高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式同步测试题

基本不等式的应用

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.若x>0,则x++2有 (　　)

A.最小值6   B.最小值8

C.最大值8   D.最大值3

【解析】选B.由x++2≥2+2=8(当且仅当x=,即x=3时,取等号).

2.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有 (　　)

A.最大值为0   B.最小值为0

C.最大值为-4  D.最小值为-4

【解析】选C.因为x<0,所以f(x)=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时取等号.

3.(2019·南昌高一检测)y=(x>0)的最小值是 (　　)

A.2     B.2-1

C.2+1    D.2-2

【解析】选B.因为x>0,所以x+1>0,

所以y==+x=+x+1-1≥2-1,

当且仅当=x+1,即x=-1时等号成立,

所以y=(x>0)的最小值是2-1.

4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是              (　　)

A. 6.5 m  B. 6.8 m  C. 7 m  D. 7.2 m

【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,所以ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m).

因为要求够用且浪费最少,故选C.

5.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 (　　)

A.2   B.4   C.6   D.8

【解析】选C.方法一:由已知xy=9-(x+3y),即3xy=27-3(x+3y)≤,

当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,

令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,得t≥6.

即x+3y≥6.

方法二:因为x+3y=9-xy≥2,

所以()2+2·-9≤0,(+3)·(-)≤0,0<xy≤3,x+3y=9-xy≥6.

6.(2019·定州高一检测)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的取值范围是 (　　)

A.   B.

C.     D.

【解析】选B.因为m>0,xy>0,x+y=2,

所以+==≥.因为不等式+≥4恒成立,所以≥4,整理得≥0,解得≥,即m≥2.

7.(2019·台州高一检测)若实数x,y满足x2y2+x2+y2=8,则x2+y2的取值范围为

 (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选A.因为x2y2≤,所以x2y2+x2+y2=8≤+(x2+y2)(x2=y2=2时取等号),(x2+y2-4)(x2+y2+8)≥0,所以x2+y2≥4,又x2y2≥0,所以x2+y2≤8,所以x2+y2∈[4,8].

二、填空题(每小题5分,共10分)

8.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间[-2,0]上恒成立,则实数a的取值范围是________. 

【解析】由题得a≥=(x-1)++2,

因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,

所以(x-1)++2=-+2≤-2+2=-2.

当且仅当x=-1时取等号,所以a≥-2.

答案:a≥-2

9.已知正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为__________. 

【解析】因为=+=·

=≥(10+2)=9,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以的最小值为9.

答案:9

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知a>0,b>0,直线+=1经过点(1,2).

(1)求ab的最小值.

(2)求a+2b的最小值.

【解析】因为直线+=1过点(1,2),

所以+=1.

(1)因为a>0,b>0,所以1=+≥2,

当且仅当==,即a=2,b=4时取等号,从而ab≥8,即ab的最小值为8.

(2)a+2b=(a+2b)=5++≥5+2=9,

当且仅当=,

即a=b=3时取等号,从而a+2b的最小值为9.

11.(1)已知x>0,求函数y=的最小值.

(2)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值.

【解析】(1)因为y==x++5≥2+5=9,当且仅当x=,即x=2时等号成立.

所以y=(x>0)的最小值为9.

(2)因为0<x<,所以1-3x>0.

所以y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤=.

当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.

所以当x=时,函数取得最大值.

12.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:

(1)仓库面积S的最大允许值是多少?

(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?

【解析】(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,而顶部面积为S=xy,由已知,40x+2×45y+20xy=3 200,由基本不等式得

3200≥2+20xy=120+20xy

=120+20S.

所以S+6-160≤0,即(-10)(+16)≤0,

所以≤10,从而S≤100,

所以S的最大允许值是100平方米,

(2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100,

求得x=15,即铁栅的长是15米.

【补偿训练】一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时. 

【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则t==+

≥2=8(小时),当且仅当=,即v=100时等号成立,此时t=8小时.

答案:8

(45分钟　85分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是 (　　)

A.2   B.2   C.4  D.5

【解析】选C.因为a>0,b>0,

所以++2≥2+2≥4=4,

当且仅当

即a=b=1时,等号成立.

【误区警示】多次使用不等式,要注意等号是否同时取到.若等号不能同时取到,则代数式取不到最值.

2.若实数x,y满足2x+2y=1,则x+y的最大值是 (　　)

A.-4   B.-2   C.2   D.4

【解析】选B.由题得2x+2y≥2=2,(当且仅当x=y=-1时取等号)

所以1≥2,所以≥2x+y,

所以2-2≥2x+y,所以x+y≤-2.

所以x+y的最大值为-2.

【补偿训练】设x,y是满足2x+y=20的正数,则lg x+lg y的最大值是

 (　　)

A.1+lg 5　　　B.2　　　C.50　　　D.1

【解析】选A.根据基本不等式,2x+y≥2,解得xy≤50,所以xy的最大值是50,而lg x+lg y=lg(xy),所以原式的最大值是lg 50=1+lg 5.

3.若直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)过点(-1,2),当+取最小值时直线l的斜率为

 (　　)

A.2   B.   C.   D.2

【解析】选A.因为直线l过点(-1,2),所以-a-2b+2=0,即=1,

所以+=·=4++≥=4,当且仅当=,即a=2b时取等号,所以斜率=2.

4.(2019·深圳高一检测)已知正实数x,y满足log2(x+7y)=0,则能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的整数m的最小值为              (　　)

A.0   B.-1   C.-3   D.-4

【解析】选D.正实数x,y满足log2(x+7y)=0,

所以x+7y=1,

所以1≥2,即:xy≤,当且仅当x=7,y=时取等号,

则不等式log2x+log2y≤m恒成立,化为:2m≥(xy)max,

所以2m≥,

所以能使得不等式log2x+log2y≤m恒成立的整数m的最小值为-4.

5.设a>b>0,则a2++的最小值是 (　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选D.a2++=a2+≥a2+≥4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时等号都成立,故原式的最小值为4.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.若正数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________. 

【解析】由a+b=1知+==,

又ab≤=(当且仅当a=b=时等号成立),所以9ab+10≤,≥.

答案:

7.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.

(1)如果l=6.05,则最大车流量为________辆/小时. 

(2)如果l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/小时. 

【解析】(1)当l=6.05时,则F==≤1 900,当且仅当v=,

即v=11(米/秒)时取等号.

(2)当l=5时,则F==≤2 000,当且仅当v=,即v=10(米/秒)时取等号,此时最大车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.

答案:(1)1 900　(2)100

8.若两个正实数x,y满足+=1,且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m有解,则实数m的取值范围是________. 

【解析】因为不等式x+<m2+3m有解,

所以<m2+3m,

因为x>0,y>0,且+=1,

所以x+==++2≥

2+2=4,

当且仅当=,即x=2,y=8时取“=”,

所以=4,

故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,

解得m<-4或m>1,

所以实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).

答案:(-∞,-4)∪(1,+∞)

9.已知关于x的不等式x2-5ax+2a2<0的解集为,则x1+x2+的最小值是__________. 

【解析】由于a>0,故一元二次方程x2-5ax+2a2=0的判别式:

Δ=25a2-4·2a2=17a2>0,由根与系数的关系有:,则:

x1+x2+=5a+=5a+≥2=,

当且仅当5a=,a=时等号成立.

综上可得:x1+x2+的最小值是.

答案:

三、解答题(每小题10分,共40分)

10.已知a>b>0,求a2+的最小值.

【解析】因为a>b>0,

所以a-b>0,a2+≥a2+=a2+≥2=4,

当且仅当b=a-b,a2=2,a>b>0,即a=,b=时取等号,

所以a2+的最小值是4.

11.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).

(1)求xy的最小值.

(2)求x+y的最小值.

【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得

(1)因为x>0,y>0,

所以3xy=x+y+1≥2+1,

3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,

所以(3+1)(-1)≥0,≥1,xy≥1,

当且仅当x=y=1时,等号成立.

所以xy的最小值为1.

(2)因为x>0,y>0,

所以x+y+1=3xy≤3·,3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,

所以x+y≥2,当且仅当x=y=1时取等号,

所以x+y的最小值为2.

12.(1)若x>0,求函数y=x+的最小值,并求此时x的值.

(2)设0<x<,求函数y=4x(3-2x)的最大值.

(3)已知x>2,求x+的最小值.

(4)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.

【解析】(1)当x>0时,x+≥2=4,

当且仅当x=,即x2=4,x=2时取等号.

所以函数y=x+(x>0)在x=2时取得最小值4.

(2)因为0<x<,所以3-2x>0,

所以y=4x(3-2x)

=2[2x(3-2x)]≤2=.

当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.

因为∈.

所以函数y=4x(3-2x)的最大值为.

(3)因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,

当且仅当x-2=,即x=4时,等号成立.

所以x+的最小值为6.

(4)方法一:因为x>0,y>0,+=1,

所以x+y=(x+y)=++10≥6+10=16,当且仅当=,又+=1,即x=4,y=12时,上式取等号.

故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.

方法二:由+=1,得(x-1)(y-9)=9(定值).

可知x>1,y>9,

所以x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=16,

当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时上式取等号,故当x=4,y=12时,(x+y)min=16.

13.某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为

1 800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?

(2)若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.

【解析】(1)设该厂每x天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y元.

所以购买面粉的费用为6×1 800x=10 800x元,

保管等其他费用为3×(6+12+…+6x)=9x(x+1).

所以y=

=10 809+9≥10 809+9×2

=10 989.

当x=,即x=10时,y有最小值10 989.

所以该厂每10天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少.

(2)因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少每隔35天购买一次面粉,

设该厂利用此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y1元,则

y1=[9x(x+1)+900]+6×1 800×0.90=+9x+9 729(x≥35).

令f(x)=x+(x≥35),x2>x1≥35,

则f(x1)-f(x2)=-=,

因为x2>x1≥35,所以x2-x1>0,

x1·x2>0,100-x1x2<0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)=x+,当x≥35时为增函数,

所以当x=35时,f(x)有最小值,此时y1<10 989,

所以该厂应接受此优惠条件.