初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册1 二元一次方程组学案

第七章    二元一次方程组

7.1    二元一次方程组

知 识 梳 理

知识点1  二元一次方程的有关概念

1.定义:含有_______个未知数，并且所含未知数的项的次数都是_______的方程叫做二元一次方程.

2.一般形式:____________（a≠0，b≠0，a，b，c均为常数）.理解定义时需注意以下四点:

（1）具有两个未知数；             （2）未知项的次数是1；

（3）等号两边的代数式是整式；     （4）方程需要化简后再判断。

注意（1）“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知项的次数是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数为1，未知“项”不能说成未知“数”.（3）二元一次方程的左边和右边都是整式.（4）判断某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax＋by＋c＝0的形式，再根据定义判断例如，2x＋4y＝3＋2x不是二元一次方程，因为通过移项，原方程变为4y＝3，不符合二元一次方程的形式。

3.二元一次方程的一个解:

适合一个二元一次方程的一组__________的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4.二元一次方程的解的求法:

先用含其中一个未知数的代数式表示_________________，然后求出它的一个解。

知识点2  二元一次方程组的有关概念

1.二元一次方程组的定义:

含有_______个未知数的________个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 它的一般形式是（其中a1，a2，b1，b2中至少有两个不为0，a1与b1，a2与b2不同时为0）。

2.二元一次方程组的解:

二元一次方程组中各个方程的________叫做这个二元一次方程组的解。

考 点 突 破

考点1:  二元一次方程的定义

【典例1】下列方程：①2x＋y＝-1；②＝0；③y＋3＝11；④x＋＝2；⑤x2-2y＝1；

⑥3x-2y4z＝0中，二元一次方程的个数为（     ）

A.1     B.2      C.3     D.4

思路导析:此题要紧扣二元一次方程的定义:（1）两个未知数；（2）未知项的次数都是1；（3）看是不是整式方程.这样来考虑辨析，①②是二元一次方程，③是一元一次方程，④中不是整式，⑤中x2项的次数是2，⑥中含有三个未知数。

答案:B

友情提示：二元一次方程必须满足下列条件:①整式方程（即未知数不能在分母的位置上）；②未知数个数是2；③未知项的次数是1。

变式1下列方程:①x＝y-1；②＝1；③m2-1＝n；④5xy＝7；⑤7x2＋5y＝2；⑥11x＝6y＋5.其中是二元一次方程的有_____________（填序号）.

变式2已知（m＋1）＋y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝__________。

考点2:  二元一次方程（组）的解

【典例2】判断下列各组数是不是二元一次方程组的解（1）（2）

思路导析:将每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①又满足方程②的是此方程组的解，否则就不是。

解:（1）将代入方程①，左边＝2×7-7＝7，右边＝5，左边≠右边，所以不满足方程①，故不是原方程组的解。

（2）将代入方程①，左边＝2×3-1＝5＝右边，所以满足方程①；

将代入方程②，左边＝3×3＋1＝10＝右边，所以也满足方程②，故是原方程组的解。

友情提示：检验一对数是不是某个方程组的解，当发现这对数不满足其中某一个方程时，无需继续检验，就可以判定它不是此方程组的解；当验证这对数满足其中某一个方程时，还必须继续检验是否满足方程组中其他方程，只有同时满足方程组中所有的方程，它才是此方程组的解。

变式3下列各组数中，既是2x-y＝3的解，又是3x＋4y＝10的解的是（     ）

A.    B.    C.    D.

变式4二元一次方程x＋2y＝5的正整数解有_________组。

考点3:  根据题意列方程组

【典例3】夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（     ）

A.  B.  C.  D.

思路导析:由A，B两种型号的风扇两周内共销售30台，可列方程x＋y＝30；由两种型号的风扇两周

内销售收入5300元，可列方程200x＋150y＝5300，故得方程组为

答案:C

变式5 中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题:“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两.问牛羊各直金几何？”译文:今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两，y两，依题意，可列出方程组为_________________。

巩 固 提 高

1.下列不是二元一次方程组的是（    ）

A.     B.     C.     D.

2.方程组＝＝x＋y-4的解是（    ）

A.     B.     C.     D.

3.已知是方程2x-ay＝3的一个解，那么a的值是（    ）

A.1     B.3     C.-3     D.-1

4.为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（    ）

A.4种     B.3种     C.2种     D.1种

5.某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元，如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（      ）

A.    B.     C.    D.

6.方程5x＋2y＝-9与下列方程构成的方程组的解为的是（    ）

A.x＋2y＝1     B.3x＋2y＝-8     C.5x＋4y＝-3     D.3x-4y＝-8

7.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场，负y场，则可列出方程组为_______________。

8.已知方程3x-4y＝1，用含x的式子表示y得___________；用含y的式子表示x得______________。

9.请写出一个二元一次方程组_______________，使它的解是

10.若关于x，y的二元一次方程3x-ay＝1有一个解是则a＝___________________。

11.已知3-x＋2y＝0，则3x-6y＋9的值是_____________________。

真 题 训 练

1.（2018·北京）方程组的解为（    ）

A.     B.    C.    D.

2.（2018·福建B）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为:现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（    ）

   A.     B.    C.    D.

3.（2018·绥化）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品都购买），其中甲种体育用品每件20元，乙种体育用品每件30元，共用去150元请你设计一下，共有_________种购买方案。

参考答案及解析

知识梳理

知识点1:  1.两    1    2.ax＋by＋c＝0

3.未知数     4.另一个未知数

知识点2:  1.两    两    2.公共解

考点突破1.①②⑥    2.1    3.C    4.2    5.

巩固提高

1.A  2.D  3.A  4.B  5.B  6.D

7.，     8.   

9.答案不唯一，如:

10.4     11.18

真题训练

1.D    2.A    3.两