人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步达标检测题

这是一份人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

简单线性规划的应用

(45分钟　80分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种教学用品应各买的件数为 (　　)
A.2件,4件 B.3件,3件
C.4件,2件 D.不确定
【解析】选B.设买A种教学用品x件,B种教学用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解
(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
2.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付日工资每人50元,请瓦工需付日工资每人40元,现有日工资预算2 000元,设每天请木工x人、瓦工y人,则每天请木、瓦工人数的约束条件是 (　　)
A.　　　 B.
C. D.
【解析】选C.木工和瓦工的约束条件主要包括人数的限制与日工资的限制,人数比例为2∶3,日工资不超过2 000,结合实际问题人数都应取正整数,综上C项满足题意.
【警示误区】本题中x,y∈N*是容易忽略的条件,在解决实际问题时,应考虑实际情况对变量的限定.
3.(2019·眉山高二检测)某企业生产甲、乙两种产品均需要A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元,4万元,则该企业每天可获得最大利润为
(　　)

甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
10
B(吨)
1
2
6
A.10万元 B.12万元
C.13万元 D.14万元
【解析】选D.设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,
则约束条件为,且x,y≥0,目标函数z=3x+4y,
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+4y,得y=-x+,平移直线y=-x+,
由图象知当直线y=-x+经过点A时,y=-x+的截距最大,此时z最大,
由即A(2,2),此时z=3×2+4×2=6+8=14(万元),
即该企业生产甲产品2吨,乙产品2吨,利润为14万元.

4.某工厂拟生产甲、乙两种实销产品.已知每件甲产品的利润为0.4万元,每件乙产品的利润为0.3万元,两种产品都需要在A,B两种设备上加工,且加工一件甲、乙产品在A,B设备上所需工时(单位:h)分别如表所示.

甲产品所需工时
乙产品所需工时
A设备
2
3
B设备
4
1
若A设备每月的工时限额为400 h,B设备每月的工时限额为300 h,则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为 (　　)
A.40万元 B.45万元
C.50万元 D.55万元
【解析】选C.设甲、乙两种产品月产量分别为x,y件,约束条件是
目标函数是z=0.4x+0.3y,
由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分.

由z=0.4x+0.3y,结合图象可知,z=0.4x+0.3y在A处取得最大值,由得A(50,100),
此时z=0.4×50+0.3×100=50万元.
5.(2019·柳州高二检测)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地,货运车有大型货车和小型货车两种.已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元,而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元.则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较 (　　)
A.2台大型货车运费贵 B.3台小型货车运费贵
C.二者运费相同 D.无法确定
【解析】选A.设大型货车每台运费x万元,小车每台运费y万元,
依题意得z=2x-3y过C(3,2)时, z最小.
所以z>2×3-3×2=0,即2x>3y.

6.在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能少于2人,那么下列说法中错误的是 (　　)
A.最多可以购买4份一等奖奖品
B.最多可以购买16份二等奖奖品
C.购买奖品至少要花费100元
D.共有20种不同的购买奖品方案
【解析】选D.设购买一、二等奖奖品份数分别为x,y,由已知,可行域如图所示

A(2,6),B(4,12),C(2,16).在可行域内的整数点有:(2,6),(2,7),…,(2,16), (3,9),(3,10),…,(3,14),(4,12),共11+6+1=18个.其中,x最大为4,y最大为16.
最少要购买2份一等奖奖品,6份二等奖奖品,所以最少要花费100元.所以A,B,C正确,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.下表所示为X,Y,Z三种食物的维生素含量及成本,某食品厂欲将三种食物混合,制成至少含44 000单位维生素A及48 000单位维生素B的混合物100千克,所用的食物X,Y,Z的质量分别为x,y,z(千克),则混合物的成本最少为________元. 

X
Y
Z
维生素A(单位:千克)
400
600
400
维生素B(单位:千克)
800
200
400
成本(元/千克)
12
10
8
【解析】由题意得消去z得
设混合物的成本为P,则P=12x+10y+8z=800+4x+2y,作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x-400+过可行域内的点A(30,20),即x=30千克,y=20千克,z=50千克时,成本最少,为960元.

答案:960
8.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15吨,已知生产甲产品1吨需煤9吨,电力4千瓦,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1吨需煤4吨,电力5千瓦,劳动力10个;甲产品每吨价7万元,乙产品每吨价12万元;但每天用煤量不得超过300吨,电力不得超过200千瓦,劳动力只有300个,当每天生产甲产品________吨,乙产品________吨时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大. 
【解析】设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,总利润为S万元,依题意约束条件为目标函数为S=7x+12y,可行域如图所示,从图中可以看出,当直线S=7x+12y经过点A时,直线的纵截距最大,所以S也取最大值.

解方程组得A(20,24),
故当x=20,y=24时,Smax=7×20+12×24=428(万元).
答案:20　24
三、解答题(每小题10分,共40分)
9.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.求该企业可获得的最大利润.
【解析】设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得的利润为z=5x+3y,
且对应的平面区域如图所示,

联立解得
由图可知,最优解为P(3,4),
所以z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元).
答:该企业可获得的最大利润为27万元.
10.(2019·厦门高二检测)在我校高二年段即将准备开展的数学竞赛活动中,规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人,一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上,一等奖人数不少于3人,且一等奖奖品价格为30元,二等奖奖品价格为20元,怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少?
【解析】设一等奖人数为x,二等奖人数为y,本次活动购买奖品的费用为z,
所以目标函数为z=30x+20y,约束条件为画出满足条件的平面区域,联立,得A(3,5)
通过平移直线y=-x+,易知z在点A(3,5)处取得最小值190,

所以本次活动购买奖品的最少费用为190元.
11.“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车:其中A型车为运动型,成本为400元/辆,骑行半小时需花费0.5元;B型车为轻便型,成本为2 400元/辆,骑行半小时需花费1元.若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时(不足半小时按半小时计算),问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元?
【解析】根据题意,设投放A型号单车x辆,B型号单车y辆,单车公司每天可获得的总收入为Z,则有,
即,①
且Z=2×0.5x+2×y=x+2y,
画出不等式组①表示的平面区域,由,解得M(80,20).
当目标函数Z=x+2y,经过点M(80,20)时,Z取得最大值为:80+2×20=120.

答:公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多,最多为120元.
12.随着生活水平的提高,人们越来越注重科学饮食.营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,每天需要同时食用食物A和食物B多少kg?最低花费是多少?
【解析】设每天食用x kg食物A,y kg食物B,总花费为z元,

则目标函数为z=28x+21y,且x,y满足约束条件
即
作出约束条件所表示的可行域,如图所示.

将目标函数z=28x+21y变形y=-x+.
如图,作直线28x+21y=0,
当直线平移经过可行域内的点M时,y轴上截距最小,即此时z有最小值.
解方程组得点M,
z=28×+21×=16.
所以每天需要同时食用食物A约 kg,食物B约 kg,能够满足日常饮食要求,且花费最低,为16元.

(45分钟　85分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.某汽车公司的A,B两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为 (　　)
A.16,8 B.15,9 C.17,7 D.14,10
【解析】选A.设A厂工作x小时,B厂工作y小时,总工作时数为z,
则目标函数为z=x+y,约束条件为作出可行域如图所示,
由图知当直线y=-x+z经过Q点时,z取得最小值,
由可得Q(16,8),
故A厂工作16小时,B厂工作8小时,可使所费的总工作时数最少.

2.4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元,6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元,则1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是 (　　)
A.0.5元 B.1元 C.4.4元 D.8元
【解析】选B.设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元,则对应的平面区域如图所示,

设1支水笔与1支铅笔的价格的差z=x-y,即y=x-z,则直线经过A(3,2)时使得z最大为3-2=1,
所以1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是1.
3.某颜料公司生产A,B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨;生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨.如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天内可获得的最大利润为 (　　)
A.14 000元 B.16 000元
C.18 000元 D.20 000元
【解析】选A.设生产A x吨,B y吨,
则
利润函数为z=300x+200y,可行域如图所示,

由可得x=40,y=10,
结合图形可得x=40,y=10时,zmax=14 000.
4.某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
(　　)
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
【解析】选B.设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料y箱.
则目标函数z=280x+200y,
结合图象可得:当x=15,y=55时z最大,
本题也可以将答案逐项代入检验.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),B(3,2),C(1,1),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)内,设=m-n(m,n∈R),则2m+n的最大值为
(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.=(1,-1),=(1,2),
=(x,y),因为=m-n,
所以则2m+n=x-y,
作出平面区域如图所示:

令z=x-y,则y=x-z,由图象可知当直线y=x-z经过点B(3,2)时,截距最小,即z最大.
所以z的最大值为3-2=1,即2m+n的最大值为1.
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019·蚌埠高二检测)回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸,可节约用水约100吨,节约用煤约1.2吨,回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨,可节约用煤约0.8吨,节约用水约120吨,回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元,回收1吨废纸的费用约为0.2万元.现用于回收废纸和废铅蓄电池的费用不超过18万元,在保证节约用煤不少于12吨的前提下,最多可节约用水约________吨. 
【解析】设回收废纸x吨,回收废铅蓄电池y吨,可节约用水z吨,
由已知条件可得
即z=100x+120y,作出不等式组表示的可行域,如图所示,y=-x+,平移直线可得当直线过点A时,在y轴的截距最大,即z最大,

由图可得点A(90,0),此时z取得最大值为9 000.
答案:9 000
7.某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3 m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2 m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,则两种规格的原料甲________张,乙________张,使得总用料面积最小. 
【解析】设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,由题意可得
所用原料的总面积为z=3x+2y,
作出可行域如图.

在一族平行直线3x+2y=z中,
经过可行域内的点且到原点距离最近的直线
过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点(2,1),
即最优解为(2,1).所以使用甲种规格原料2张,
乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.
答案:2　1
8.某农户计划种植莴笋和西红柿,种植面积不超过30亩,投入资金不超过25万元,假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如表所示:

年产量
(吨/亩)
年种植成本
(万元/亩)
每吨售价
(万元)
莴笋
5
1
0.5
西红柿
4.5
0.5
0.4
那么,该农户一年种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)的最大值为________万元. 
【解析】设莴笋和西红柿的种植面积分别为x,y亩,一年的种植总利润为z万元.
由题意可得,
z=0.5×5x+0.4×4.5y-(x+0.5y)=1.5x+1.3y,
作出不等式组表示的可行域,如图所示,

当直线z=1.5x+1.3y经过点A时,z取得最大值,
又
解得x=20,y=10,
即A(20,10)代入z=1.5x+1.3y可得z=43.
答案:43
9.高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元. 
【解析】设生产产品A、产品B分别为x,y件,利润之和为z元,那么由题意得约束条件
即　①
目标函数z=2 100x+900y,作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,
如图中阴影部分所示.

将z=2 100x+900y变形,得y=-x+,作直线y=-x并平移,当直线y=-x+经过点M时,z取得最大值.
解方程组得M(60,100),
所以当x=60,y=100时,
zmax=2 100×60+900×100=216 000.所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.
答案:216 000
三、解答题(每小题10分,共40分)
10.某蛋糕店每天计划生产蛋糕、面包、酥点这三种糕点共100份,生产一份蛋糕需5分钟,生产一份面包需7分钟,生产一份酥点需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一份蛋糕可获利润5元,生产一份面包可获利润6元,生产一份酥点可获利润3元.若用每天生产的蛋糕份数x与面包份数y表示每天的利润ω(元),求ω的最大值.
【解析】依题意每天生产的酥点份数为100-x-y,
所以利润ω=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300.
约束条件为
整理得
目标函数为ω=2x+3y+300,作出可行域,如图所示,

作初始直线l0:2x+3y=0,平移l0,当l0经过点A时,ω有最大值,由得
所以最优解为A(50,50),此时ωmax=550元.
答:ω的最大值为550元.
11.(2019·诸暨高二检测)电视台应某企业之约播放两套连续剧,其中,连续剧甲每次播放时间80分钟,其中广告时间1分钟,收视观众60万;连续剧乙每次播放时间40分钟,其中广告时间1分钟,收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟,而电视台每周至多提供320分钟节目时间.
(1)设每周安排连续剧甲x次,连续剧乙y次,列出x,y所应该满足的条件.
(2)应该每周安排两套电视剧各多少次,收视观众最多?
【解析】(1)由题意可得:
(2)设收视观众数为z万,则z=60x+20y=20(3x+y),所以y=-3x+,
因此直线y=-3x+在y轴截距最大时,z取最大值;画出可行域,

易知当x=2,y=4时,z有最大值,最大值是200,收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套.
12.某农场计划种植甲、乙两个品种的水果,总面积不超过300亩,总成本不超过9万元.甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元.假设种植这两个品种的水果能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元.问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积,可使总收益最大?
【解析】设甲、乙两种水果的种植面积分别为x,y亩,农场的总收益为z万元,则
即
目标函数为z=0.3x+0.2y,
可行域如图所示,

目标函数z=0.3x+0.2y可化为y=-x+5z,
由此可知当目标函数对应的直线经过点M时,z取最大值.
解方程组得
M的坐标为(75,225),
所以zmax=0.3×75+0.2×225=67.5.
答:甲乙两种水果分别种植75亩和225亩,可使农场的总收益最大,最大收益为67.5万元.
13.某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:

每件A产品
每件B产品
研制成本、搭载试验
费用之和(万元)
20
30
产品重量(千克)
10
5
预计收益(万元)
80
60
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.
【解析】设搭载A产品x件,B产品y件,则预计收益z=80x+60y,
由题意知,
作出可行域如图所示.

作出直线l:80x+60y=0并平移,由图形知,
当直线经过点M时,z取得最大值,
由
解得即M(9,4).
所以zmax=80×9+60×4=960(万元),
所以搭载9件A产品,4件B产品,
才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为960万元.