初中北师大版第四章 三角形3 探索三角形全等的条件知识点教学设计

专题11 全等三角形性质判定

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重难突破

知识点一  全等三角形的性质

1、全等形及全等三角形

(1)全等形：能够完全重合的两个图形称为全等图形．

全等图形的形状和大小都相同．

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

2、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；

全等三角形的对应中线、高、角平分线相等；对应周长、面积相等．

典例1

(2017春•大邑县期末)下图是两个全等的三角形，图中的字母表示三角形的边长，则__________度．

【解答】解：两个全等三角形，

．

又，

．

故答案为： 66 ．

典例2

(2019秋•龙泉驿区期末)如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则

A． B． C． D．

【解答】解：如图，在和中，

，

，

，

，

，

又，

．

故选：．

知识点二  全等三角形的判定

全等三角形判定

①三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” ．

②两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA” ．

③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

④两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

注意：

证明两个三角形全等，找条件时注意挖掘隐含的等角或等边，如：公共角、公共边、对顶角、平行线中的同位角、内错角等；

典例1

(2019春•光明区期末)如图，点E，点F在直线AC上，DF＝BE，∠AFD＝∠CEB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是(　　)

A．∠B＝∠D B．AD＝CB C．AE＝CF D．∠A＝∠C

【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由全等三角形的判定定理ASA可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．

B、添加AD＝CB，由全等三角形的判定定理SSA不能判定△ADF≌△CBE，故本选项正确．

C、添加AE＝CF，可以得到AF＝CE，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．

D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理AAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项错误．

故选：B．

典例2

(2019春•商河县期末)如图，已知，添加下列条件不能判断的条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意得，，

、在与中，

，

，故选项能判定全等；

、在与中，

由，，，可知与不全等，

故选项不能判定全等；

、在与中，

，

，故选项能判定全等；

、在与中，

，

，故选项能判定全等；

故选：．

知识点三  性质与判定综合

典例1

(2019春•长清区期末)如图所示，是等边三角形，且，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：在和中，

，

，

，

，

．

故选：．

典例2

如图，点、、、在同一条直线上，，，．

(1)求证：；

(2)若，，求的度数．

【解答】证明：(1)，，且

在和中，

(2)由(1)可知，

，

典例3

(2019春•龙岗区期末)已知在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．

(1)求证：AE＝BE；

(2)若AC＝3，BC＝4，求△ACE的周长．

【解答】(1)证明：在△ACE和△BDE中，，

∴△ACE≌△BDE(AAS)，

∴AE＝BE；

(2)解：∵AC＝3，BC＝4，

由(1)得：AE＝BE，

∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝3+4＝7．

典例4

(2019春•龙岗区期末)如图，已知正方形ABCD(四边相等，四个角都是直角)，点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC，交BC于点F，点G为DA延长线上一定点，满足AG＝AD，GE的延长线与DF交于点H，连接BH．

(1)判断△BEF是　    　三角形．

(2)求证：△AGE≌△CDF．

(3)探究∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．

【解答】解：(1)△BEF是等腰直角三角形，

∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵AC∥EF，

∴△BEF是等腰直角三角形；

故答案为：等腰直角；

(2)证明：如图1，

∵△ABC和△BEF为等腰直角三角形，

∴AB＝BC，BE＝BF，

∴AB﹣BE＝BC﹣BF，即是AE＝FC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝CD＝AG，∠GAE＝∠DCF＝90°，

∴△AGE≌△CDF(SAS)，

(3)∠EHB＝45°．

如图2，在GE上截取ME＝HF，

∵△AGE≌△CDF，

∴∠AEG＝∠DFC

∴180﹣∠AEG＝180﹣∠DFC

即是∠MEB＝∠HFB，

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴BE＝BF，

∵BE＝BF，ME＝HF，∠MEB＝∠HFB，

∴△MEB≌△HFB(SAS)，

∴∠MBE＝∠HBF，MB＝BH，

∵∠HBF+∠EBH＝90°，

∴∠MBE+∠EBH＝90°即是∠MBH＝90°

∴△MBH为等腰直角三角形，

∴∠EHB＝45°．

知识点四  尺规作三角形

典例1

(2019春•太原期末)已知：如图，，点是延长线上的一点，且．

求作：，使且点与点在同侧．(要求：尺规作图，保留作图痕迹)

【解答】解：如图，为所作．

巩固训练

一、单选题(共7小题)

1．(2019春•太原期末)如图，△，点在边上，线段与交于点，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：△，

，，，

，，

．

故选：．

2．(2019春•金牛区期末)如图，已知点B、E、C、F在一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DFE的是(　　)

A．BE＝CF B．AB＝DF C．∠ACB＝∠DEF D．AC＝DE

【解答】解：∵∠A＝∠D，∠B＝∠DFE，

∴当BE＝CF时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE(AAS)；

当AB＝DF时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE(ASA)；

当AC＝DE时，即BC＝EF，△ABC≌△DFE(AAS)．

故选：C．

3．(2019•大邑县模拟)如图，已知AB＝DC，需添加下列(　　)条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．

A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO

【解答】解：A、添加AO＝BO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

B、添加∠ACB＝∠DBC不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

C、添加AC＝DB可利用SSS判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；

D、添加BO＝CO不能判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

故选：C．

4．(2019春•龙岗区期末)如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是(　　)

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【解答】解：在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC(SSS)，

∴∠DAC＝∠BAC，

∴AC就是∠DAB的平分线．

故选：A．

5．(2019春•雁塔区校级期末)根据下列条件能画出唯一的是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：、，

根据，，不能画出三角形，故本选项错误；

、根据，，不能画出唯一三角形，如图所示和，

故本选项错误；

、根据，，不能画出唯一三角形，故本选项错误；

、根据，，，符合全等三角形的判定定理，即能画出唯一三角形，故本选项正确；

故选：．

6．(2019春•雁塔区校级期末)如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：，，

，

，，

，

在和中

，

，

，

．

故选：．

7．(2019春•福田区期末)如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则(　　)

A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝145° C．α+β＝135° D．β﹣α＝60°

【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，

∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，

∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，

∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，

∵C′D∥B′E，

∴∠AEB′＝∠C′MC，

∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，

∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，

∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，

∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，

即：2α+β＝180°．

故选：A．

二、填空题(共4小题)

8．(2019春•锦江区校级期中)如图，，，，则的长是　   　．

【解答】解：，，

，

，

故答案为：5．

9．(2019春•青羊区期末)如图所示，已知AF＝DC，BC∥EF，若要用“SAS”去证△ABC≌△DEF，则需添加的条件是　　     ．

【解答】解：需要添加条件为BC＝EF，

理由是：∵AF＝DC，

∴AF+FC＝DC+FC，

即AC＝DF，

∵BC∥EF，

∴∠BCA＝∠EFD，

∵在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SAS)，

故答案为：BC＝EF．

10．(2019春•龙岗区期末)如图，已知AB＝AC，用“SAS”定理证明△ABD≌△ACE，还需添加条件　     　．

【解答】解：需添加条件是AD＝AE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

故答案为：AD＝AE．

11．(2019春•郑州期末)如图，在中，，．点为的中点，为边上一动点(不与、点重合)，以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点(不与、点重合)，分别连接、，下列结论中正结论是　     　．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

①；

②是等腰直角三角形；

③无论点、的位置如何，总有成立；

④四边形的面积随着点、的位置不同发生变化．

【解答】解：，．点为的中点，

，，，

，

，且，，

，，，

，

四边形的面积，

故①符合题意，④不符合题意，

，，

是等腰直角三角形，

故②符合题意，

当点在中点时，可得，，

，

故③不合题意，

故答案为①②．

三、解答题(共2小题)

12．(2019春•金牛区期末)已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．

【解答】证明：∵BE＝CF，

∴BE+EC＝CF+EC，

即：BC＝EF，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

∴∠A＝∠D．

13．(2019秋•苍溪县期末)已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．

(1)如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；

(2)如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；

(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．

【解答】(1)解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠E，

∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，

∴∠E＝30°，

∵DA＝DE，

∴∠DAC＝∠E＝30°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，

∴BD＝DC，

∴AD是△ABC的中线．

(2)结论：AB+BD＝AE，理由如下：

如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，

∵BH＝BD，∠B＝60°，

∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD即AH＝DC，

∴∠BHD＝60°，BD＝DH，

∵AD＝DE，

∴∠E＝∠CAD，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E即∠BAD＝∠CDE，

∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，

∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB即∠AHD＝∠DCE，

∵∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∠AHD＝∠DCE，

在△AHD和△DCE，

，

∴△AHD≌△DCE(AAS)，

∴DH＝CE，

∴BD＝CE，

∴AE＝AC+CE＝AB+BD．

(3)AB＝BD+AE，

如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝60°，

∴△AFE是等边三角形，

∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，

∴EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DEF，

∵AD＝DE，

∴∠DEA＝∠DAE，

∴∠DEF＝∠DAF，

∵DF＝DF，AF＝EF，

在△AFD和△EFD中，

，

∴△AFD≌△EFD(SSS)

∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，

∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，

∵∠EDB＝∠DEF，

∴∠FDB＝∠DFB，

∴DB＝BF，

∵AB＝AF+FB，

∴AB＝BD+AE．