数学九年级下册5.1 二次函数优秀同步测试题

这是一份数学九年级下册5.1 二次函数优秀同步测试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

二次函数复习








一、单选题（共7小题）


1.已知点（﹣4，y1）、（4，y2）都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2的大小关系为（ ）


A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定


【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，


∴对称轴为x＝2，


∵a＞0，


∴x＞2时，y随x增大而增大，


点（﹣4，y1）关于抛物线的对称轴x＝2对称的点是（8，y1），


∴y1＞y2，


故选：B．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征


2.二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）


A．﹣2B．﹣1C．1D．2


【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1时，y最小＝﹣2，


故选：A．


【知识点】二次函数的最值


3.对于抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，下列结论错误的是（ ）


A．抛物线的开口向上


B．对称轴是直线x＝2


C．抛物线不经过第三象限


D．当x＞3时，y随x的增大而减小


【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，


∴a＝1，该抛物线的开口向上，故选项A正确；


对称轴是直线x＝2，故选项B正确；


当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝1，则该抛物线不经过第三象限，故选项C正确；


当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项D错误；


故选：D．


【知识点】二次函数的性质


4.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（﹣，0）且平行于y轴的直线，则下列结论中正确的是（ ）





A．abc＞0B．a+b＝0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b


【解答】解：由图象可得，


a＞0，b＞0，c＜0，


故abc＜0，故选项A错误；


∵对称轴为直线x＝﹣，


∴﹣，得a＝b，a﹣b＝0，故选项B错误；


∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，


∴2b+c＜0，故选项C错误；


∵对称轴为直线x＝﹣，当x＝1时，y＜0，


∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，


∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，


∴4a+c＜2b，


故选项D正确；


故选：D．


【知识点】二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征


5.抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致是（ ）





A．B．


C．D．


【解答】解：∵二次函数图象开口向上，


∴a＞0，


∵对称轴为直线x＝﹣＞0，


∴b＜0，


当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，


∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，


∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，


∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．


故选：D．


【知识点】抛物线与x轴的交点、反比例函数的图象


6.如图，抛物线y＝﹣4与x轴交于A、B两点，点P在一次函数y＝﹣x+6的图象上，Q是线段PA的中点，连结OQ，则线段OQ的最小值是（ ）





A．B．1C．D．2


【解答】解：∵O为AB的中点、Q为PB得中点，


∴OQ是△ABP的中位线，


∴OQ＝BP，


∵抛物线y＝﹣4，


∴当y＝0时，得x1＝﹣4，x2＝4，


∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（4，0），


∵点P在一次函数y＝﹣x+6的图象上，


∴当y＝0时，x＝6，该一次函数与x轴的夹角是45°，


∴当BP⊥直线y＝﹣x+6时，BP取得最小值，此时BP＝（6﹣4）×sin45°＝，


∴OQ的最小值是，


故选：A．





【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点


7.如图，函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，开口向上，对称轴为直线x＝1，对于下列两个结论：①m为任意实数，则有a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0；②方程ax+bx+c﹣1＝0有两个不相等的实数根，一个根小于0，另一个根大于2，说法正确的是（ ）





A．①对，②错B．①错，②对C．①②都对D．①②都错


【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，开口向上，对称轴为直线x＝1，


∴该函数与x轴的两个交点坐标为（0，0），（2，0），


∴c＝0，y＝ax2+bx，


∴当x＝1时，该函数的取得最小值，最小值是a+b＜0，


∴a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣（a+b）≥0，故①正确；


由图象可知，


当y＝1时，该函数对应的x的值有两个，且一个＜0，一个大于2，


则方程ax+bx+c﹣1＝0有两个不相等的实数根，一个根小于0，另一个根大于2，故②正确；


故选：C．


【知识点】二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征








二、填空题（共6小题）


8.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，则b＝ ．


【解答】解：将A（0，3），B（2，3）代入解析式，


得：，


解得，


故答案为2．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征


9.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为 元．


【解答】解：设商品所获利润为w元，由题意得：


w＝（x﹣20）（40﹣x）


＝﹣x2+60x﹣800


＝﹣（x﹣30）2+100，


∵二次项系数﹣1＜0，20≤x≤40，且x为整数，


∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为100元．


∴每件商品的售价应为30元．


故答案为：30．


【知识点】二次函数的应用


10.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣1.5t2，那么，飞机着陆后滑行 m才能停下来；着陆滑行中，最后2s滑行的距离是 m．


【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣20）2+600，


∴当t＝20时，y取得最大值600，


即飞机着陆后滑行600米才能停下来，


此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．


因此t的取值范围是0≤t≤20；


即当t＝18时，y＝594，


所以600﹣594＝6（米）


故答案是：600，6．


【知识点】二次函数的应用


11.若抛物线y＝x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为 ﹣ ．


【解答】解：坐标系右移上移，得图象左移下移，得


y＝（x+1）2﹣2（x+1）+3﹣3


化简，得


y＝x2﹣1，


故答案是：y＝x2﹣1．


【知识点】二次函数图象与几何变换


12.图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度增加 ﹣ 米（结果保留根号）．





【解答】解：设该抛物线为顶点在原点，其解析式为：y＝ax2


由题意得：点（2，﹣2）和点（﹣2，﹣2）在抛物线上


将（2，﹣2）代入y＝ax2得：﹣2＝4a


∴a＝﹣


∴y＝﹣x2


当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2


解得x＝±


∴此时水面的宽度为：﹣（﹣）＝2（米）


水面的宽度增加（2﹣4）（米）


故答案为：（2﹣4）（米）


【知识点】二次函数的应用


13.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），其中正确的结论有 ．





【解答】解：由图可知a＜0，


∴对称轴x＝1＝﹣，


∴b＝﹣2a＞0，


函数与y轴的交点c＞0，


①∵abc＜0；①错误；


②b＝﹣2a，


∴b+2a＝0；②正确；


③∵函数与y轴交点c＞3，


∴x＝1时，y＞3


∴直线y＝3与抛物线有两个交点，


∴方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；③正确；


④由函数的对称性，与x轴的一个交点坐标为（4，0），


∴另一个交点为（﹣2，0）；④正确；


故答案为②③④；


【知识点】根的判别式、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系








三、解答题（共6小题）


14.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，2），且经过原点（0，0），求该函数的解析式．


【解答】∵二次函数图象的顶点坐标为（1，2），


∴设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2（a≠0），


当x＝0时，y＝0，


∴0＝a（0﹣1）2+2，


解得a＝﹣2，


∴函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+2．


【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式


15.已知二次函数的图象如图所示．


（1）求这个二次函数的表达式；


（2）当﹣1≤x≤4时，求y的取值范围．





【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，


把（0，1）代入得4a+4＝1，解得a＝﹣，


所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4．





（2）当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+4＝﹣；


当x＝4时，y＝﹣（4﹣2）2+4＝1，


所以当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为﹣≤y≤4．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的图象


16.如图，二次函数y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）．


（1）求该二次函数的表达式及最小值．


（2）点P（m，n）是该二次函数图象上一点．


①当m＝﹣4时，求n的值；


②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．





【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）和点C（4，5）代入y＝ax2+bx+c，


得：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，


∴函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；


（2）①当m＝﹣4时，n＝16+8﹣3＝21；


②点P到y轴的距离为|m|，


∴|m|≤4，


∴﹣4≤m≤4，


∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，


在﹣4≤m≤4时，﹣4≤n≤21．


【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式


17.如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．


（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；


（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否


存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．





【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，


∴﹣＝3，解得：a＝﹣


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4


当y＝0时，解得：x＝﹣2或6，


故点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；





（2）当x＝0时，y＝4，则点C的坐标为（0，4）；


由点B、C的坐标得，设直线BC的解析式为y＝﹣x+4；


假设存在，设点P 的坐标为（x，﹣x2+x+4），


过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．





PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x


∴S△PBC＝S△PDC+S△PDB＝PD×OE+DP×EP＝8×（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣4）2+16；


∵﹣1＜0


∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．


【知识点】二次函数综合题


18.在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．


（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有 ．


（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；


（3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





【解答】解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；


对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；


对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；


故答案为：N、Q；





（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，


∵点P是“美好点”，


∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，


将点P的坐标代入直线的表达式得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，


故b＝﹣9或3，


故s＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；





（3）存在，理由：


设点P的坐标为（m，n），n＝m2（m＞0，n＞0），


由题意得：2m+2n＝mn，即m+m2＝m3，


解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），


故点P的坐标为（6，3）；


设点Q的坐标为（x，0），


则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，


PO2＝36+9＝45，


OQ2＝x2，


当PQ＝PO时，则（x﹣6）2+9＝45，解得：x＝0（舍去）或12；


当PQ＝OQ时，同理可得：x＝；


当PO＝QO时，同理可得：x＝±3；


综上点Q的坐标为：（12，0）或（，0）或（3，0）或（﹣3，0）．


【知识点】二次函数综合题


19.定义：如图，把经过抛物线y＝ax2+bx+c（ab≠0，a，b，c为常数）与y轴的交点C和顶点M的直线称为抛物线的“伴线”，若抛物线与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），经过点C和点B的直线称为“标线”．


（1）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，求伴线的解析式．


（2）若伴线为y＝2x﹣3，标线为y＝kx﹣3k，


①求抛物线的解析式；


②设P为“标线“上一动点，过P作PQ平行于“伴线”，交“标线“上方的抛物线于Q，求线段PQ长的最大值．





【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），顶点M（1，﹣4），


设伴线y＝kx+b，


∴，


∴，


∴y＝﹣x﹣3；


（2）①伴线为y＝2x﹣3，则C（0，﹣3），


标线为y＝kx﹣3k，则C（0，﹣3k），


∴k＝1，


∴y＝x﹣3，


∴B（3，0），


将点C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝ax2+bx+c，


∴c＝﹣3，b＝1﹣3a，


∴y＝ax2+（1﹣3a）x﹣3，


∴点M（，），


∴＝2×﹣3，


∴3a2+2a﹣1＝0，


∴a＝﹣1或a＝，


当a＝时，b＝0（舍去），


∴y＝﹣x2+4x﹣3；


②设点P（m，2m﹣3），


PQ平行于“伴线”，


∴PQ的直线解析式为y＝2x﹣m﹣3，


PQ与抛物线的交点Q（1+，2﹣m﹣1），


∴PQ2＝5（m﹣1﹣）2，


∴PQ＝|m﹣1﹣|＝|（）2﹣﹣2|，


∴当1+m＝时，PQ有最大值；


【知识点】一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点