高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式课时练习

基本不等式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.下列不等式正确的是 (　　)

A.a+≥2    B.(-a)+≤-2

C.a2+≥2   D.(-a)2+≤-2

【解析】选C.由题意,a≠0,所以a2>0,所以a2+≥2成立.

2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么 (　　)

A.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一

B.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值唯一

C.ab≤c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一

D.ab≥c+d且等号成立时,a,b,c,d的取值不唯一

【解析】选A.a,b,c,d是正数,有ab≤=4,

当等号成立时,a=b=2,4=cd≤⇒c+d≥4,当等号成立时,c=d=2.

综上可知ab≤c+d且等号成立时,a=b=c=d=2.

3.已知a>0,b>0,且2a+b=1,则+≥ (　　)

A.7   B.8   C.9   D.10

【解析】选C.依题意+=(2a+b)=5++≥5+2=5+4=9.

4.已知x>0,若x+的值最小,则x为 (　　)

A.81   B.9   C.3   D.16

【解析】选B.因为x>0,所以x+≥2=18,当且仅当x=,即x=9时等号成立.

5.已知m=a+(a>2),n=2(2-b2)(b≠0),则m,n之间的大小关系是 (　　)

A.m>n   B.m<n

C.m=n   D.不确定

【解析】选A.因为a>2,所以a-2>0,

又因为m=a+=(a-2)++2,

所以m≥2+2=4,由b≠0,得b2≠0,

所以2-b2<2,n=2(2-b2)<4,

综上可知m>n.

6.已知3a=5b=15(a,b>0,且a≠b),则a,b不可能满足的关系是 (　　)

A.a+b>4     B.ab>4

C.(a-1)2+(b-1)2>2  D.a2+b2<8

【解析】选D.由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,

所以3ab=15b,5ab=15a,

所以3ab·5ab=15b·15a,即15ab=15a+b,

所以a+b=ab,

又a,b为不相等的正数,所以a+b>2,

所以ab>2,即ab>4,故A,B正确;

(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),

又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确;

a2+b2>2ab,ab>4,所以a2+b2>8,故D错误.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.下列不等式证明过程正确的是________. 

①若a,b∈R,则+≥2=2;

②若x>0,y>0,则lg x+lg y≥2;

③若x<0,则x+≥-2=-4;

④若x<0,则2x+2-x>2=2.

【解析】因为x<0,所以2x∈(0,1),2-x>1,

所以2x+2-x>2=2,④正确.

①,②不满足“一正”,③中“≥”应当为“≤”.

答案:④

8.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m≤________. 

【解析】不等式+≥恒成立,

则m≤(a+9b)=++10恒成立.

因为++10≥2+10=16,当且仅当a=3b时等号成立,

所以m≤16.

答案:16

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+c>++.

【证明】因为a>0,b>0,c>0,

所以a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2.

所以2(a+b+c)≥2(++),

即a+b+c≥++.

由于a,b,c为不全相等的正实数,

所以等号不成立.

所以a+b+c>++.

10.设x>0,求证:x+≥.

【证明】因为x>0,所以x+>0,

所以x+=x+=+-≥2-=,

当且仅当x+=,

即x=时,等号成立.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.设0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是 (　　)

A.     B.a2+b2

C.2ab    D.a

【解析】选B.因为0<a<b,

所以1=a+b>2a,所以a<,

又因为a2+b2≥2ab,

所以最大数一定不是a和2ab,

又因为1=a+b>2,所以ab<,

所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,

即a2+b2>.

【一题多解】选B.特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,因为>>>,所以a2+b2最大.

2.已知a,b,c均为正实数,且ab+bc+ca=1,那么下列不等式中正确的是

 (　　)

A.a2+b2+c2≥2    B.(a+b+c)2≥3

C.++≥2   D.abc(a+b+c)≤

【解析】选B.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)(当且仅当a=b=c时取等号),所以a2+b2+c2≥1.所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≥1+2,所以(a+b+c)2≥3.

3.已知a,b∈(0,+∞),且a+b++=5,则a+b的取值范围是 (　　)

A.[1,4]    B.[2,+∞)

C.(1,4)    D.(4,+∞)

【解析】选A.因为a,b∈R+,所以≥ab,可得≥,当且仅当a=b=或a=b=2时取等号,因为a+b++=5,

所以(a+b)=5≥(a+b),

化为:(a+b)2-5(a+b)+4≤0,

解得1≤a+b≤4,则a+b的取值范围是[1,4].

4.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,若M=(-1)(-1),则必有 (　　)

A.0≤M<　　　　　  B.≤M<1

C.1≤M<8     D.M≥8

【解析】选D.因为a+b+c=1,利用基本不等式a+b≥2(a,b∈R+)代换,所以

=≥=8.

当且仅当a=b=c=时等号成立.

5.设x,y∈R+且xy-(x+y)=1,则 (　　)

A.x+y≥2(+1)     B.xy≤+1

C.x+y≤(+1)2     D.xy≥2(+1)

【解析】选A.因为x,y∈R+且xy-(x+y)=1,

则xy=1+(x+y)≥1+2,

化为:()2-2-1≥0,

解得≥1+,即xy≥(1+)2,

xy=1+(x+y)≤,

即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,

解得x+y≥2(+1).

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.已知正实数a,b满足2a+b=1,则+≥________. 

【解析】因为正实数a,b满足2a+b=1,所以+=(2a+b)=++≥+2=,

当且仅当a=b=时取等号,

所以+≥.

答案:

7.某市一外贸公司,第一年产值增长率为a,第二年产值增长率为b,这两年的平均增长率为x,那么x与的大小关系是__________. 

【解析】依题意,可得(1+x)2=(1+a)(1+b)≤=,

所以1+x≤1+,

即x≤.

答案:x≤

8.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是________. 

【解析】因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d=r.d==1,

整理得m+n+1=mn,因为m,n∈R,

所以mn≤,

所以m+n+1≤,

即(m+n)2-4(m+n)-4≥0,

解得m+n≤2-2或m+n≥2+2.

答案:(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)

9.已知a,b,c都是非负实数,++与(a+b+c)的大小关系为________. 

【解题指南】对,,分别利用基本不等式,即可比较出两者的大小.

【解析】因为a2+b2≥2ab,

所以2(a2+b2)≥(a+b)2,

所以≥(a+b).

同理,≥(b+c),≥(c+a).

所以++

≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c).

故++≥(a+b+c),

当且仅当a=b=c时,等号成立.

答案:++≥(a+b+c)三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知x,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.

【解析】因为x,y是正实数,

所以30=x+2y+xy≥2+xy,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.

所以xy+2-30≤0.

令=t,则t>0,t2+2t-30≤0,

解得-5≤t≤3,又t>0,

所以0<≤3,即xy的取值范围是(0,18].

11.(1)已知a>b>c,求证:++≥0.

(2)已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.

【解析】(1)因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0.

所以4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2.

所以≥,即-≥0.

所以++≥0.

(2)因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab.

所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4.

即a2+4b2+≥4.

当且仅当a=1,b=时取等号.

【补偿训练】已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

【证明】由基本不等式可得:a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2,

同理:b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,

所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2c2a2,

所以a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

12.设实数x,y满足y+x2=0,且0<a<1.求证:loga(ax+ay)<+loga2.

【证明】因为ax>0,ay>0,

所以ax+ay≥2,

又因为0<a<1,

所以loga(ax+ay)≤loga2

=logaax+y+loga2=(x+y)+loga2,

因为x2+y=0,

所以loga(ax+ay)≤(x-x2)+loga2

=-++loga2≤+loga2,

又上式中等号不能同时取到,所以原不等式得证.