数学八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试测试题

这是一份数学八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试测试题，共27页。试卷主要包含了问题探究等内容，欢迎下载使用。

专题03 三角形的证明 易错题之解答题（20题）
等腰三角形 有关的易错题
1．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°．

【答案】（1）证明见解析；（2）75．
【分析】
（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可；
（2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数.
【详解】
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为75．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
2．（2020·四川八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解】
解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
3．（2020·浙江八年级期末）
如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．

(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）等腰三角形，理由见解析
【详解】
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
4．（2020·天津东丽区·八年级期末）如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．

【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC是解决本题的关键.
5．（2020·浙江八年级期末）如图所示,在△ABC 中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC,交AB于点E,交AC于点F.

(1)若∠ABC=40°,∠ACB=60°,求∠BOE+∠COF的度数;
(2)若△AEF的周长为8 cm,且BC=4 cm,求△ABC的周长.
【答案】（1）∠BOE+∠COF=50°；（2）12cm.
【分析】
（1）两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得到 从而求得∠BOE+∠COF的度数.
（2）根据,可得△FOC、△EOB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB，进而可得到△ABC的周长．
【详解】
解:(1)∵EF∥BC,
∴∠OCB=∠COF,∠OBC=∠BOE.
又∵BO,CO分别是∠BAC和∠ACB的角平分线,
∴∠COF=∠FCO=∠ACB=30°,∠BOE=∠OBE=∠ABC=20°.
∴∠BOE+∠COF=50°.
(2)∵∠COF=∠FCO,∴OF=CF.
∵∠BOE=∠OBE,∴OE=BE.
∴△AEF的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=8 cm.
∴△ABC的周长=8+4=12(cm).
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质；对相等的线段进行有效等量代换是解答本题的关键．
6．（2020·肇庆市八年级期末）问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）证明：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
问题变式：
（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.
【分析】
（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；
（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．
【详解】
解：（1）如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；
（3）（Ⅰ）如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180-45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，
故答案为90°；
（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
故答案为AE=BE+2CM．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
Part2 与 直角三角形 有关的易错题
7．（2020·云南曲靖市·八年级期末）如图是一块地，已知AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，且CD⊥AD，求这块地的面积．

【答案】
【分析】
连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
【详解】
解：连接AC，
∵CD⊥AD
∴∠ADC=90°，
∵AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，
∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=
【点睛】
本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．（2020·河北邯郸市·八年级期末）阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：
（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；
（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．
【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【分析】
（1）根据两点间的距离公式计算；
（2）根据勾股定理的逆定理解答．
【详解】
解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13；
(2)△AOB是直角三角形，
理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5，
BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20，
AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25，
则AO2+BO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形.
【点睛】
本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．（2020·甘肃陇南市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．

【答案】(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【分析】
（1）连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由CD与AD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形ACD为直角三角形，再由等腰直角三角形的性质，根据∠BCD=∠ACB+∠ACD即可求出；
（2）四边形ABCD面积=三角形ABC面积+三角形ACD面积，求出即可．
【详解】

(1)连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，
根据勾股定理，得AC＝＝6，∠ACB＝45°，
∵CD＝8，AD＝10,
∴＝＋,
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°；
(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝×3×3＋×6×8
＝9＋24
＝33.
故答案为(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理.
10．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．

（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）∠D是直角．理由见解析；（2）234.
【分析】
（1）连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可；
（2）根据△ACD和△ACB的面积之和等于四边形ABCD的面积，进行计算即可．
【详解】
（1）∠D是直角．理由如下：
连接AC．
∵AB=20，BC=15，∠B=90°，
∴由勾股定理得AC2=202+152=625．
又∵CD=7，AD=24，
∴CD2+AD2=625，
∴AC2=CD2+AD2，
∴∠D=90°．
（2）四边形ABCD的面积=AD•DC+AB•BC=×24×7+×20×15=234．

【点睛】
考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键．
11．（2020·浙江绍兴市·八年级期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

（习题回顾）已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点.求证：；
（变式思考）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，则与还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在中，上存在一点，使得，的平分线交于点.的外角的平分线所在直线与的延长线交于点.直接写出与的数量关系.
【答案】[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出=；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CAE=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线   AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
12．（2020·广东云浮市·八年级期末）如图，在△ABC中，，，，.
求△ABC的周长；
判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由.

【答案】（1）54；（2）不是直角三角形，理由见解析.
【分析】
（1）在和中，利用勾股定理分别求得AB与AC的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
【详解】
解：,
.
在和中，
根据勾股定理得，，
又，，，
，
；
不是直角三角形.理由：
，
，
不是直角三角形.
【点睛】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
Part3 与 线段的垂直平分线 有关的易错题
13．（2020·广西玉林市·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）65°（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
【点睛】
本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
14．（2020·山东临沂市·八年级期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接

（1）若，则的度数是 度
（2）若，的周长是
①求的长度；
②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值
【答案】（1）40°；（2）①8；②
【分析】
（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度；
②当点与点重合时，周长的最小，即为的周长.
【详解】
解：（1），

，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）①，
的周长是，
即
，
，
，
．
答：的长度为．
②点B关于MN对称点为A，AC与MN交于点M，
∴当点与点重合时，周长的值最小，且为AC+BC=10+8=18cm，
∴的周长的最小值为．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
15．（2020·河北邯郸市·八年级期末）如图，直线l与m分别是边AC和BC的垂直平分线，它们分别交边AB于点D和点E.

（1）若，则的周长是多少？为什么？
（2）若，求的度数.
【答案】（1）10；（2）
【分析】
根据垂直平分线定理即可推出，同理，即的周长为10
由垂直平分线定理可得，，再根据三角形内角和定理，即，再由三角形外角和定理得 ，即可计算出.
【详解】
解：（1）的周长为10
∵l是AC的垂直平分线∴
同理
∴的周长
（2）∵l是AC的垂直平分线∴
同理
∴，
∵①
∴
∵
∴②
联立①②，解得：
【点睛】
本题考查垂直平分线和三角形的内角和定理，熟练掌握垂直平分线定理推出=AB是解题关键.
16．（2020·云南昆明市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
17．（2020·浙江金华市·八年级期末）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）

【答案】解：作出线段AB的垂直平分线；作出l1 l2和夹角的角的平分线．它们的交点即为所求作的点C（2个）．

【解析】
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个．
Part4 与 角平分线 有关的易错题
18．（2020·河南三门峡市·八年级期末）在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、．
⑴如图①，若，求的度数；
⑵如图②，若，求的度数；
⑶若，直接写出用表示大小的代数式．

【答案】（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）当0<α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°．
【分析】
(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入数据进行计算即可得解；
(2)同(1)的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解；
(3)根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答．
【详解】
(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
(3)当0<α＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；
当α＞90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
19．（2020·甘肃天水市·八年级期末）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）

【答案】见解析.
【分析】
分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【详解】
如图，点P为所作．

【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
20．（2020·江苏南通市八年级期末）如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．

【答案】证明见解析．
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．（2020·山东临沂市·八年级期末）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，若，

（1）求的度数；
（2）写出与的数量关系 ，并证明你的结论
【答案】（1）15°；（2），理由见解析
【分析】
（1）先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，求出，然后利用计算即可．
（2）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系．
【详解】
解：（1），，，
．
是的角平分线，
．
为的外角，
．
是的高，
．
．
（2）由（1）知，

又．
，
．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（2020·广东深圳市·八年级期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）70°
【分析】
（1）根据AF平分∠DAC得出∠DAF＝∠CAF，再根据AF∥BC求得∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB则可证明△ABC是等腰三角形；（2）根据AB＝AC，∠B＝40°，可求出∠ACE的角度，再根据CG平分∠ACE求出，则利用AF∥BC求出∠AGC的度数．
【详解】
（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝70°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握角平分线、平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键.
23．（2020·福建泉州市·八年级期末）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

【答案】答案作图见解析
【分析】
根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．
【详解】
解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个．
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．

考点：作图-应用与设计作图
24．（2020·武穴市龙坪镇中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．
（1）求证：∠ABO＝∠CAD；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．

【答案】（1）见解析；（2）50；（3）7.
【分析】
（1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，证明△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，得到D点的坐标为（4，﹣3），根据三角形的面积公式计算；
（3）作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，根据角平分线的性质得到EH＝EG，证明△EBH≌△EOG，得到EB＝EO，根据等腰三角形的判定定理解答．
【详解】
（1）在四边形ABCD中，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，如图1

∵B（0，7），C（7，0），
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝45°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCO＝∠DCO＝45°，
∵AF⊥BC，AE⊥CD，
∴AF＝AE，∠FAE＝90°，
∴∠BAF＝∠DAE，
在△ABF和△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD，
同理，△ABO≌△DAG，
∴DG＝AO，BO＝AG，
∵A（﹣3，0）B（0，7），
∴D（4，﹣3），
S四ABCD＝AC•（BO+DG ）＝50；

（3）过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，如图2

∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，
∴EH＝EG，
∵∠BCO＝∠BEO＝45°，
∴∠EBC＝∠EOC，
在△EBH和△EOG中，
，
∴△EBH≌△EOG（AAS），
∴EB＝EO，
∵∠BEO＝45°，
∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°，
∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°，
∴BF＝BO＝7．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．