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，CE的延长线与BD交点P，CP与BA相交于点F，现将△ADE绕点A旋转．
（1）如图1，求证：BP⊥CP；
（2）如图2，若AF＝BF，猜想BP与CP的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）若AC＝DE＝2，在将△ADE绕点A旋转的过程中，请直接写出点P运动路径的长度．
【分析】（1）证明△DAB≌△EAC（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，由∠BFD＝∠CFA，可得∠BPF＝∠CAF＝90°．
（2）如图2中，结论：PC＝3PB．过点A作AT⊥PC于T，AJ⊥BD交BD的延长线于J．首先证明四边形AJPT是正方形，证明Rt△ABT≌RtACT（HL），推出CT＝BJ，证明△BPF≌△ATF（AAS），推出BP＝AT＝JP，可得结论．
（3）点P的BC为直径的圆上运动，设轨迹为，BC的中点为O，连接OM，ON．求出∠BOM的最小值为30°，∠NOC的最小值为30°，可得∠MON＝180°﹣30°﹣30°＝120°，利用弧长公式求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BFD＝∠CFA，
∴∠BPF＝∠CAF＝90°，
∴BP⊥CP．
（2）解：如图2中，结论：PC＝3PB．
理由：过点A作AT⊥PC于T，AJ⊥BD交BD的延长线于J．
∵△BAD≌△CAE，
∴AT＝AJ（全等三角形的对应边上的高相等），
∵∠J＝∠ATP＝∠JPT＝90°，
∴四边形AJPT是矩形，
∵AJ＝AT，
∴四边形AJPT是正方形，
∴PT＝AT＝AJ＝PJ，
∵∠J＝∠ATC＝90°，AB＝AC，AJ＝AT，
∴Rt△ABT≌RtACT（HL），
∴CT＝BJ，
∵∠BPF＝∠ATF＝90°，∥BFP＝∠AFT，AF＝BF，
∴△BPF≌△ATF（AAS），
∴BP＝AT＝JP，
∴CT＝2PB＝2PT，
∴PC＝3BP．
（3）如图3中，
∵BP⊥PC，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的BC为直径的圆上运动，设轨迹为，BC的中点为O，连接OM，ON．
当AE⊥CP时，∵AC＝DE＝2，
∴DE＝，
∴AD＝AE＝1，
∴AC＝2AE，
∴∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝15°，
∵OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM＝15°，
∴∠BON＝∠OCM+∠OMC＝30°，
∴∠BOM的最小值为30°，
同法可证，∠NOC的最小值为30°，
∴∠MON＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵BC＝AC＝2，
∴OM＝ON＝OB＝，
∴点P的运动轨迹的长＝＝π．
填充机器
甲
乙
平均数
199.3
200.2
中位数
b
200
众数
198
c
方差
15.21
7.96
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
2
n
6
…
y
…
﹣
﹣5
m
﹣5
﹣
5
4
5
…
填充机器
甲
乙
平均数
199.3
200.2
中位数
b
200
众数
198
c
方差
15.21
7.96
x
…
﹣6
﹣4
﹣2
﹣1
﹣0.5
0.5
1
2
n
6
…
y
…
﹣
﹣5
m
﹣5
﹣
5
4
5
…