人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数学案，共22页。

(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质．
教学难点：幂函数性质的简单应用.
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数eq \(□,\s\up3(01))y＝xα称为幂函数，其中eq \(□,\s\up3(02))α为常数．
知识点二 一些常用幂函数的图像
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的图像(如图)．
知识点三 幂函数的共同特征
(1)所有的幂函数在区间eq \(□,\s\up3(01))(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点eq \(□,\s\up3(02))(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过eq \(□,\s\up3(03))原点，并且在区间[0，＋∞)上是eq \(□,\s\up3(04))增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是eq \(□,\s\up3(05))减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近eq \(□,\s\up3(06))y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近eq \(□,\s\up3(07))x轴．
1．幂函数的特征
(1)xα的系数为1.
(2)xα的底数是自变量．
(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数与指数函数的区别
3．一些常用幂函数的性质
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．( )
(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．( )
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )
(4)对于幂2 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( )
(5)当x＞1时，函数y＝x2的图像总在函数y＝x3的图像的下方．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,5)) 是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是______，奇偶性是________，单调性为____________________________．
题型一 幂函数的定义
例1 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) (1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x eq \s\up15(eq \f(1,m2－1)) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
题型二 幂函数的图像及应用
例2 幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) 在第一象限内的图像依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．
题型三 幂函数的性质及应用
——角度1 比较幂值大小——
例3 比较下列各组数的大小：
(1)1.5 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，1.7 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；
(4)0.53,30.5，lg30.5.
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0.5，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)(－0.23) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，0.32 eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
——角度2 解不等式——
例4 已知(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，求实数a的取值范围．
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) 已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围．
1．下列函数①y＝x2＋1；②y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ；③y＝2x2；④y＝x eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ；⑤y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是( )
A．①⑤⑥B．①②③⑦
C．②④D．②③⑤⑦
2．函数y＝xeq \f(5,3)的图像大致是图中的( )
3．(多选)设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1，3))，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是( )
A．－1 B.eq \f(1,2)
C．1D．3
4．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
5．已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
2. 已知幂函数y＝xn在第一象限内的图像如图所示，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2)D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) B．y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2))
C．y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) D．y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3))
4．(多选)函数f(x)＝x eq \s\up15(eq \f (3,5)) 在[－1,1]上是( )
A．奇函数B．偶函数
C．减函数D．增函数
5．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (3,5)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2－2m－1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
7．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ，若f(a＋1)8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) 和3.1 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) ；
(2)－8 eq \s\up15(－eq \f(7,8)) 和－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) ；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) .
10．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
1．若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，fx≤gx，,gx，fx>gx，))求函数h(x)的最大值及单调区间．
2. 如图所示，函数F(x)的图像是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图像“拼接”而成的．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围．
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数 讲义
(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质．
教学难点：幂函数性质的简单应用.
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数eq \(□,\s\up3(01))y＝xα称为幂函数，其中eq \(□,\s\up3(02))α为常数．
知识点二 一些常用幂函数的图像
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的图像(如图)．
知识点三 幂函数的共同特征
(1)所有的幂函数在区间eq \(□,\s\up3(01))(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点eq \(□,\s\up3(02))(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过eq \(□,\s\up3(03))原点，并且在区间[0，＋∞)上是eq \(□,\s\up3(04))增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是eq \(□,\s\up3(05))减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近eq \(□,\s\up3(06))y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近eq \(□,\s\up3(07))x轴．
1．幂函数的特征
(1)xα的系数为1.
(2)xα的底数是自变量．
(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数与指数函数的区别
3．一些常用幂函数的性质
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．( )
(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．( )
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )
(4)对于幂2 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( )
(5)当x＞1时，函数y＝x2的图像总在函数y＝x3的图像的下方．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝ax eq \s\up15(a2－eq \f(1,5)) 是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是______，奇偶性是________，单调性为____________________________．
答案 (1)3 (2)－8 (3)R [0，＋∞) 偶函数 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
题型一 幂函数的定义
例1 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
故m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．
金版点睛
判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) (1)在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x eq \s\up15(eq \f(1,m2－1)) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)因为y＝eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数为2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B.
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m2－1≠0，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)，))
所以m＝－3，n＝eq \f(3,2).
题型二 幂函数的图像及应用
例2 幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) 在第一象限内的图像依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3
[解析] 由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图像为C1，y＝x－1在第一象限内的图像为C4，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) 在第一象限内的图像为C2，y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) 在第一象限内的图像为C3.
[答案] D
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解决幂函数图像问题应把握的两个原则
1依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图像越远离x轴简记为指大图高.
2依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像类似于y＝x－1或y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 或y＝x3来判断.
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) (1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．
答案 (1)B (2)见解析
解析
(1)在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0(2)①y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \r(3,x2)，定义域为实数集R.
②设y＝f(x)，因为f(－x)＝eq \r(3,－x2)＝eq \r(3,x2)＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 是偶函数．
③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y轴的对称图像，即得函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 的图像，如图所示．
根据图像易知，函数y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．
题型三 幂函数的性质及应用
——角度1 比较幂值大小——
例3 比较下列各组数的大小：
(1)1.5 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，1.7 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；
(4)0.53,30.5，lg30.5.
[解] (1)∵y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) 在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴1.5 eq \s\up15( eq \f (1,2)) <1.7 eq \s\up15( eq \f (1,2)) .
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1.
∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2.
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
(4)∵0<0.53<1,30.5>1，lg30.5<0，
∴lg30.5<0.53<30.5.
金版点睛
幂值大小的比较方法
两个或几个幂值比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 比较下列各组数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0.5，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
(3)(－0.23) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，0.32 eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
解 (1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且eq \f(2,3)>eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
且－eq \f(2,3)<－eq \f(3,5)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1.
(3)∵y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 为R上的偶函数，∴(－0.23) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝0.23 eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
又∵y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) 为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23 eq \s\up15( eq \f (2,3)) <0.32 eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
∴(－0.23) eq \s\up15( eq \f (2,3)) <0.32 eq \s\up15( eq \f (2,3)) .
——角度2 解不等式——
例4 已知(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，求实数a的取值范围．
[解] ∵y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，
又(a＋1) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) <(3－2a) eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ，
∴3－2a<1＋a<0或a＋1>3－2a>0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,3－2a>0.))
解得eq \f(2,3)金版点睛
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数．
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系．
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) 已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围．
解 由幂函数y＝x－2的图像(如图)可知，|x|越小，y值越大．
∵(a＋1)－2>(3－2a)－2，
∴|a＋1|<|3－2a|，
即(a＋1)2<(3－2a)2，
∴3a2－14a＋8>0，
结合y＝3a2－14a＋8的图像，得a4.
1．下列函数①y＝x2＋1；②y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ；③y＝2x2；④y＝x eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ；⑤y＝x eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是( )
A．①⑤⑥B．①②③⑦
C．②④D．②③⑤⑦
答案 C
解析 符合幂函数y＝xα形式的只有②④，故选C.
2．函数y＝xeq \f(5,3)的图像大致是图中的( )
答案 B
解析 ∵函数y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) 是奇函数，且eq \f(5,3)>1，∴函数y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) 的图像大致为B.
3．(多选)设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1，3))，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是( )
A．－1 B.eq \f(1,2)
C．1D．3
答案 CD
解析 对于A，当α＝－1时，y＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于B，当α＝eq \f(1,2)时，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C，当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；对于D，当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD.
4．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
答案 b解析 a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，可利用幂函数的性质，得a>b，a与c可由指数函数的单调性得c>a，∴b5．已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
解 ∵幂函数f(x)＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.
又f(x)＝x3m－9的图像关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数，∴m＝1.∴f(x)＝x－6.
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
答案 D
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为直线y＝1去掉(0,1)点，故A不正确；当α<0时，幂函数y＝xα 的图像不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，所以幂函数的图像都不过第四象限，故D正确．
2. 已知幂函数y＝xn在第一象限内的图像如图所示，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2)D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
答案 B
解析 图中曲线C1的指数n>1，曲线C2的指数02－2知B正确．
3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) B．y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2))
C．y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) D．y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3))
答案 D
解析 A中，y＝x eq \s\up15( eq \f (1,3)) ＝eq \r(3,x)，定义域、值域都为R；B中，y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \f(1,\r(x))的定义域与值域都为(0，＋∞)；C中，y＝x eq \s\up15( eq \f (5,3)) 的定义域、值域也都为R；D中，y＝x eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \r(3,x2)的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．故选D.
4．(多选)函数f(x)＝x eq \s\up15(eq \f (3,5)) 在[－1,1]上是( )
A．奇函数B．偶函数
C．减函数D．增函数
答案 AD
解析 ∵f(x)＝x eq \s\up15(eq \f (3,5)) ，∴f(－x)＝(－x) eq \s\up15(eq \f (3,5)) ＝－x eq \s\up15(eq \f (3,5)) ＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．又由函数单调性的定义可证函数f(x)在[－1,1]上为增函数．故选AD.
5．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (3,5)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
答案 A
解析 ∵y＝x eq \s\up15(eq \f (2,5)) (x>0)为增函数，又eq \f(3,5)>eq \f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，又eq \f(2,5)b.∴a>c>b.
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2－2m－1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
答案 －1或3
解析 由幂函数的定义可知，m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝3时，y＝x2，符合题意，所以m＝－1或3.
7．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ，若f(a＋1)答案 (3,5)
解析 ∵f(x)＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ＝eq \f(1,\r(x))(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a<5，,a>3.))∴38．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，－2≤x≤c，,\f(1,x)，c答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 若c＝0，由二次函数的性质可得x2＋x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))，eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))，∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞))；若f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).由于当c0.∵当x＝－2时，x2＋x＝2，且当x＝－eq \f(1,2)时，x2＋x＝－eq \f(1,4)，要使f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c2＋c≤2，,\f(1,c)≤2，))∴eq \f(1,2)≤c≤1，∴c的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) 和3.1 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) ；
(2)－8 eq \s\up15(－eq \f(7,8)) 和－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) ；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) .
解 (1)函数y＝x－eq \f(5,2)在(0，＋∞)上为减函数，
因为3<3.1，所以3 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) >3.1 eq \s\up15(－eq \f (5,2)) .
(2)－8 eq \s\up15(－eq \f(7,8)) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) ，函数y＝x eq \s\up15( eq \f (7,8)) 在(0，＋∞)上为增函数，
因为eq \f(1,8)>eq \f(1,9)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) .
从而－8 eq \s\up15(－eq \f(7,8)) <－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9))) eq \s\up15( eq \f (7,8)) .
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ，
函数y＝x－eq \f(2,3)在(0，＋∞)上为减函数，
因为eq \f(2,3)>eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) 10．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意，得m2－5m＋7＝1，
解得m＝2或3.
因为函数f(x)是偶函数，故f(x)＝x2.
(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，
g(x)的对称轴是x＝eq \f(a,2)，
若g(x)在[1,3]上不是单调函数，
则11．若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx，fx≤gx，,gx，fx>gx，))求函数h(x)的最大值及单调区间．
解 (1)设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，所以(eq \r(2))α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))在幂函数g(x)的图像上，所以2β＝eq \f(1,2)，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图像，可得函数h(x)的图像如图所示．由题意及图像可知h(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x<0或x>1，,x2，0根据函数h(x)的解析式及图像可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
2. 如图所示，函数F(x)的图像是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图像“拼接”而成的．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围．
解 (1)将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))分别代入f(x)＝ax与g(x)＝xb，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a eq \s\up15( eq \f (1,4)) ＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))b＝\f(1,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,16)，,b＝\f(1,2).))
∴F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))x，x≤\f(1,4)，,x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，x>\f(1,4).))
(2)ab＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16))) eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2，ba＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,16)) ，
又函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上是减函数，2>eq \f(1,16)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,16)) ，即ab(3)由(1)可得(m＋4) eq \s\up15(－eq \f (1,2)) <(3－2m) eq \s\up15(－eq \f (1,2)) ，
又幂函数y＝x eq \s\up15(－eq \f (1,2)) 在其定义域(0，＋∞)上是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋4>0，,3－2m>0，,m＋4>3－2m，))解得－eq \f(1,3)∴实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(3,2))).
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2))
y＝x－1
图像
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x eq \s\up15( eq \f (1,2))
y＝x－1
图像
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)，
(0,0)
(1,1)