高中数学3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性达标测试

简单的线性规划问题

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.设x,y满足约束条件则z=x+4y的最大值为 (　　)

A.5   B.3   C.6   D.4

【解析】选A.由约束条件作出可行域如图所示,

由解得C(1,1).

化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式,得y=-x+.由图可知,当直线y=-x+过C点时,直线在y轴上的截距最大,z最大.此时zmax=1+4×1=5.

2.设实数x,y满足约束条件,则z=x+y的取值范围是 (　　)

A.[-1,1]   B.[-1,2]

C.[-1,3]   D.[0,4]

【解析】选C.如图:作出满足不等式组的可行域,

由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1.

3.设x,y满足约束条件则目标函数z=的取值范围为 (　　)

A.[-3,3]   B.[-2,2]

C.[-1,1]   D.

【解析】选D.根据题目中所给的约束条件,画出相应的可行域,为以(-1,-2),(-1,2),(1,0)为顶点的三角形.

如图阴影部分.

而表示点(x,y)与(2,0)连线的斜率,故其范围为.

4.若变量x,y满足约束条件且目标函数z=2x-y的最大值是最小值的2倍,则a的值是 (　　)

A.   B.4  C.3  D.

【解析】选D.

作出不等式组对应的平面区域如图:

由z=2x-y得y=2x-z,平移直线y=2x-z,

则当直线y=2x-z经过点A时,直线的截距最大,

此时z最小,当直线经过点B时,目标函数取得最大值.

由解得A(a,2-a),z的最小值为3a-2;

由得B(1,1),z的最大值为1.

因为变量x,y满足约束条件

且目标函数z=2x-y的最大值是最小值的2倍,

所以1=6a-4,解得a=.

5.若变量x,y满足则目标函数z=4x×的最大值为

 (　　)

A.   B.   C.4   D.16

【解析】选D.由线性约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.由目标函数z=4x×=22x-y,令t=2x-y,则y=2x-t,令t=0,作出直线y=2x,并作出一系列平行线,

则在点A(2,0)处,t=2x-y取得最大值为4,

故z=4x×=22x-y的最大值为16.

6.(2019·厦门高二检测)设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是              (　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点处取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10,

综上:8≤a≤10.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知实数x,y满足约束条件,求目标函数z=x+2y的最小值______. 

【解析】由实数x,y满足约束条件可得如图可行域:

得到可行域为△ABC,点A(1,-1),B,C(1,2),由图可得目标函数z=x+2y过可行域内的点A(1,-1)时的值最小,所以目标函数z=x+2y的最小值为-1.

答案:-1

8.已知实数x,y满足则的最小值为________. 

【解析】由题意作平面区域如图所示,

的几何意义是点A(-1,-2)与点C(x,y)所在直线的斜率,结合图象可知,的最小值为=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在线性约束条件下,求z=2x-y的最大值和最小值.

【解析】如图,作出线性约束条件下的可行域,包含边界:

三条直线中x+3y=12与3x+y=12交于点A(3,3),

x+y=10与x+3y=12交于点B(9,1),

x+y=10与3x+y=12交于点C(1,9),

作一族与直线2x-y=0平行的直线l:2x-y=z.

即y=2x-z,然后平行移动直线l,直线l在y轴上的截距为-z,当l经过点B时,-z取最小值,此时z最大,即zmax=2×9-1=17;当l经过点C时,-z取最大值,此时z最小,即zmin=2×1-9=-7.

所以zmax=17,zmin=-7.

10.(2016·全国卷Ⅱ改编)若x,y满足约束条件求z=x-2y的最小值与最大值.

【解析】约束条件表示的平面区域如图所示,

由得则A(1,2).

同理可得B(3,4),C(3,0).

由z=x-2y得y=x-z,

依题意当直线l:y=x-z经过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=-5.

当直线l:y=x-z经过点C(3,0)时,z取得最大值,zmax=3.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为

 (　　)

A.2   B.3   C.4   D.9

【解析】选B.已知变量x,y满足约束条件

在坐标系中画出可行域如图所示:

在△ABC中,A(2,0),B(1,1),C(3,3),

则目标函数z=2x+y的最小值为3.

2.若变量x,y满足约束条件则z=的最大值为 (　　)

A.4   B.2   C.   D.

【解析】选B.画出约束条件所表示的可行域,如图所示,

由目标函数z=,可化为z=表示平面区域的点与原点O(0,0)连线的斜率,

结合图象可知,当过点A时,此时直线的斜率最大,

又由,解得

所以目标函数的最大值为z==2.

3.已知A(2,1),设P(x,y)为可行域内一点,则·的最大值为 (　　)

A.-2   B.   C.4   D.5

【解析】选C.由题意作出其可行域,由

解得M(1,2),

·=z=2x+y,由线性规划知识知经过点M时,取得最大值,此时x=1,y=2,z=2x+y有最大值2×1+2=4.

4.实数x,y满足若μ=2x-y的最小值为-4,则实数a等于

 (　　)

A.-4   B.-3   C.-2   D.6

【解析】选C.作出可行域如图所示,

当直线y=2x-μ过点A(a-1,a)时,μ有最小值-4

所以2(a-1)-a=-4,解得a=-2.

5.(2019·合肥高二检测)若直线y=k与不等式组表示的平面区域有公共点,则实数k的取值范围是              (　　)

A.   B.[0,2]

C.    D.

【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域,如图所示

直线y=k过定点A(-1,0) ,要使得直线y=k与不等式组表示的平面区域有公共点,则0≤k≤kAC,

因为kAC==2,所以k∈.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.若实数x,y满足约束条件则z=x+y的取值范围是________. 

【解析】由x,y满足约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为y=-x+z,

由图可知,当直线y=-x+z过点A时直线在y轴上的截距最小,由,解得A,z有最小值为2.

答案:[2,+∞)

7.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值为________. 

【解析】不等式组所表示平面区域如图,由图可知|OM|的最小值即O到直线x+y-2=0的距离.故|OM|的最小值为=.

答案:

8.已知x,y满足约束条件,若使z=ax-y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a=________. 

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

z=ax-y可化为y=ax-z,要使z=ax-y取得最小值,只需直线y=ax-z在y轴上的截距最大,

又z=ax-y取得最小值的最优解有无穷多个,

所以直线y=ax-z的斜率与直线AB的斜率相等,

因为直线AB的斜率为,

所以a=.

答案:

9.已知实数x,y满足则z=·的最小值为______________. 

【解析】由题意可知不等式组表示的平面区域是以(0,0),(1,2),为顶点的三角形(不包括x=0这条边),当动直线2x+y=t经过点(1,2)时,t=2x+y取得最大值4,因为z=·=,所以此时z取得最小值=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.设不等式组,表示的平面区域为D,若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象上存在区域D上的点,求a的取值范围.

【解析】画出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,

直线4x-3y+4=0与x+y-6=0的交点为A(2,4),

直线x+y-6=0与x-2y+1=0的交点为B.

对于指数函数y=ax,当0<a<1时函数递减,在y轴右边纵坐标小于1,而阴影部分的最低点纵坐标>1,所以没有交点;

当a>1时,指数函数y=ax为增函数,当过A点时,a2=4,a=2,根据指数函数的性质可以得到1<a≤2.

11.已知x,y满足条件求:

(1)4x-3y的最大值和最小值.

(2)x2+y2的最大值和最小值.

【解析】(1)原不等式组表示的平面区域如图所示,

其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2).

设z=4x-3y,

则y=x-,

作斜率为的一族平行直线,由图可知,当它经过C点时z值最小,当它经过B点时z值最大.

zmin=4×(-3)-3×2=-18,

zmax=4×(-1)-3×(-6)=14.

(2)设μ=x2+y2,则μ就是点(x,y)与原点距离的平方.由(1)中图可知,B点到原点的距离最大,而当(x,y)在原点时,距离为0.

所以μmax=(-1)2+(-6)2=37,μmin=0.

12.已知实数x,y满足

(1)求z=的最大值和最小值.

(2)求z=x2+y2+2x+1的最小值.

(3)求z=|x-y+3|的最大值.

【解析】画出可行域,如图,通过计算可得A(2,3),B(0,2),C(1,0).

(1)z==表示可行域内的点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,结合图形可知直线MB的斜率最大,直线MC的斜率最小,即zmax=kMB=3,zmin=kMC=.

(2)z=x2+y2+2x+1=(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(-1,0)的距离的平方,由图可知z的最小值为点(-1,0)到直线BC:2x+y-2=0的距离的平方,又点(-1,0)到直线BC:2x+y-2=0的距离d==,故z的最小值为.

(3)z=×,故求z的最大值,即求可行域内的点(x,y)到直线x-y+3=0的距离的最大值的倍,易知点C到直线x-y+3=0的距离最大,

所以zmax=×=4.