数学必修53.2 一元二次不等式及其解法达标测试

　一元二次不等式及其解法习题课

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.不等式>0的解集是 (　　)

A.

B.(4,+∞)

C.(-∞,-3)∪(4,+∞)

D.(-∞,-3)∪

【解析】选D.原不等式等价于(2x-1)(x+3)>0,且x+3≠0,

所以不等式的解集为(-∞,-3)∪

2.已知A={x|(x-a+1)(x-a)>0},B={x|>0},若B是A的真子集,则a的取值范围为 (　　)

A.a≤-2    B.a≤-2或a≥2

C.a≥2    D.-2≤a≤1

【解析】选B.A={x|(x-a+1)(x-a)>0}=(-∞,a-1)∪(a,+∞), B==(-2,1),

因为B是A的真子集,故1≤a-1或a≤-2,

解得a≤-2或a≥2.

3.关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),则关于x的不等式>0的解集为

 (　　)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)

B.(-1,2)

C.(1,2)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

【解析】选B.因为ax-b>0的解集为(-∞,1),

所以a-b=0且a<0则b<0,

因为>0,

所以(ax+b)(x-2)>0,即a(x+1)(x-2)>0,

解得:-1<x<2,

所以不等式>0的解集为(-1,2).

4.(2019·景德镇高二检测)关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是R,则实数a的取值范围为              (　　)

A.{2}    B.

C.     D.

【解析】选C.当a2-4=0时,显然不满足题意.关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是R,

所以

解得此不等式组无解.

5.(2019·无锡高一检测)已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是              (　　)

A.0≤k≤1    B.0<k≤1

C.k<0或k>1    D.k≤0或k≥1

【解析】选A.当k=0时,不等式为8≥0恒成立,符合题意;

当k>0时,若不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,

则△=36k2-4k(k+8)≤0,解得0<k≤1;

当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能对任意x∈R恒成立.

综上,k的取值范围是0≤k≤1.

6.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是              (　　)

A.100台   B.120台

C.150台   D.180台

【解析】选C.由已知得,25x≥3 000+20x-0.1x2,

即0.1x2+5x-3 000≥0,

所以(x-150)(x+200)≥0,

解得x≥150或x≤-200(舍),

所以最低产量为150台.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.不等式<2的解集为________. 

【解析】因为<2,

所以-2<0,即=<0,

所以<0等价于x(x-1)>0,

解得x<0或x>1,

所以不等式<2的解集为{x|x<0或x>1}.

答案:{x|x<0或x>1}

8.若不等式2x>x2+a对于一切x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围为________. 

【解析】因为2x>x2+a,所以a<2x-x2,

因为2x-x2=-(x-1)2+1在x∈[-2,3]的最小值为-8,

所以实数a的取值范围为a<-8.

答案:a<-8

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.不等式mx2+2(m+1)x+9m+4<0的解集为R,求实数m的取值范围.

【解析】mx2+2(m+1)x+9m+4<0恒成立.

当m=0时,2x+4<0并不恒成立;

当m≠0时,

得

所以m<-.

所以m的取值范围是m<-.

10.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,求k的取值范围.

【解析】函数f(x)图象对称轴为x=.

①当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,

解得k<3,故k∈;

②当-1≤≤1,即2≤k≤6时,

只需f=+(k-4)×+4-2k>0,即k2<0,故k∈.

③当>1,即k<2时,

只需f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1,

故k<1,

综上,k的取值范围是(-∞,1).

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.如果不等式(m+1)x2+2mx+m+1>0对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是

 (　　)

A.m>-1    B.-1<m<-

C.m>-     D.m<-1或m>-

【解析】选C.当m+1=0时,不等式可化为-2x>0,不满足条件.

当m+1≠0时,由已知,

解得m>-.

2.已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=,则A∩(RB)= (　　)

A.(-1,2)  B.(-1,1)  C.(-1,2]  D.(-1,1]

【解析】选D.由x2+x-2≤0,得-2≤x≤1.

所以A={x|x2+x-2≤0}=[-2,1],

由≥0,得x≤-1或x>2.

所以B=(-∞,-1]∪(2,+∞).

则RB=(-1,2],所以A∩(RB)=(-1,1].

3.不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是,则实数a的取值范围是

 (　　)

A.[-1,3)    B.(-1,3]

C.(-1,3)    D.[-1,3]

【解析】选C.因为不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是,即x2-2x-(a2-2a-4)≤0的解集为,所以Δ=4+4(a2-2a-4)<0,

所以a2-2a-3<0,所以-1<a<3.

4.若不等式ax2+5x+c>0的解集为,则a,c的值为 (　　)

A.a=6,c=1   B.a=-6,c=-1

C.a=1,c=6   D.a=-1,c=-6

【解析】选B.易知a<0,

且解得,

5.(2019·牡丹江高一检测)已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是              (　　)

A.(-∞,2]   B.(-∞,4]

C.[2,+∞)   D.[4,+∞)

【解析】选D.由题得,

所以b=4,c=6,所以f(x)=-2x2+4x+6.

因为对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,

所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,

因为y=2x2-4x-2在[-1,0]上的最大值为4.

所以m≥4.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.(2019·宣城高一检测)对任意实数x,不等式(a-3)x2-2(a-3)x-6<0恒成立,则实数a的取值范围是__________. 

【解析】①当a-3=0,即a=3时,不等式为:-6<0,恒成立,则a=3满足题意,

②当a-3≠0,即a≠3时,不等式恒成立,则需:

解得:a∈,综上所述:a∈.

答案:(-3,3]

7.已知a∈R,不等式≥1的解集为P,且-2∈P,则a的取值范围是________. 

【解析】根据题意,不等式≥1的解集为P,且-2∈P,

则有≥1,即≤-1,

变形得:(a+3)(a-2)≤0且a-2≠0,

解得:-3≤a<2,

即a的取值范围为[-3,2).

答案:[-3,2)

8.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,则实数a的取值范围是________. 

【解析】f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],

由f(x)<0,得a-1<x<a+1,

所以f(f(x))<0可化为a-1<f(x)<a+1,

而f(x)=(x-a)2-1≥-1,

若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集,

则(a-1,a+1)∩[-1,+∞)=,

则a+1≤-1,解得a≤-2.

答案:a≤-2

9.(2019·银川高二检测)若对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是________. 

【解析】不等式mx2-mx-1<-m+5可化为(x2-x+1)m-6<0,令f(m)=(x2-x+1)m-6,

则对于m∈[-2,2],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,等价于f(m)max<0,m∈[-2,2],

因为x2-x+1=+>0恒成立,

所以f(m)为[-2,2]上的增函数,所以f(m)max=f(2)=2(x2-x+1)-6<0,解得-1<x<2.

答案:(-1,2)

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.(2019·厦门高一检测)已知函数f(x)=x2+(m-2)x(m∈R)

(1)若关于x的不等式f(x)<4的解集为,求m的值;

(2)若对任意x∈[0,4],f(x)+2≥0恒成立,求m的取值范围.

【解析】(1)不等式f<4可化为x2-(4-2m)x-8<0,其解集为,

由根与系数的关系可知-2+4=4-2m,

解得m=1,经检验m=1时满足题意.

(2)二次函数f(x)=x2+(m-2)x的对称轴为x=2-m.

①若2-m≤0,即m≥2,函数f在上单调递增,f(x)+2≥f(0)+2=2≥0恒成立,故m≥2;

②若0<2-m<4,即-2<m<2,此时f在上单调递减,在上单调递增,

由f(x)+2≥f(2-m)+2=-(2-m)2+2≥0得0≤m≤4.

故0≤m<2;

③若2-m≥4,即m≤-2,此时函数f在上单调递减,

由f(x)+2≥f(4)+2=×16+(m-2)×4+2=4m+2≥0得m≥-,与m≤-2矛盾,故m不存在.

综上所述,实数m的取值范围为[0,+∞).

11.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈成立,求a的最小值.

【解析】设f(x)=x2+ax+1,则对称轴为x=-,

若-≥,即a≤-1时,则f(x)在上是减函数.

应有f≥0⇒-≤a≤-1,

若-≤0,即a≥0时,

f(x)在上是增函数,应有f(0)=1>0恒成立,所以a≥0.

若0<-<,

即-1<a<0,

则有f=-+1=1-≥0恒成立,

所以-1<a<0.

综上,a≥-,即a的最小值为-.

12.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100(5x+1-)元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围.

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.

【解析】(1)由已知,200≥3 000,

整理得5x-14-≥0.

即5x2-14x-3≥0.

又1≤x≤10,可解得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是[3,10].

(2)设利润为y元,

则y=·100

=9×104

=9×104,

所以x=6时,ymax=457 500元.

即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大,最大利润为457 500元.