2021学年3.2 一元二次不等式及其解法教案
展开3.2 一元二次不等式及其解法
3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法
从容说课
本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.
教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
教具准备 多媒体及课件，幻灯片三张
三维目标
一、知识与技能
1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;
2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;
3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想;
2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观.
教学过程
导入新课
师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.
某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？
假设一次上网x小时，则A公司收取的费用为1.5x，那么B公司收取的费用为多少？怎样得来？
生 结果是元，因为是等差数列，其首项为1.7，公差为-0.1，项数为x的和，即
师 如果能够保证选择A公司比选择B公司所需费用少，则如何列式？
生 由题设条件应列式为＞1.5x(0＜x＜17)，整理化简得不等式x2-5x＜0.
推进新课
师 因此这个问题实际就是解不等式：x2-5x＜0的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.
什么叫做一元二次不等式？
含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.例如2x2-3x-2＞0，3x2-6x＜-2，-2x2+3＜0等都是一元二次不等式.
那么如何求解呢？
师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？
思考：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，
y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？
它的对应值表与图象如下：
x | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
y | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
由对应值表与图象（如上图）可知：
当x=3.5时，y=0，即2x-7=0；
当x＜3.5时，y＜0，即2x-7＜0；
当x＞3.5时，y＞0，即2x-7＞0.
师 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0，0),则有如下结果：
（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；
（2）①当a＞0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＜x0}.
②当a＜0时，一元一次不等式ax+b＞0的解集是{x|x＜x0}；一元一次不等式ax+b＜0的解集是{x|x＞x0}.
师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？
生 函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.
| a＞0 | a＜0 |
一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图象 | ||
一元一次方程ax+b=0的解集 | {x|x=} | {x|x=} |
一元一次不等式ax+b＞0的解集 | {x|x＞} | {x|x＜} |
一元一次不等式ax+b＜0的解集 | {x|x＜} | {x|x＞} |
师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？
在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y＜0？当x为何值时，y＞0？当时我们又是怎样解决的呢？
生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与x轴的交点，通过观察来解决的.
二次函数y=x2-5x的对应值表与图象如下：
x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |
由对应值表与图象（如上图）可知：
当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0；
当0＜x＜5时，y＜0，即x2-5x＜0；
当x＜0或x＞5时，y＞0，即x2-5x＞0.
这就是说，若抛物线y=x 2-5x与x轴的交点是(0，0)与(5，0),
则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.
一元二次不等式x2-5x＜0的解集是{x|0＜x＜5};一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|x＜0或x＞5}.
［教师精讲］
由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.
如何讨论一元二次不等式的解集呢？
我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)，设其判别式为Δ=b2-4ac，它的解按照Δ＞0,Δ=0，Δ＜0分为三种情况，相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴的相关位置也分为三种情况（如下图），因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.
（1）若Δ＞0，此时抛物线y=ax 2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点〔图（1）〕，即方程ax 2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x＜x1，或x＞x2}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是{x|x1＜x＜x2}.
（2）若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴只有一个交点〔图（2）〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)有两个相等的实根x1=x2=,则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是{x|x≠}；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.
(3)若Δ＜0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a＞0)无实根，则不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集是R；不等式ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集是.
Δ=b2-4ac | Δ＞0 | Δ=0 | Δ＜0 |
二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象 | |||
ax2+bx+c=0的根 | x1=x2= | ||
ax2+bx+c＞0的解集 | {x|x＜x1或x＞x2} | {x|x≠} | R |
ax2+bx+c＜0的解集 | {x|x1＜x＜x2} |
对于二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
［知识拓展］
【例1】 解不等式2x 2-5x-3＞0.
生 解：因为Δ＞0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x＜，或x＞3}.
【例2】 解不等式-3x 2+15x＞12.
生 解：整理化简得3x 2-15x+12＜0.因为Δ＞0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是{x|1＜x＜4}.
【例3】 解不等式4x 2+4x+1＞0.
生 解：因为Δ=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是{x|x≠}.
【例4】 解不等式-x 2+2x-3＞0.
生 解：整理化简，得x2-2x+3＜0.因为Δ＜0，方程x 2-2x+3=0无实数解，所以不等式的解集是.
师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？
生 归纳如下：
（1）将二次项系数化为“+”：y=ax 2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).
（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：
①Δ＞0时，求根x1＜x2，
②Δ=0时，求根x 1=x 2=x 0，
③Δ＜0时，方程无解，
（3）写出解集.
师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.
［学生活动过程］
［方法引导］
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.
课堂小结
1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a≠0）.
2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.
布置作业
1.完成第90页的练习.
2.完成第90页习题3.2第1题.
板书设计
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