苏科版九年级下册5.1 二次函数课后练习题

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会根据简单的实际应用列二次函数解析式；
能根据二次函数定义求参数。
知识点 1 ：二次函数的概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2；
③二次项系数不为0．
二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项
注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。
知识点 2 ：二次函数的值
根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。
【题型1二次函数的判段】
【典例1】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝C．y＝x2D．y＝
【答案】C
【解答】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•河池期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝x3+2
C．y＝（x﹣2）2﹣x2D．y＝x（4﹣x）
【答案】D
【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意；
B、y＝x3+2中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化为y＝﹣4x+4是一次函数，不符合题意；
D、y＝x（4﹣x）可化为y＝4x﹣x2，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2023九上·亳州期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=3x−1 B．y=1x2 C．y=3x2+x−1D．y=2x3−1
【答案】C
【解析】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、y=1x2不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【变式1-3】（2022九上·佛山月考）下列四个函数中是二次函数的是（ ）
A．y=3x−2B．y=2x2+2C．y=x2−1D．y=5x
【答案】C
【解析】A．自变量的次数为1，不是二次函数，不符合题意；
B．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意；
C．符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意；
D．分母中含有未知数，不是二次函数，不符合题意．
故答案为：C．
【题型2 利用二次函数的概念含参数取值范围】
【典例2】（2022秋•普兰店区期末）是二次函数，则m的值是（ ）
A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝±1
【答案】B
【解答】解：∵是二次函数，
∴m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【变式2-1】（2022九上·汽开区期末）若函数y=(m−2)x2+5x+6是二次函数，则有（ ）
A．m≠0B．m≠2C．x≠0D．x≠2
【答案】B
【解析】解：由题意得，m−2≠0，
解得m≠2．
故答案为：B．
【变式2-2】（2023九上·诸暨期末）已知y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m|，则m=（ ）
A．±2B．1C．-2D．±1
【答案】C
【解析】解：∵y关于x的二次函数解析式为y=(m−2)x|m| ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【变式2-3】（2022秋•开封期末）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝ ．
【答案】1．
【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数，
∴，
∴m＝1，
故答案为：1．
【题型3 二次函数的一般形式】
【典例3】（2022秋•济南期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•玉州区期中）函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是（ ）
A．﹣6B．1C．3D．6
【答案】A
【解答】解：函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是﹣6．
故选：A．
【变式3-2】（2022九上·汕尾期中）二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-6，-1B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【解析】解：二次函数y=x2−6x−1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【变式3-3】（2022九上·北仑期中）二次函数y=5x(x−1)的一次项系数是（ ）
A．1B．-1C．2D．-5
【答案】D
【解析】解：y=5x（x-1）=5x2-5x，
∴一次项的系数为-5.
故答案为：D.
【题型4 二次函数的函数值】
【典例4】若点A(−1,y1)在抛物线y=2x2上，则y1= .
【答案】2
【解答】解：∵若点A(−1,y1)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，
故答案为：2
【变式4-1】若点A(3,y)在抛物线y＝3x2﹣6x+1上，则y= .
【答案】10
【解答】解：∵若点A(3，y)在抛物线y＝3x2﹣6x+1上，
y=3×32-6×3+1=10，
故答案为：10
【变式4-2】（2022九上·富阳期中）对于二次函数y＝x2－2mx－3，当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等时，m＝ ．
【答案】5
【解析】解：∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，
∴4-4m-3=64-16m-3
解之：m=5
故答案为：5
【题型5 根据实际问题列出二次函数】
【典例5】（2022秋•西湖区期末）在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜1）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2B．y＝1﹣x2C．y＝x2﹣1D．y＝1﹣2x
【答案】B
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y＝1﹣x2（0＜x＜1），
故选：B．
【变式5-1】（2021秋•珠晖区校级月考）现有一根长为50cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm2，一边长为xcm，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A．y＝x（50﹣x）B．y＝x（50﹣2x）C．y＝x（25﹣2x）D．y＝x（25﹣x）
【答案】D
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长＝50÷2﹣x＝25﹣x，
∴y＝x（25﹣x）．
故选：D．
【变式5-2】（2021九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y＝50（1−x）2
【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1−x）×（1−x）＝50（1−x）2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1−x）2．
故答案为：y＝50（1−x）2．
【变式5-3】（2021秋•江油市期末）n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．
【答案】m＝n2﹣n．
【解答】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案为：m＝n2﹣n
1．（2023•立山区一模）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝x+B．y＝3（x﹣1）2C．y＝ax2+bx+cD．y＝+3x
【答案】B
【解答】解：A、y＝x+是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，故本选项符合题意；
C、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝+3x是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2021•饶平县校级模拟）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（ ）
A．a≠1B．a≠﹣1C．a＝1D．a＝±1
【答案】A
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
3．（2023•郁南县校级模拟）关于x的函数y＝（a﹣b）x2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠0B．a≠bC．b＝0D．a＝0
【答案】B
【解答】解：当a﹣b≠0，即a≠b，则y＝（a﹣b）x2+1是二次函数．
故选：B．
4．（2023•丰台区校级模拟）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【答案】B
【解答】解：由题意得，
4y+2πx＝20，
∴2y+πx＝10，
∴y＝，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝y2﹣πx2，
即满足二次函数关系，
故选：B．
6．（2023•槐荫区一模）一辆经营长途运输的货车在高速公路某加油站加满油后匀速行驶，下表记录了该货车加满油之后油箱内剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的相关对应数据，则y与x满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】B
【解答】解：从表格可看出，货车每行驶一小时，耗油量为20升，即余油量y与行驶时间x成一次函数关系．
故选：B．
7．（2023•宝山区一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域）
【答案】y＝x（12﹣2x）．
【解答】解：∵篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x米，
∴花圃平行于墙的一边长为（12﹣2x）米．
根据题意得：y＝x（12﹣2x）．
故答案为：y＝x（12﹣2x）．
8．（2022•红安县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，
∴3＝﹣22+2b+3，
解得：b＝2，
∴这个二次函数的表达式是：y＝﹣x2+2x+3．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
1．（2023秋•龙湾区月考）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．y＝2xB．y＝x+2C．D．y＝x2
【答案】D
【解答】解：A、y＝2x是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2是一次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2023秋•浙江月考）若y＝（m﹣2）﹣x+1是二次函数，则m的值是（ ）
A．4B．2C．﹣2D．﹣2或2
【答案】C
【解答】解：∵y＝（m﹣2）﹣x+1是关于x的二次函数，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
∴m＝﹣2．
故选：C．
3．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x2C．y＝D．y＝x2+3
【答案】B
【解答】解：y＝3x不是二次函数；
y＝3x2是二次函数，且二次项系数是3；
y＝不是二次函数；
y＝x2+3是二次函数，但二次项系数是1．
故选：B．
4．（2023秋•杜集区校级月考）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y于边长x
【答案】A
【解答】解：A、S＝x2，是二次函数，正确，符合题意；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误，不符合题意；
C、y＝，a一定，是反比例函数，错误，不符合题意；
D、y＝4x，是一次函数，错误，不符合题意．
故选：A．
5．（2022秋•济南期末）二次函数y＝x2﹣6x﹣1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1B．1，6，1C．0，﹣6，1D．0，6，﹣1
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣6，﹣1．
故选：A．
6．（2022秋•榆树市期末）当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）
A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1
【答案】D
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：D．
7．（2022秋•宜昌期中）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（ ）
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
【答案】B
【解答】解：A．正方体的体积y与棱长x之间的关系是y＝x3，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系是y＝30（1﹣x）2，是二次函数，故此选项符合题意；
C．距离s一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系是y＝，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系是y＝180°﹣2x，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．（2022秋•浑南区期末）圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数D．以上答案都不对
【答案】C
【解答】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
9．（2022秋•玉州区期中）函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是（ ）
A．﹣6B．1C．3D．6
【答案】A
【解答】解：函数y＝3x2﹣6x+1的一次项系数是﹣6．
故选：A．
10．（2023秋•新城区校级月考）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝0；
（2）m≠1且m≠0．
【解答】解：（1）依题意m2﹣m＝0且m﹣1≠0，
所以m＝0；
（2）依题意m2﹣m≠0，
所以m≠1且m≠0．
11．（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
【答案】（1）当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．行驶时间x（小时）
0
1
2
2.5
剩余油量y（升）
100
80
60
50