高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课时练习

3.2　一元二次不等式及其解法

基础过关练

题组一　一元二次不等式的解法

1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　

A.{x|-6≤x≤1} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|x≥3或x≤2} D.{x|x≥1或x≤-6}

2.(2020江苏连云港高一期末)不等式x2-2x-3>0的解集为(　　)

A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞)

C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

3.函数y=的定义域为(　　)

A.[-4,1] B.[-4,0)

C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]

4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是(　　)

A.4 B.5

C.6 D.7

5.不等式(1-x)(3+x)>0的解集是(　　)

A.(-3,1)

B.(-∞,-3)∪(1,+∞)

C.(-1,3)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

6.(2020天津南开高一期末)设x∈R,使不等式14-4x2≥x成立的x的取值范围为　　　　.

题组二　含有参数的一元二次不等式

7.若0<t<1,则不等式(x-t)<0的解集是(　　)

A. B.

C. D.

8.已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(　　)

A.{x|x<5a或x>-a}

B.{x|x>5a或x<-a}

C.{x|-a<x<5a}

D.{x|5a<x<-a}

9.(2020北京朝阳高一期末)已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是(　　)

A.-4≤a≤4 B.-4<a<4

C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4

10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0(a∈R).

题组三　三个“二次”之间的关系

11.若函数f(x)=的定义域为R,则常数k的取值范围是(　　)

A.(0,4) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4]

12.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c应有(　　)

A.f(5)<f(2)<f(-1) B.f(2)<f(5)<f(-1)

C.f(-1)<f(2)<f(5) D.f(2)<f(-1)<f(5)

13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为(　　)

A.1 B.-1 C.-3 D.3

14.已知一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-3或x>5},则ax2-bx+c<0的解集为　　　　　　.

15.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.

(1)求a,b的值;

(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.

题组四　简单的分式不等式

16.不等式≥0的解集为(　　)

A.[-2,1]

B.(-2,1]

C.(-∞,-2)∪(1,+∞)

D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

17.若集合A=,B={x|x2<2x},则A∩B=(　　)

A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1}

C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

18.不等式-1<<1的解集为(　　)

A.{x|x<-1或x>1}

B.{x|-1<x<0或0<x<1}

C.{x|x<0或x>1}

D.{x|x>1}

题组五　一元二次不等式的实际应用

19.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过0.012 km,乙车的刹车距离略超过0.01 km,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间有如下关系:s甲=0.000 1x+0.000 01x2,s乙=0.000 05x+0.000 005x2.问:超速行驶应负主要责任的是谁?

20.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,求x的最小值.

21.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.

(1)该厂的月产量为多大时,月获得的利润不少于1 300元?

(2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.(0,2) B.(-2,1)

C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)

2.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)若不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值为(　　)

A.14 B.-10 C.10 D.-14

3.(★★☆)二次函数f(x)的图象如图所示,则f(x-1)>0的解集为(　　)

A.(-2,1) B.(0,3)

C.(1,2] D.(-∞,0)∪(3,+∞)

4.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)已知关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

5.(2019山东菏泽高二期末,★★☆)已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(-∞,-1),则关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0的解集是(　　)

A.(1,2) B.(-1,2)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(2,+∞)

6.(★★★)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=则f(x)的值域是(　　)

A.∪(1,+∞) B.[0,+∞)

C. D.∪(2,+∞)

二、填空题

7.(★★☆)若不等式[(a-1)x+1](x-1)<0的解集为{x|x<1或x>2},则a=　　　　.

8.(★★☆)已知A=(1,2),B={x|x2-2ax+a2-1<0},若A⊆B,则a的取值范围是　　　　.

9.(★★★)若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.

10.(★★★)设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则a的取值范围为　　　　.

三、解答题

11.(2020四川成都新津中学高一期末,★★☆)已知不等式x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0的解集为集合A,集合B=(-2,2).

(1)若a=2,求A∪B;

(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.

12.(2019北京西城高二期末,★★★)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.

(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;

(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;

(3)若对于任意的x∈(2,+∞), f(x)>0均成立,求a的取值范围.

13.(2020广东汕头金山中学高一期末,★★★)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).

(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?

(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?

答案全解全析

基础过关练

1.A　不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,

∴不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.故选A.

2.D　x2-2x-3>0⇒(x-3)(x+1)>0⇒x>3或x<-1,所以不等式x2-2x-3>0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).

3.D　要使函数有意义,需满足解得-4≤x≤1且x≠0,故定义域为[-4,0)∪(0,1].

4.C　由(x-1)2<3x+7,得x2-5x-6<0,解得-1<x<6,∴集合A={x|-1<x<6},

∴A∩Z中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.

5.A　由(1-x)(3+x)>0,得(x-1)(x+3)<0,∴-3<x<1,即不等式(1-x)(3+x)>0的解集是(-3,1),故选A.

6.答案　

解析　由题意得4x2+x-14≤0,即(4x-7)·(x+2)≤0,解得-2≤x≤.因此,使不等式14-4x2≥x成立的x的取值范围为.

7.D　方程(x-t)=0的两根为x1=t,x2=.

因为0<t<1,所以>1>t,

所以(x-t)<0的解集是.

8.A　方程x2-4ax-5a2=0的两根为x1=-a,x2=5a.因为2a+1<0,所以a<-,所以-a>5a.所以不等式x2-4ax-5a2>0的解集为{x|x<5a或x>-a},故选A.

9.A　因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,所以Δ=a2-16≤0,所以-4≤a≤4.

10.解析　方程x2+(1-a)x-a=0的两根为x1=-1,x2=a.

∵函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线,

∴当a<-1时,不等式的解集为{x|a<x<-1};

当a=-1时,不等式的解集为⌀;

当a>-1时,不等式的解集为{x|-1<x<a}.

11.C　∵函数f(x)=的定义域为R,∴kx2+kx+1>0对x∈R恒成立.当k>0时,Δ=k2-4k<0,解得0<k<4;当k=0时,kx2+kx+1=1>0恒成立;当k<0时,不符合条件.故0≤k<4.故选C.

12.D　由不等式的解集为{x|x<-2或x>4},得x=-2和x=4是函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标,故f(x)的图象的对称轴为x==1,且开口向上.结合图象(图略)可得f(5)>f(-1)>f(2).

13.C　令f(x)=x2-4x-m,则f(x)在(0,1]上是减函数,所以f(x)min=f(1)=-3-m,所以-3-m≥0,即m≤-3.故m的最大值为-3.

14.答案　{x|x>3或x<-5}

解析　令ax2+bx+c=0(a≠0).由根与系数的关系得

解得

∴代入所求不等式得ax2+2ax-15a<0,

又由ax2+bx+c<0解集的形式知a<0,

∴上式化为x2+2x-15>0,即(x-3)(x+5)>0,解得x>3或x<-5,故所求不等式的解集为{x|x>3或x<-5}.

15.解析　(1)由题意得x1=1,x2=b是方程ax2-3x+2=0的两根,且a>0,则

解得

(2)由a=1,b=2得不等式为x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2.

∴不等式的解集为(1,2).

16.B　由≥0得≤0,可转化为解得-2<x≤1.故原不等式的解集为(-2,1].

17.A　由集合A可得解得0≤x<1,所以A={x|0≤x<1}.由集合B可得x2-2x<0,解得0<x<2,所以B={x|0<x<2}.所以A∩B={x|0<x<1}.

18.A　-1<<1⇔⇔⇔⇔⇔x<-1或x>1.

∴不等式的解集为{x|x<-1或x>1}.

19.解析　由题意列出不等式0.000 1x甲+0.000 01>0.012,①

0.000 05x乙+0.000 005>0.01,②

由①得x甲<-40或x甲>30,

由②得x乙<-50或x乙>40.

由于x>0,所以可得x甲>30,x乙>40.

经比较知,乙车超过限速,应负主要责任.

20.解析　由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简,得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,故x的最小值是20.

21.解析　(1)设该厂月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,

由y≥1 300知-2x2+130x-500≥1 300,

∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.

∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1 300元.

(2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2·+1 612.5.

∵x为正整数,

∴当x=32或33时,y取得最大值1 612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1 612元.

能力提升练

一、选择题

1.B　由题意得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-2<x<1.

2.D　由已知得,ax2+bx+2=0的解为x1=-,x2=,所以由根与系数的关系得解得

所以a+b=-14.

3.B　由题图,知f(x)>0的解集为(-1,2).把f(x)的图象向右平移1个单位长度即得f(x-1)的图象,所以f(x-1)>0的解集为(0,3).

4.C　当a2-4=0,即a=±2时,若a=2,则不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0可化为-1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意;

若a=-2,则不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0可化为-4x-1≥0,即x≤-,其解集不为空集,因此a=-2不满足题意,应舍去.

当a2-4≠0,即a≠±2时,

∵关于x的不等式(a2-4)x2+(a-2)x-1≥0的解集为空集,

∴解得-<a<2.

综上,a的取值范围是.故选C.

5.A　∵关于x的不等式ax+b>0的解集是(-∞,-1),∴∴b=a<0,

∴关于x的不等式(ax-b)(x-2)>0可化为(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,

∴不等式的解集是(1,2).故选A.

6.D　由x<g(x),得x<x2-2,解得x<-1或x>2;同理,由x≥g(x),得-1≤x≤2.

所以f(x)=即f(x)=

因为当x<-1时, f(x)>2;当x>2时, f(x)>8,所以当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f(x)的值域为(2,+∞).

又因为当-1≤x≤2时,-≤f(x)≤0,所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的值域为.

综上可知,函数f(x)的值域是-,0∪(2,+∞).

二、填空题

7.答案　

解析　由题意得,x=2是方程(a-1)x+1=0的根,且a-1<0,∴a=.

8.答案　[1,2]

解析　方程x2-2ax+a2-1=0的两根为x1=a+1,x2=a-1,且a+1>a-1,所以B={x|a-1<x<a+1}.因为A⊆B,所以解得1≤a≤2.

9.答案　

解析　原不等式可变形为a>=-.设y=-,令=t,则t>0,y=t-t2=-+,因此当t=时,y取得最大值,所以实数a的取值范围是.

10.答案　(1,3)

解析　原不等式可转化为[(1-a)x-b]·[(1+a)x-b]>0.①当a≤1时,结合不等式解的情况知,不符合题意;②当a>1时,<x<,由题意知0<<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,需-3≤<-2,整理,得2a-2<b≤3a-3.结合题意b<1+a,可得2a-2<1+a,所以a<3,从而有1<a<3.综上可得,a∈(1,3).

三、解答题

11.解析　(1)当a=2时,不等式x2-(2a+1)·x+a(a+1)≤0,即x2-5x+6≤0,亦即(x-3)(x-2)≤0,所以A=[2,3].又B=(-2,2),所以A∪B=(-2,3].

(2)由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x-a)·(x-a-1)≤0,所以A=[a,a+1].因为A∩B=⌀,所以a+1≤-2或a≥2,解得a≤-3或a≥2.

12.解析　(1)当a=1时, f(x)=x2-2x.

由f(x)<0,得x2-2x<0,解得0<x<2,所以f(x)<0的解集为(0,2).

(2)由f(x)<3a2,得x2-2ax-3a2<0,

所以(x-3a)(x+a)<0,

当a>0时,解集为(-a,3a);

当a=0时,解集为⌀;

当a<0时,解集为(3a,-a).

(3)由f(x)=x2-2ax>0,可得2ax<x2,

又x∈(2,+∞),所以a<在x∈(2,+∞)上恒成立.

令g(x)=(x>2),

因为g(x)在(2,+∞)上单调递增,

所以g(x)>1,

所以a≤1,即a的取值范围是(-∞,1].

13.解析　(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120(0≤t≤24).

令=x,则x2=6t且0≤x≤12.∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12).

∴当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少水量是40吨.

(2)结合(1),得400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<<8,所以<t<.因为-=8,所以每天有8小时出现供水紧张现象.