人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法习题ppt课件

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类型一　简单的分式不等式的解法【典例1】解下列分式不等式.(1) 　　 (2) (3) (4)
【解题指南】 将分式不等式转化为一元二次不等式(组)再求解集.
【解析】(1) ≥0可转化为 即 所以-2≤x<3,所以不等式 ≥0的解集为{x|-2≤x<3}.
(2) ≤1,即 ≤0, ≤0,所以 ≥0,即 解得x≥4或x< ,所以原不等式的解集为 ∪[4,+∞).
(3)原不等式等价于(x+1)(x2-2x-3)>0,即(x+1)(x+1)(x-3)>0,(x+1)2(x-3)>0,因为(x+1)2>0,所以x>3,所以原不等式的解集为{x|x>3}.
(4)方法一:原不等式转化为所以= = 因为x2-x+1= 所以x2-10>0,解得x> 或x<- ,所以原不等式的解集为{x|x> 或x<- }.
方法二:因为所以原不等式可转化为2x2-x-9>-(-x2+x-1).即x2-10>0,解得x> 或x<- ,所以原不等式的解集为{x|x> 或x<- }.
【方法总结】分式不等式转化为整式不等式的常见方法(1) >0⇔f(x)g(x)>0, <0⇔f(x)g(x)<0, ≥0⇔ ≤0⇔
(3) >a(a≠0)⇔ ⇔g(x)[f(x)-ag(x)]>0, ≥a(a≠0)⇔ ⇔
【拓展延伸】解分式不等式的三个注意点(1)解分式不等式一定要等价变形为标准形式,就是右边为零,左边为分式,然后再等价转化为不等式组或高次不等式来求解.(2)若分式不等式含等号,等价转化为整式不等式时,其分母不为零最易丢掉,这一点一定要注意.
(3)当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式.
【跟踪训练】1.不等式 ≥0的解集是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D.{x|x<2}
【解析】选B.不等式 ≥0,等价为(3x-1)(2-x)≥0,且2-x≠0,解得 ≤x<2.即解集为
2.关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则不等式 的解集为(　　)A.(-1,2) B.(-∞,1)∪(1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(-1,2)
【解析】选C.因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),所以a<0,且 =1.则不等式 >0,即 <0,即(x-2)(x-1)<0,解得10的解集为(1,2).
【补偿训练】1.解下列不等式:(1) ≥0. ≥-1.
【解析】(1) 可转化为 或 解得x≥1或x<0,所以不等式 的解集为{x|x<0或x≥1}.
(2)原不等式可化为 即 由于x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以原不等式等价于 解得 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1或12.解下列不等式:(1) <0.(2) ≤2.
【解析】(1) <0,即(x+2)(1-x)<0,(x+2)(x-1)>0,解得x>1或x<-2,所以原不等式的解集为{x|x>1或x<-2}. ≤2,即 -2≤0, ≤0,所以 ≥0,所以 解得x≥5或x<2.所以原不等式的解集为{x|x≥5或x<2}.
类型二　不等式恒成立问题【典例2】(1)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是(　　)A.(-∞,-4] B.(-∞,-5)C.(-∞,-5] D.(-5,-4)
(2)二次函数f(x)满足f(x)=f(-x)+12x+f(0)-6,且f(-1)=1.①求f(x)的解析式;②当x∈[-3,0]时,不等式f(2x)>4x+m恒成立,求m的取值范围.
【解题指南】(1)令f(x)=x2+mx+4,由 建立不等式组求解.(2)①设f(x)=ax2+bx+c,根据待定系数法即可求解;②分离参数m得4x2+8x+6>m,令g(x)=4x2+8x+6,x∈[-3,0],求其最小值即可.
【解析】(1)选C.令f(x)=x2+mx+4,因为x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,所以 所以 解得m≤-5.
(2)①设f(x)=ax2+bx+c,则f(-x)=ax2-bx+c,f(0)=c.所以ax2+bx+c=ax2-bx+c+12x+c-6,即2bx=12x+c-6.所以 得b=6,c=6.又f(-1)=a-b+c=1,得a=1,所以f(x)=x2+6x+6.
②由①及f(2x)>4x+m,得4x2+8x+6>m,令g(x)=4x2+8x+6,x∈[-3,0],所以当x=-1时,g(x)min=g(-1)=2,从而要使不等式f(2x)>4x+m恒成立,则m<2.
【方法总结】一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)判别式法①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔
(2)分离参数法若不等式中的参数比较“孤单”,便可将参数分离出来,利用a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min求解.
(3)参变换位法构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围,列式求解.常见的是转化为一次函数f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]上恒成立问题.若f(x)>0恒成立⇔ 若f(x)<0恒成立⇔
【跟踪训练】若关于x的不等式- x2+2x>mx在(0,2)上恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】因为关于x的不等式- x2+2x>mx在(0,2)上恒成立,所以m<2- x在(0,2)上恒成立,由y=2- x在(0,2)递减,可得2- x>1,则m≤1.即m的取值范围是(-∞,1].
类型三　一元二次不等式的应用【典例3】(2019·江阴高二检测)某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为 升,其中k为常数,且60≤k≤100.
(1)若汽车以120千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围.(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【解题指南】(1)将x=120代入每小时的油耗,解方程可得k=100,由题意可得 ≤9,解不等式可得x的范围.
(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升,由题意可得 换元,令t= ,化简整理可得t的二次函数,讨论t的范围和对称轴的关系,即可得到所求最小值.
【解析】(1)由题意可得,当x=120时, =11.5,解得k=100,由 ≤9,即x2-145x+4 500≤0,解得45≤x≤100,又60≤x≤120,可得60≤x≤100,故欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围为[60,100].
(2)设该汽车行驶100千米油耗为y升,则 = (60≤x≤120),令t= ,则t∈即有y=90 000t2-20kt+20=90 000 +20- ,对称轴为t= ,由60≤k≤100,可得 ∈
①若 即75≤k≤100,则当t= 即x= 时,ymin=20- ;
②若 即60≤k<75,则当t= ,即x=120时,ymin= 答:当75≤k≤100时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为 升;当60≤k<75时,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为 升.
【方法总结】解不等式应用题的四步骤(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.(3)求:解不等式.(4)答:回答实际问题.
【跟踪训练】国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,问k应怎样确定?
【解析】设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的税金为70x·k%万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此,当2≤k≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.
【拓展】高次不等式的解法解不等式：(1)(x+3)(x-2)(x-4)>0.(2)(2x+4)2(x-2)3(x-4)5<0.【解题指南】不等式为高次不等式,用数轴标根法求解.
【解析】(1)函数f(x)=(x+3)(x-2)(x-4)有三个零点-3,2,4,在数轴上标出零点.如图所示. 所以原不等式的解集为{x|-34}.
(2)函数f(x)=(2x+4)2(x-2)3(x-4)5有三个零点-2,2,4,在数轴上标出零点.因为-2是偶次重根,所以“穿而不过”,如图所示.所以原不等式的解集为{x|2【方法总结】高次不等式的解法及其解法步骤①整理.先将不等式化成标准形式,即一端为0,另一端为一次(或二次)因式的积的形式,注意各因式中x的系数一定为正数.
②标根.求出对应函数的零点,并在数轴上依次标出.③穿线.用一条曲线由右上方开始从右到左,从上到下依次穿过各根对应的点,注意偶次重根穿而不过,奇次重根照样穿过,即“奇穿偶不穿”.
④写解集.在数轴上方的曲线所对应的区间是不等式f(x)>0的解集;在数轴下方的曲线所对应的区间是不等式f(x)<0的解集;在数轴上的点对应的是方程f(x)=0的解.
【补偿训练】求不等式(x-1)(x+1)(x-2)<0的解集.
【解析】令(x-1)(x+1)(x-2)=0,解得x=1或x=-1或x=2,即函数f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)有3个零点1,-1,2.在数轴上标出零点,函数图象如图所示.
所以原不等式解集为(-∞,-1)∪(1,2).