北师大版七年级下册5 利用三角形全等测距离知识点教案

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专题12 全等三角形的模型及应用
知识网络



重难突破

知识点一 全等三角形常见模型
(1)一线三等角
常见图形如下：(含特殊的一线三垂直)



(2)手拉手模型
常见图形如下：(等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)


(2)半角模型
常见图形如下：(正方形、一般四边形)



(1)一线三等角
典例1
(2019春•莲湖区期末)如图1，在中，，，过点作直线，且满足于点，于点，当，在直线的同侧时，

(1)求证：．
(2)如果上面条件不变，当，在直线的异侧时，如图2，问、、之间的数量关系如何？写出结论并证明．
(3)如果上面条件不变，当，在直线的异侧时，如图3，问、、之间的数量关系如何？写出结论并证明．
【解答】(1)证明：如图1，，，

，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，，
，
；
(2)解：，
理由：如图2，

，，
．
．

．
在和中，
，
，
，．
，
．
(3)解：，
理由是：如图3，同理易证得：，

，，
，
．
典例2
(2019春•长清区期末)是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．


(1)如图(1)，若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由．
(2)如图(2)，若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：(1)，理由：
，，
，(同角的余角相等)
，，
，
；

(2)，理由：
，，
，(同角的补角相等)
，，
，
，，
．



(2)手拉手全等
典例1
如图，等边中，是边上的一动点，以为一边，向上作等边，连接．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．

【解答】证明：(1)和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
(2)，理由是：
，
，
是等边三角形，
，
，
．
典例2
(2019春•金牛区期末)如图．已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAB+∠DAE的度数；
(3)请问线段CE、BF、DE之间有什么数量关系？请说明理由．

【解答】(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE(SAS)；
(2)解：∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠CAB＝∠DAE，∠BCA＝∠E＝45°，
∠FAB+∠DAE＝∠FAB+∠CAB＝∠FAC，
∵∠AFC＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴∠FAB+∠DAE＝45°；
(3)解：CE＝2BF+2DE；理由如下：
延长BF到G，使得FG＝FB，连接AG，如图所示：
∵AF⊥BG，
∴AB＝AG，
∴∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE，
∴CE＝2BF+2DE．

典例3
(2019春•天桥区期末)如图1，在中，，点是边上一点(不与点、重合)，以为边在的右侧作，使，，连接，设，．
(1)线段、的数量关系是　　 ；并说明理由；
(2)探究：当点在边上移动时，，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图2，若，与的延长线交于点．求证：．

【解答】解：(1)结论：．
理由：如图1中，

，，，
，
，
．

(2)结论：．
理由：如图1中，
(已证)，
，
，
，，
．

(3)如图2中，

由(1)可知，
，，
，，
，
，，
，
，，
．

(3)半角模型
典例1
(2019春•罗湖区期末)四边形ABCD是正方形(四条边相等，四个角都是直角)．
(1)如图1，将一个直角顶点与A点重合，角的两边分别交BC于E，交CD的延长线于F，试说明BE＝DF；
(2)如图2，若将(1)中的直角改为45°角，即∠EAF＝45°，E、F分别在边BC、CD上，试说明EF＝BE+DF；
(3)如图3，改变(2)中的∠EAF的位置(大小不变)，使E、F分别在BC、CD的延长线上，若BE＝15，DF＝2，试求线段EF的长．

【解答】证明：(1)∵正方形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴BE＝DF；
(2)如图2，∵AD＝AB，
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE'，此时AB与AD重合．由旋转可得∠BAE＝∠DAE'，BE＝DE'，∠B＝∠ADE'＝90°．

∴∠ADF+∠ADE'＝90°+90°＝180°，
∴点F、D、E'在同一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAF+∠DAE'＝45°＝∠EAF，
在△EAF和△E'AF中，
∵，
∴△EAF≌△E'AF(SAS)，
∴EF＝E'F，
∵E'F＝DF+DE'＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；
(3)将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图3所示，

由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，
∵∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝45°，
∴∠EAF′+∠EAD+∠DAF＝90°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°．
在△EAF和△EAF′中，
，
∴△EAF≌△EAF′(SAS)，
∴EF＝EF′，
∴EF＝EF'＝BE﹣BF'＝BE﹣DF＝15﹣2＝13．

知识点二 全等三角形的应用
典例1
(2019春•皇姑区期末)要测量河岸相对两点、的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点、、在一条直线上，如图，测出，，则的长是　　

A．2.5 B．10 C．5 D．以上都不对
【解答】解：，，
，
在和中，，
，
．
故选：．

典例2
(2019春•灵石县期末)某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿和的长相等，是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，由以上信息能求出的长度吗？如果能，请求出的长度，如果不能，请你说明理由．

【解答】解：是、的中点，
，，
在和中，，
，
，
，
．

巩固训练

一、单选题(共6小题)
1．(2019春•罗湖区期末)如图，为估计罗湖公园小池塘岸边A、B两点之间的距离，思雅学校小组在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝28m，OB＝20m，则A，B间的距离可能是(　　)

A．8m B．25m C．50m D．60m
【解答】解：连接AB，根据三角形的三边关系定理得：
28﹣20＜AB＜28+20，
即：8＜AB＜48，
则AB的值在8和48之间．
故选：B．
2．(2019春•市中区期末)如图，有一池塘，要测池塘两端，间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点和的点，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接．若量出米，则，间的距离即可求．依据是　　

A． B． C． D．
【解答】解：在和中，，
，
米，
故选：．
3．(2018春•槐荫区期末)两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
①；②；③；④四边形的面积其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在与中，
，
，
故③正确；
，
在与中，
，
，
，，
，
故①②正确；
四边形的面积，
故④正确；
故选：．
4．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带　　

A．① B．② C．③ D．①和②
【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选：．
5．(2019春•青羊区期末)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是(　　)

A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm
【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，
∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBD(AAS)，
∴AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，
∴DE＝CD﹣CE＝5﹣2＝3cm．
故选：C．
6．(2019春•罗湖区期末)如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中，正确的个数是(　　)，
①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，且DA∥BC，则BC⊥CE．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣(∠ODB+∠ADC)＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠ECB＝90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：C．

二、填空题(共5小题)
7．(2018春•历下区期中)如图，两棵大树间相距，小华从点沿走向点，行走一段时间后他到达点，此时他仰望两棵大树的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知大树的高为，小华行走的速度为，小华走的时间是　　 ．

【解答】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
小华走的时间是，
故答案为：．
8．(2018春•槐荫区期末)如图，要测量河两岸相对两点、间的距离，先在过点的的垂线上取两点、，使，再在过点的垂线上取点，使、、三点在一条直线上，可证明，所以测得的长就是、两点间的距离，这里判定的理由是　　 ．

【解答】解：，，
，
在和中，
，
．
故答案为：．
9．(2019春•商河县期末)如图，要在湖两岸，两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量、两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在的垂线上取两点、，使，再定出的垂线，使，，三点在一条直线上，这时测得米，则　 　米．

【解答】解：根据题意可知，，

米．
故答案为：50
10．(2019春•平阴县期末)如图，为线段上一动点(不与点，重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论有　 　(填序号)．

【解答】解：等边和等边，
，，，
，即，
在与中，，
，
，①正确，
，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，②正确，
，
③正确，
，，
，
即，
，，
，故④错误；
，
，
，
，
同理可得出，
，故⑤正确；
正确结论有：①②③⑤；
故答案为：①②③⑤．
11．(2019春•金牛区期末)如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣3t，
解得t，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点Q的运动速度为23厘米/秒；
②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t，
∴点Q的运动速度为6厘米/秒；
故答案为：3或．


三、解答题(共2小题)
12．如图，中，，，直线为经过点的任一直线，于，，若，试问：
(1)与的大小关系如何？请说明理由；
(2)线段，，之间的数量之间关系如何？并说明理由．

【解答】解：(1)与的大小关系为，
理由是：，
又于，
，
；
于，于，
；
又；
，
．

(2)线段，，之间的数量之间关系为：，理由如下：
，
，，
又，
．

13．(2018秋•宿松县期末)(1)问题背景：
如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是　　；

(2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处)北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以60海里小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】解：(1)，证明如下：
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为．

(2)结论仍然成立；
理由：延长到点．使．连结，如图2，

在和中，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；

(3)如图3，连接，延长、相交于点，

，，
，
又，，
符合探索延伸中的条件，
结论成立，
即(海里)．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．